ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE
Hoc ulrobiquc ular fundamcnto : nimirum. in alesB lu lo tanti lEstiiiiandum osl rujus(iiie sortem, scu expectaliuncm ad aliquid ohtinondum, (juanlum si liabcal, possit denuo ad similem sortem sivc expeelalioiiPiu pervenire, iBqua conditione certans.
HUYCENS.
36. Définition de l'espérance mathématique. — 37. Assertion exagérée de Poisson. — 38. La recherche de l'espérance mathématique et celle de la probabilité sont deux problèmes distincts. — 39. Exemple de la simplification d'un problème par la recherche directe de l'espérance mathématique. — 40. Second exemple. — 41. Troisième exemple. — 4'2. Quatrième exemple dans lequel la recherche de l'espérance mathématique fait connaître la probabilité. — 43. Calcul d'une espérance mathématique déduite des probabilités des divers cas passibles. — 44. Problème sur le jeu de dés. — 45. Discussion de la formule obtenue. — 46. La valeur probable d'une fonction n'est pas déterminée par celle des grandeurs dont elle dépend. — 47. Exception relative aux sommes et aux produits quand les facteurs sont indépendants. — 48. Paradoxe de Saint-Pétersbourg. — 49. Insuffisance des explications proposées par Condorcet et par Poisson. — 50. La réponse du calcul est parfaitement raisonnable et n'a besoin d'aucune justification. — 51. Insignifiance de l'explication proposée par Daniel Bernoulli et devenue célèbre sous le nom de théorie de l'espérance morale. *
36. Le sort des joueurs a été la pretiiière préoccupation des créateurs de la théorie du hasard. On le nomme aujourd'hui espérance mathématique, il est la valeur équitable des avantages encore incertains que font espérer les conditions du jeu.
L'espérance mathématique, dans un jeu équitable, est, pour chaque joueur, égale à sa mise qui, livrée au jeu, ne lui appar-
48 CALCUL DES PKOBABILITÉS.
tient plus. Cette éei^alité traduit la définition : le joueur échange sa mise contre une espérance mathématique. Si l'équivalence n'existe pas, le jeu n'est pas équitable.
L'espérance mathématique de celui qui a la probabilité p de recevoir la somme S est mesurée par le [)roduityoS.
Si n personnes, en effet, ont sur la somme S des droits égaux, elles peuvent équitablement la partager et prendre chacune - ou la
tirer au sort el accepter pour part la probabilité - d'obtenir S. Si
quelques-uns des ayants-droit, au nombre de m, s'associent, on pourra leur offrir équitablement, soit le partage donnant à leur
association — -, soit la probabilité — de recevoir S. Les deux offres
sont donc équivalentes.
37. Poisson a écrit : « Si le gain espéré par une spéculation est ôoooo'"'' et que | soit la probabilité de l'obtenir, la personne qui devra recevoir cette somme éventuelle pourra considérer le tiers de 60000*"'^ comme un bien qu'elle possède et que l'on devrait comprendre dans l'invenlaire de sa fortune. »
Poisson va trop loin. Le plaideur engagé dans un procès qu'il a neuC chances sur dix de perdre et qui, en cas de gain, doit lui rapporter 1 million, mentirait en disant qu'il possède Iooooo^^ Un homme prudent, sur une telle garantie, refuserait de lui prêter 5oo'^ Son espérance mathématique vaut looooo*^"", mais vraisemblablement il ne trouvera pas d'acheteur.
Cette confusion entre une espérance mathématique et la certitude d'une somme équivalente a fait naître de grandes difficultés. Nous aurons à j revenir.
38. Si la somme espiérée est connue, la recherche de la probabilité et celle de lespérance mathématique forment un même problème. Il en est autrement lorsque les conditions du jeu impliquent la possibilité de gagner ou de perdre, suivant les cas, plusieurs sommes différentes.
Si des événements ajant pour probabilités /?,,;?2,. ••,/>« donnent droit ;.ux sommes S,, S2, ..., S„, l'espérance mathématique est
/'lS,-f-^2S2-h...^-/)„S„.
