II 4 • ' ' >' T

La probabilité de gagner était ^j elle devient -pr, : elle a diminué.

Celle de faire coup nul a également diminué; le banquier, dans les conditions supposées, ne doit pas tirer à 6.

Un calcul fondé sur les mêmes principes et tout aussi facile montre que, dans les conditions supposées, le banquier doit tirer à 5.

Sans énumérer les cas possibles, qui deviennent plus nombreux quand le ponte a reçu une carte supposée connue, nous nous bornerons à donner tes résultats.

Le ponte se lient à 5, le banquier sachant qu'il a celte habitude.

4o ^ CALCUL DES PROBABILITKS.

Le sort du ponle qui a 5 est le siiivanl :

Probabilité de gagner 0,444694

» de faire coup nul. .. . 0,086907 » de perdre 0,469400

Le ponte qui a 5 demande une carte, le banquier sait que telle est son habitude.

Le sort du |)onte qui a 5 est le suivant :

Probabilité de gagner o, 444348

» de faire coup nul .... o, 120935 « de perdre 0,434717

Tels sont les résultats du calcul lorsque le ponte ne cherche pasà tromper le banquier sur ses habitudes.

Si le ponte qui a 5 s'j tient, faisant croire au banquier qu'il a l'habitude de demander des cartes, le sort est le suivant :

Probabilité de gagner 0,489612

» de faire coup nul.... 0,094890 » de perdre o,4i5497

Si le ponte, avant 5, demande une carte en faisant croire au banquier qu'il a l'habitude de s'v tenir, son sort est le suivant :

Probabilité de gagner o,447i i3

» de faire coup nul. .. . 0,126463 » de perdre 0,426424

L'étude n'est pas complète. Si le banquier ignore ce que fait le ponte quand il a 5, doit-il tirer à 6? Quelle est, dans cette indécision, la chance du ponte qui a 5?

Il est impossible de la calculer: elle dépend de la chance qu'il y a, quand il aura pris son parti, pour que le banquier se trompe ou devine juste en se demandant ce qu'il fait quand il a 5.

En résumé, le ponte doit-il se tenir à 5, doit-il tirer?

Si, sans jouer au plus fin, dès le début de la partie, il déclare franchement ses habitudes, il doit tirer à 5.

Si les conventions du jeu permettent la ruse, il doit se tenir à 5, en faisant croire au banquier, s'il le peut, qu'il a l'habitude de tirer.

CIIAP. II. — PROBVBILITKS TOTALES ET COMPOSÉES. 4l

3i. Problème XX. — « + i joueurs A,, Aa, . . ., A„+, jouent aux conditions suivantes: A, et S.^ jouent une première partie ; A3 remplace le perdant; A4, A5, ... luttent successivement contre le perdant de la partie précédente. La poule continue ainsi jusqu'à ce qu'un joueur ait gagné successivement tous les autres, et par conséquent n parties de suite. Quelle est la probabilité pour que la partie se termine au coup de rang x2

Le joueur qui gagne la poule au coup de rang x est entré au jeu au coup de rang x — n -^ i; il a gagné ce coup et les n — i suivants. On peut partager cette hypothèse en n — i autres, en distinguant les cas d'après le nombre des parties gagnées par l'adversaire du joueui- dont nous parlons au uiouient où celui-ci est entré au jeu.

Soit />, la probabilité pour que ce |)reniier adversaire ait gagné une seule p;n-tie, la probabilité pour que celte hypothèse se présente et fasse gagner la poule au coup de rang x est

mais on a évidemment

Car, si la partie se termine au coup de rang x — \ , le joueur qui la gagne avait une partie gagnée déjà au (;oiq) de rang x — n -\- \ , et il en a ensuite gagné n — i sans interruption.

La probabilité pour que la poule se termine au coup de rang x. le joueur qui la gagne ajant rencontré d'abord un adversaire qui n'avait gagné qu'une seule partie, est, d'après cela.

--Tx-..

Soit /?2 la probabilité pour que le gagnant de la poule au coup de rangerait eu pour premier adversaire un joueur avant gagné deux parties déjà, le terme correspondant de la valeur de y^ sera

On a, évidemment,

yx~i =Pi -,^;

par conséquent,

est le second terme de la valeur de y^-

Le raisonnement successivement appliqué à chacun des cas donnera

On a, évidemment.

L'équation (i), à l'aide de ces données initiales, fera connaître jk^ pour £c = n -h i et pour les valeurs suivantes.

3o. Nous donnerons, pour terminer ce Chapitre, l'énoncé de quelques problèmes empruntés pour la |)lupart à Moivre et dont la solution est facile.

Problème XXL — Probabilité pour obtenir une fois le point i, et une fois seulement, en jetant quatre dés.

5oo

Problème XXIL — Pierre parie que, en Jetant cinq dés, il obtiendra une fois le point i et pas davantage. Quelle est la probabilité de gagner?

= o.oqoii.

Problème XXIIL — Quelle est la probabilité pour que, sur cent essais successifs avec un seul dé, on obtienne une fois au moins une succession de cinq as sans interruption?

o,oio>.6.