III I

LVspérance mathématique de Paul est, par conséquent,

IX - -I- 2 X 7 -+- 4 X - -1- ... -i- 2" X — — -t- . . . ; 9. 4 8 2"-^'

CHAP. III. — ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE. 6l

elle se compose d'un nombre infini de ternies qui sont tous ég^aux

Quel que soit le prix dont il |)ave la promesse i|ui lui est faite, le niarclié sera avantao^eux à P.uil.

Qui voudrait cependant ris()uer loo*^'" à un tel jeu?

oO. Les réponses proposées au prétendu paradoxe sont nombreuses. D'Alembert écrivait à Lai;ran<;e : « Votre Mémoire sur les jeux me fait désirer beaucoup (pie vous nous donniez une solution du problème de Pétershourg, qui me paraît impossible en admettant les principes connus. »

Les conditions du jeu im|)liquent contratliction, ont dit Condoicel et Poisson. Pierre prend des engagements qu'il ne peut tenir. Si lace ne se présente qu'au centième coup, le gain de Paul représentera une masse d'or plus grosse <pie le soleil. Pierre le trompe en la lui promettant.

j^'observation est juste, mais n'éclaircil rien. Si l'on joue des centimes au lieu de frani^s, des grains tie sable au lieu de centimes, des molécules d'hydrogène au lieu de grains de sable, la crainte d'être insolvable peut diminuer sans limite. La théorie ne doit pas taire la différence. Elle ne suppose pas non plus qu'avant cTiâcpie jet de la pièce on dépose la mise. Quelle que soit la dette de Pierre, la plume peut l'écrire, on réglera les comptes sur le papier; la llK'orie triomphera s'ils confirment ses presciiptions. Le hasard très probablement, on peut dire très certainement, finira par favoriser Paul. Quel (pie soit le prix dont il paye, à chaque partie, la promesse de Pierre, le jeu. s'il est tenace, l'enrichira sans limite. Pierre, insolvable ou non, lui devra une somme immense.

51. Si une machine pouvait jeter looooo pièces par seconde et enregistrer les résultats, Paul, en payant looo'"" par partie, s'endetterait sans doute d'une centaine de millions par seconde; il n'en ferait pas moins, après (|uelques millions de milliards de siècles, un bénéfice colossal. Les conditions du jeu le favorisent, et la théorie a raison.

On peut, sans calculs, rendre l'assertion évidente : Supposons, pour ne pas aborder de trop grands nombres, que Pierre s'engage à faire i milliard de parties.

62 CALCIL DES PROBABILITÉS.

Cherchons quelle somme Paul peut espérer- recevoir, sans présumer pour lui le hasard bénévole.

Sur I milliard de parties, il laul s'attendre à en voir 5oo millions pour les(|uelles Paul ne recevra cpie i^"". On ne peut s'étonner d'amener face une fois sur deux. Si le nombre est moindre, Paul aura du bonheur; nous ne voulons pas lui en supposer.

La seconde moitié des parties jouées commencent toutes par l'arrivée de pile. Le second coup amènera face vraisemblablement 25o millions de fois : une Ibis sur deux. Paul, pour chacune de ces parties recevia ■>.'''; il doit, de ce chef, espérei- 5oo millions.

Les 25o millions de parties restantes commencent par deux fois pile; pour la moitié d'entre elles, on doit s'j attendre, face arrivera au troisième coup, Paul recevra 4*^' ; c'est encore 5oo millions qu'il peut raisonnablement espérer. On peut renouveler trente fois le même raisonnement et voir clairement que l'ensemble des parties doit vraisemblablement rapporter à Paul, d'aj)rès les conditions convenues, une quinzaine de milliards. Le hasard, évidemment, peut le favoriser el, accroître la somme, ou le maltraiter et la diminuer; mais, en donnant 1 5'' par partie, il a des chances sérieuses de ne rien perdre.

Si Pierre doit faire loo parties seulement, les chances sont ditïerenles; Paul, en donnant i o'"" par partie, aurait grande chance de se trouver en perte. Les conditions du jeu lui seraient toujours avantageuses; mais son avantage résulterait des gros bénélices possibles, dont la chance est |)eti(e.

Si, au contraire, au lieu de i milliard départies, on en devait faire looo milliards, Paul, au lieu de iS*^"", pourrait donner 20*^^ par partie, avec chance sérieuse de recouvrer 20000 milliards, sans compter, bien entendu, pour rien dans cette appréciation sommaire la possibilité de gagner des sommes immenses, dont le calcul exact a dû tenir compte.

52. La réponse la plus singulière faite au prétendu paradoxe est celle de Daniel Bernoulli qui, le premier, a tiré de l'oubli cette question autrefois proposée par son cousin JNicolas.

100 millions, suivant Daniel Bernoulli, ajoutés à une lortune déjà acquise de 100 millions, ne sufflisent pas pour la doubler. Quels avantages nouveaux peuvent-ils procurer.