CHAP. III. — ESPÉRAXCE MATHKM VTIQrE. 4q
Celui (|ui doit, suivant les ctis encore incertains, recevoir l'une
nu l'autre (les sommes S,, S. S,,, peut vendre ses droits et,
|.Hr des marchés équitables, échanger ses chances contre les sommes /^, Ï5,, /VoS^,, . . ., p„S,t qui donneront droit à n acheteurs différents 'le loucher en son lieu et place, le premier la somme S,, si c'est
celle qui lui échoit, le second la somme S., et enfin le dernier
la somme S,,.
Le règlement des comptes n<' fera naître aucune difficulté puisque deux acheteurs, d'après les conventions, n'auront jamais à réclamer la même somme.
L'espérance mathématique est connue (|uaiid les probabilités des divers cas possibles ont été calculées. \Liis il est plus aisé, <[uelquefois, de la chercher directemenr sans s'occuper des termes qui la composent.
39. PiiOBi.EMK XLIil. — Pierre et Paul jouent au jeu de rencontre. Une urne contient <x numéros marqués i, i, 3 <j. t^aul tire successnement les <x boules et s'engage à donner à Pierre i^^" chaque fois qu un numéro sortira à son rang. Qu(dle est l'espérance mathématique de Pierre?
S'il fallait évaluer la probabilih' des divers cas possibles, le problème, sans être difficile, exigerait de longs calculs.
En nommant pi la pndîabilité pour qu'il y ait / rencontres, l'espérance demandée est
P\ ■+- 2/)2-t- 3/)3 -H. . .-H \xp^.
La somme est plus aisée à calculer que chacun des termes qui la composent.
L'espérance mathématique de Pierre est, à chaque tirage, -1- . La somme espérée est en effet i^"", et la probabilité de l'obtenir -■
La probabilité au moment où le tirage va se faire dépend des numéros sortis antérieurement. Si le numéro /est sorti déjà, la probabilité de le voir au /'*""■ tirage est nulle. S'il n'est pas sorti, elle
^^^ \x — i -^ \' "^^^'^ c'est au début du jeu qu'il faut la calculer, et
la probabilité est alors -•
) CALCUL DKS PROBABILITÉS.
L'espérance malhémaliqiie de Pierre, étant pour chaque tirage j est, pour les u liiayes, 'j. — , c'esl-à-dire i''.
4-0. Problème XLIV. — Une urne contient des boules noires et des boules blanches; la probabilité de la sortie d'une boule blanche est p, celle de la sortie d' une boule noire est q. On fait a tirages en remettant chaque fois dans l'urne la boute qui en est sortie. Pierre recevra i*'' chaque fois qu une boule blanche sortira, précédée et suivie par une boule noire. Quelle est, pour l'ensemble des ^ tirages, l'espérance mathématique de Pierre?
La probabilité pour que le tirage de rang / donne à Pierre le droit de recevoir i^' est/>^-, car il faut le concours de trois événenienls dont les probabilités soni q, p et q. L'espérance mathématique étant, pour chaque tirage, égale à/>^-, elle est, pour l'ensemble des [j. tirages, égale à 'J-pq'--
L'espérance mathémati(]ue est la même que si les u. tirages se faisaient dans une urne donnant à la sortie d'une boule blanche la probabilité yo^y^, et (|ue Pierre dut recevoir i''" pour chaque boide blanche sortie, sans qu'aucune condition fût imposée à celle qui la précède ni à celle qui la suit. Les deux jeux donnent à Pierre des avantages équivalents, mais non identiques. Dans le premier,
sur [X tirages, la plus grande somme qu'il puisse gagner est -, dans
le second elle est ui. Si l'on voulait, pour obtenir l'espérance mathématique, calculer les termes qui la composent et, pour cela, ' chercher la probabilité pour que sur tji tirages Pierre eût un nombre donné n de fnmcs à recevoir, la difficulté des deux problèmes serait fort inégale. La considération, parfaitement rigoureuse, de l'espérance mathématique dispense de les résoudre. Pierre, , en effet, peut, pour chacun des tirages, vendre la chance (ju'il a de 'j gagner i*^'' sans avoir à tenir compte de l'influence exercée par les chances de l'un des coups sur celles du suivant. 11 est certain (|ue, î si l'acheteur du coup de rang / est favorisé par le sort, celui du I coup suivant ne h' sera pas; la boule qui lui appartient sera noire. Peu leur importe : la chance qu'ils achètent, au moment où ils la payent, n'est ni augmentée ni diminuée.
