Deux cas importants sont à noter
La valeur probable d'une somme est la somme des valeurs probables des parties de la somme.
C'est la conséquence immédiate de la définition.
La valeur probable d'un produit, quand les facteurs sont indépendants, est le produit des valeurs probables des facteurs.
CHAP. III. — ESPÉRANCE MATHÉMATIQI E. Sg
Soient a et b deux i^randeurs. La premièie peut recevoir les valeurs y.,, ao, ..., a,,, donl les probabilités sont /?, , />o, . . . , pn- La seconde peut avoir les valeurs ^,, ,3o. . . . , |ii„i, dont les |)robabiiités sont q^, g-,, . . . , qm- Les valeurs probables sont
leur produit est la somme des termes tels que
cpii représentent les produits de toutes les valeurs possibles a, |3,' du produit ab par leurs probabilités />,(// .
Si l'arrivée de l'événement a exerçait une inlluence sur celle de 6, la probabilité de l'association de a. avec 3, ne serait pas (t23) le |jroduit/>,(/i'.
Si, par exemple, b est égal à a'-, les valeurs possibles de a étant a,, a^, . . . , a„, celles de b sont a;, ai;, . . . , a;). Si a est éi;al à a/, il est certain que b sera aj'.
i9. Paradoxe de Saiiit-Pélersboarg. — On a opposé les indications du bon sens aux décisions de hi théorie et pour condamner les principes alléj^ué leur-5 eoMsé(pieiices.
La discussion, jusqu'ici, n'a pas dissipé la méprise. La théorie, pourtant, est irréprochable; il n'est pas juste de lui opposer l'absurdité de ses conseils : elle n'en donne pas. Il est déraisonnable d'exposer au jeu une forte somme, indélicat d'accepter un risque qui peut rendre insolvable. Le (>aK:ul des probabilités doit ignorer ces sages ap|)réciations.
On joue, c'est l'hypothèse. A-t-on tort ou raison ? La question n'est pas posée.
On cherche les conditions équitables du jeu sans se demander si elles sont raisonnables, ni établir ;iucune relation entre cette question, (pie l'on ne veut pas aborder, et le problème à résoudre.
Le |)arti raisonnable, si les risques sont grands, est de ne pas jouer.
On peut, en acceptant des conventions strictement équitables, faire un acte de folie ou commettre une escroquerie. La remarque.
6o CALCUL DKS PHOBABIMTF.S.
pour être incoiilestée, ne change pas la théorie du jeu équitable. La confusion est analogue à celle que faisait Poisson (37), en portant une espérance nialhéinati(pie dans l'inventaire d'une forttine.
Pierre, pour toute fortune, possède looooo'^'", il veut avoir une chance de gagner loo millions.
Rien n'est plus facile, répond sans s'émouvoir le géomètre qu'il consulie. Si le jeu est équitable, vous aurez ggg chances sur looo de perdre vos looooo*^'.
La réponse doit s'arrêter là. Si Pierre trouve 999 personnes désireuses comme lui de gagner 100 millions et résignées comme lui à la presque certitude de perdre 1 00000''', ils organiseront une loterie de 1000 billets à 100000'^'' le billet.
Le jeu sera équitable, la théorie le déclare, le bon sens le démontre, et Pierre, cependant, sera très justement interdit comme insensé.
Le problème de Saint-Pétersbourg est devenu célèbre par l'ingénieuse combin;iison des conventions laites pour dissimuler l'énormité des mises, ou, pour être plus exact, des engagements.
l*ierie et Paul jouent aux conditions suivantes :
Pierre jette une |)ièce de monnaie. Si elle montre face, il donnera i*^*" à Paul. Si elle montre pih', il jettera la pièce de nouveau. Si (ace arrive au second coup il donnera 2*^'" à Paul. La pièce sera jetée jusqu'à la première arrivée de face qui termine la partie. S il a fallu la jeter n fois, Paul recevra a""**'".
Quelle est l'espérance mathématique de Paul?
Elle est infinie.
Paul, en clTet, recevra, selon le nombre des coups qui seront joués, une somme égale à lun des termes de la suite illimitée
Les probabilités pour lui de recevoir ces dilïérentes sommes sont
