CHAPITRE IV

THÉORÉVIK Dlî JACQUIiS BKRNOULr,[.

Hdu iuiiiii' est illiirl pmhleiiia, (|uo(l evulganduiii hoc loco proposiii, posh|iiam jam pci- viconnium pressi, et ciijiis liim noïiias, tiiiii Mimnia iilililas oum pari conjuncta (liflicultatp omnibus reliqiiis hnjus <locliinîe capilibus pondus el pi-Ptiuui supoi-addcrc polcsi.

.Iacobus Bernoilli.

53. Régularité observée des résultais du hasard. — .i'i. Probabilité des épreuves répétées. — bb. Evénements dont la probabilité est maximum. — bil Valeur approchée du produit i.2.3...n. - 57. Probabilité maxima dans une série d'épreuves. — .08. Probabilité d'un événement peu différent du plus probable. — 59. Fiction d'un écart représenté par une variable conlinue. — 60. Première vérification. — (il. Seconde vérification. — (i'2. Calcul exact de la valeur probable du carré de lécart; elle ne diffère pas de la valeur approchée. — G3. Troisième vérification. — ()4. Calcul exact de la valeur probable de l'écart, elle n'est pas égale à la valeur approchée. — r,5. La probabilité pour que l'écart soit inférieur à une limite donnée est donnée par une intéiirale (jue l'on a réduite en Table. — 06. La probabilité d'un écart absolu inférieur à une limite fixe tend vers zéro; quand le nombre des épreuves augmente, c'est l'écart relatif qui tend vers zéro. — 67. La probabilité d'un écart a, sur a épreuves, dépend

de — : exemples numériques. — 68. Écart probable et écart moyen: leur rap-

port. — 69. Représentation du nombre probable d'arrivées en introduisant un facteur dont la valeur détermine la coniiance méritée par la formule. —

70. Ce qu'on doit entendre par jouer plus ou moins gros jeu, expressi<jn de laquelle dépendent les chances de perte sur un grand nombre de parties. —

71. Application du théorème de Bernoulli aux chances électorales. — 72. Différences entre les conditions réelles et les données du problème précédent. — /3. Le théorème de Bernoulli suppose la probabilité d'un événement invariable, il suppose aussi que cette probabilité ait une valeur objective; remarques sur cette question. — 74. Exemple d'une série d'épreuves faites avec probabilité variable.

o3. Le hasard corrige le hasard. Une vague expérience révèle la justesse de cette maxime à ceux mômes qui en ignorent la B. 5

66 CALCUL DKS PROBABILITÉS.

rigueur. Le mot rigueur n'est pas exagéré. Les résultais de l'action libre du hasard sont prédits avec certitude, sans gêner en rien ses caprices.

La certitude n'est pas celle d'un théorème de Géométrie. Il faut l'accepter dans le sens qu'indique Jacques Bernoulli, véritable inventeur de l'un des plus admirable> résultats de la Science nialhématique : In usu viiœ cUili ubi moraliter certum pro absolute certo habetur.

Vous sortez sans abri par un violent orage, vous serez mouillé, cela est certain.

La certitude du théorème de Bernoulli est de même sorte. I^a resseml)laMc.e va à l'idenlilé. La même objection peut s'appliquer avec autant, osons dire avec aussi peu de raison dans les deux cas.

La pluie, dites-vous, me mouillera, qu'en savez-vous? Chaque ooutte est dirigée par le hasard, aucune n'a de dt-stination ; rien ne prouvant pour aucune d'entre elles qu'elle ira s'abattre sur le promeneur, de quel droit affirmer de l'ensemble ce qui est incertain pour chacune?

Sans (]u<! l'assertion soit certaine à la manière du carré de l'hypoténuse, on peut la produire avec entière confiance. H y a plus : si deux promeneurs sortent ensemble et marchent sans se quitter sous la même pluie, non seulement ils seront mouillés tous deux, mais ils le seront également. Si l'un d'eux accusait le hasard de lui avoir donné la plus grosse part, il ne rencontrerait pas plus de créance que s'il affirmait n'avoir rien reçu.

Les événements fortuits ressemblent aux gouttes de pluie. Pourvu qu'ils soient assez nombreux, le hasard les distribue équitablement entre tous les cas possibles, sans en favoriser aucun. Tel est le théorème que nous allons démontrer avec précision et dont l'importance même justifiera i)lusieurs démonstrations.

J^a première repose sur plusieurs propositions, dont chacune par elle-même est de grande inq)orlance.

o4. Probliîme XLVIL — La probabilité d'un événement est /?, celle de U événement contraire est q\ on fait [x épreuves dans les mêmes conditions. Quelle est la probabilité pour que le premier événement se présente n fois, le second ]x — ti fois?