CHAP. III. — ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE. 5l
41. Problkme XLW — Ln" urne contient un i>rand nombre n de boules marquées des numéros \, i, d>, . . ., n. On fait successivement 'j. tirages, en remettant chaque fois dans l'urne la boule qui en est sortie. Pierre recevra if"" chaque fois que la série des numéros rcrits dans leur ordre de sortie présentera un maximum ou un minimum. Quelle est P espérance mathématique de Pierre?
Si l'on considère un tirage désigné, la probabilité pour (|ue le numéro correspondant soit dans la suite un niaxiMiiim ou uti minimum est \. Si l'on compare en eftet le numéro sorti à celui qui fe précède et à celui qui le suit, il sera maximum s'il est le plus grand des trois : la probabilité pour cela est |, et minimum s"il est le plus petit : la probabilité est également i; en écartant comme avant une probabihté négligeable, si n est très grand, le cas où deux numéros consécutifs seraient égaux, la probabilité pour que le numéro dont le rangest donné soit maximum ou mitiitnum est f. L'espérance matbématique de Pierre pour cliacun des tei mes de la série est donc \\ elle est pour les ;jl termes de la série :fa.
Le raisonnement peut, comme le précédent, biisser uu doute qu'il faut discuter.
Si, dans la suite, un numéro est maximum ou tninimum, cela change la probabilité pour que le suivant le soil aussi.
La probabilité pour que le vingtième terme de la suite soit ! maximum est \-^.
La probabilité pour que le vingt et unième soit maximum est aussi j.
La probabilité pour qu'ils le soient tous deux n'est pas ^, elle «si nulle.
L'objection serait fondée si nous calculions les [)robabilités. <^uand il s'agit des espérances matbématiques, elle perd toute sa Ibrce.
Pierre, en effet, peut vendre à des acheteurs différents chacun des francs qu'il peut espérer; tous les marchés sont équitables. Chaque acheteur a bien réellement probabilité f de recevoir i^--; peu lui importe que son gain, s'il est obtenu, diminue les chances d'un autre: les conventions partielles n'en sont pas moins équi-
labiés. Pierre a pu vendre équilabletnenl ses droits f ;j.''. Telle est donc son espérance malhématiijne.
4.2. Si, une urne contenanl deux boules blanches et une houle noire, on fait successivement ^ tirages, l'espérance mathématique de celui qui doitrecevoir i^"" par boule blanche sortie sera fu. comme dans le cas précédent; là s'arrête la ressemblance des deux problèmes. La probabilité d'exlr<«ire de Turne un certain nombre de bonles blanches n'est pas éi;ale à celle d'avoir un même nombre de maxima on minima.
La probabilité pour que toutes les boules soient noires est (1)1^, celle pour qu'elles soient toutes blanches (|)!^. Les probabilités de n'avoir ni maximum ni minimum et celle de n'avoir que des maxima et des minima sont très dillerenles.
Légalité entre les espérances mathématiques n'implique nullement celle des diverses probabilités qui figurent dans leur expression.
43. Problème XLVL — On trace sur un plan indéfini des lis'nes parallèles équidistantes. Une aiguille est lancée au hasard sur le plan. Pierre recevra i*^"" par rencontre de l'aiguille avec une des parallèles. Quelle est l'espérance mathématique de Pierre?
L'espérance mathématique de Pierre est proportionnelle à la longueur de l'aiguille et indépendante de sa forme, droite ou courbe.
Il n'en est pas de même de la probabilité de la rencontre, et ce problème, comme le précédent, montre la (lilférence entre le calcul de la probabilité et celui de l'espérance math(';inalique.
