X — = — ; Il II
elle est plus petite que sa mise.
Le jeu est avantageux à Pierre.
io. Problèmr X.LVI1I. — Un nombre n de joueurs avant déposé chacun \^^ jettent un nombre ix de dés. U enjeu total appartiendra à celui qui amènera la plus grande somme de points, ou sera partagé entre ceux qui auront amené le même nombre de points, plus grand que celui des autres joueurs.
Pierre joue le premier, il amène k points. Quelle est, avant que les adversaires aient joué, son espérance mathématique?
Les Ai*^"" qui forment renjeii (olal appaiiien(Jront à Pierre si aucun des adversaires n'amène un point ('i^al ou supérieur à A" ; ils seront partagés entre m -\- i joueurs si, aucun n'amenant un point supérieur à A", m des adversaires amèneni k .
La probabilité d'amener avec a dés un point donné est connue par le Tableau donné (19), cpi'il sérail aisé d'étendre au cas d'un plus grand nombre de dés. Nommons q^ la probabilit('' d'un point supérieur à A" et pk celle d'un point précisément égal à A" ; la probabilité d'un point inférieur à k sera
a = 1 — Pk— qic-
Pour que Pierre ait part à l'enjeu, il faut qu'aucun des points ne soit supérieur à k:, la probabilité pour (pi'il en soit ainsi est (, — q^yi-\ Soient yo^ la probabilité, dans cette hypolbèse, d'amener le point A et r'^ celle d'amener un point inférieur.
La probabilité pour que Pierre partage avec i de ses adversaires est
i . > . î . . .1. i . >. .3 . . .( n — i — I } L'espérance mathématique de Pierre est
(I — y/,j"-'/ir^:'-'^ ^ in -\)r'i}-'p'k
- '•/' -Pk^---^ -Pk
56 CALCUL DKS PROBABILITKS.
égale évidenimenl à
( 1 — qi, )''^ '
Pl<
V^-'k-^p'kY
et, à causr de /-^ -i-/>^= i, piiiscuie r\ et p',. sont les probabilités de deux événements contraires,
Pk
il resle à calculer r\ el p'/^.
Le rapport de r^. à p'/^ esl le même c|iie celui de r^ à /)^. L'Iiypoihèse faite qu'aucun numéro supérieur à k n'est sorti diminue eti effet le nombre des cas possibles, sans changer celui des cas favorables à l'arrivée d'un nombre de poinls égal ou inférieur à k. Les numérateurs de ;-^. et de /?^ soni, avec un même dénominateur devenu plus petit, ceux de ;•/, et dep^. On a donc
et, |)uisque /•^h-/>^=
K Pk
>'k-^Pk Pk
rk-^Pk 46. Un problème intéressant peut être résolu :
Pierre ayant obtenu le point k, quel est le nombre d'adversaires le plus favorable à ses intérêts, c'est-à-dire quel est celui qui lui laisse la plus grande espérance mathématique?
En accroissant le nombre des joueurs, on accroît la somme à partager, mais on diminue la chance d'j avoir part et celle de l'avoir tout entière. Il faut déterminer n de manière à rendre (i) maximum.
En égalant à zéro la dérivée par rapport à «, ou ol)tieut
' lr',-^lK^-qk)
Cette équation fera connaître la valeur de n.
Si Pierre a amené le point le plus élevé jmssible, on a qh=o;
CHAP. m. — ESPÉRANCE MATHÉMATIQUK. 5j
r'I' est nul et n infini. Pierre, dans ce cas, certain d'avoir une piirt, a avantage à accroître sans limite le nombre de ses adversaires.
L'espérance mathématique de Pierre ne grandit pas indéfiniment. La formule (i), quand on v suppose q^^o et n infini, se
réduit à
L'enjeu total n devant èlie parlagé entre tous ceux qui auront le point maximum, poui- que (■liaqu(.' |)arl soit — r> il f«iit que le nombre des partageants soit /ip'/.. p]^, quand A- est le plus grand des points possibles, ne diffère pas de /'/,. nph est le nombre probable de ceux d'entre les n iidveisaires qui amèneront le point maximum dont la probabilité est /'a-
Le Tableau suivant donne les résultats relatifs au cas où l'on joue avec trois dés. Piei le ayant amené au pren)ier coup l'un des points intérieurs au maximum 18. la première colonne donne le point obtenu, les deux sui\antes donnent les probabilités désignées dans la formule par />a et q^] le noml)re d'adversaires le plus avantageux pour chaque valeur de A' est inscrit dans la quatrième colonne; la cin(|uième donne la valeur de ( i — qk)'^^ probabilité pour (jue Pierre ait une part.