Une aiguille est droite; on la courbe; la probabilité de la reneonlre est changée: l'aiguille ne pouvait, si elle est plus petite que la distance des deux parallèles, procurer deux rencontres à la fois; elle le peut quand, sans changer sa longueui', on l'a pliée en ( ourbe. On peut même être certain, si la courbe estfermée, qu'une première rencontre en rend une seconde nécessaire.
Les conditions du problème sont donc changées. L'espérance
CIIAP. m. — KSPÉRANCE MATHÉMATIQl'E. 53
nialhénifilique de celui qui doil recevoir i'"" par rencontre reste la même. Clui(|iie t'Iénient de raiguille donne, en eflet, une espérance indépendante des autres éléments qui lui sont attachés. (ïelui (qui doit recevoir i'"" par rencontre (c'est la même chose que i'"" s'il y a rencontre, quand une seule rencontre est possible) peut vendre à des acheteur s dirterents les droits résultant pour lui de chaque élément de l'aiguille, et la valeui- de ces (h-oits reste la même, soit que laiguille soit 'Iroile ou courbe.
Soient a la distance de deux parallèles, / la longueur de l'aiguille, plus petite que a. Si la probabilité dune rencontre est/>, p est aussi l'espérance mathématique de Pierre. Remplaçons laiguille |)ar un cercle de même longueur. Le rayon R de ce cercle
sera ; — La piobabilité pour que le cercle rencontre une des pa-
\ rallèles est Si Ton partage, en efTel, la distance a des deux
parallèles entre lescpielles tombe le centre du cercle en n parties, il i j a chance égale pour qu'il tombe sur chacune d'elles, et il faut. pour qu'il j ait renC(Mitre. qu'il soit à une distance moindre que R de l'une ou l'autre des deux lignes. Le nondjre des divisions favorables est : leur nombre total est /?, et la probabilité de la ren-
contre est, par con>équent,
Si le cercle rencontre une des parallèles, il la rencontre deux fois; l'espérance mathématique est donc
4R •W a an
Telle est la probabilité pour la rencontre de l'aiguille. L'ingénieuse substitution d'un cercle à une aiguille rectiligne 1 est due à M. Emile Rarbier.
44. Problème \ L A IL — Pierre a trois pièces de 5'', Paul en \ a deux; ils conviennent que chacun jettera ses pièces. Celui I qui obtiendra te plus grand nombre de faces prendra les cinq ! pièces. Le jeu est-il équitable?
Pierre e\|)Ose i 5*''' cl P;iul lo'^'" setileinenl; mais Pierre a plus grnnde chance de gagner. La conipeiisalion esl-rlle exacte?
Dans ce cas, comme dans un grand nombre d'autres, la méthode la plus simple pour calculer l'espérance malhéniati([ue est de chercher la probabilité de chacun des cas possibles.
Pierre peut, avec ses trois pièces, amener o, i, u ou 3 fois face. Les probabilités sont ^, |, | et|.
Paul peut avoir o, i ou 2 fois face; les probabilités sontf, ^el\.
Si Pierre n"a pas face une seule fois, sa probabilité de gagner est o, celle de perdre est |.
S'il a face une fois, sa probabilité de gagner est |, celle de peidre j.
S'il a face deux fois, sa probabilité de gagner est f , celle de perdre o.
S'il a face trois fois, sa prol)abilité de gagner est i.
La |)robabililé de Pierre est donc
3 I 3 3 I \ ifi I 8484^ /32 2
celle de Paul est
8 4 8 4 <S 8 / 3-2 ib
La somme des deux probabilités n'est pas égale à l'unité, parce que la partie peut être nullf: mais, s'il est convenu qu'on recommencera jusqu'à ce qu'un des joueurs ait gagné, les probabilités I et -pg représentent deux fractions de même dénominateur ayant pour numérateur les nombres de cas favorables, dont le rapport reste constant cpiand le nombre des parties augmente. Il faut donc, pour avoir les deux probabilités, partager 1 unité en deux parties qui soient dans le rap|>ort de ^ à -j^; elles s(jnl
— et — II II
L'espérance mathématique de Pierre est
