CHAP. IV. — THÉORÈME DE JACQUES BERXOULLI
Si l'ordre dans lequel les événenienls doivent se succéder élail assigné, la probabilité demandée serait (24) le produit de n facteurs égaux à p et de [j. — n égaux à q
L'ordre restant indéterminé, l'événement peut être décomposé • n autant d'autres, de probabilités égales, (|u"il y a de cond)inaisons possibles de p. objets dont n sont égaux à A et u — n a B. Ce nombre est
I . •>. . 3 . . . /i . 1 . .4 . 3 . . . u — n La probabilité demandée est donc
c'est le terme général du développement de (/;> + q^. Si l'on éciit
{ p -\- cj )\i- = pV- -^ lxi>V-~^ q -h l^Jlff L
le premier terme représente la probabilité pour que l'événement dont la probabilité est q ne se présente pas une seule fois: le deuxième, la probabilité pour (|ue cet événement arrive une fois; I le troisième, pour qu'il arrive deux fois, etc.
, La somme des k premiers termes est la probabilité pour que cet ; événement, dont la probabilité est q, arrive au plus k — i fois sur u épreuves.
La somme de tous les termes est la probabilité pour que l'évéj nement arrive au plus u fois, c'est la certitude, et la somme des I termes est égale en effet à l'unité, puisque p -\- q = i .
; oo. Problème XLVIIL — La probabilité d'un événement : est /?, celle de l'événement contraire est q\ on fait (jl épreuves \ dans les mêmes 'conditions. Quel est, pour chacun des deux événements, le nombre d'arrivées le plus probable?
11 faut trouver pour quelle valeur de n, a étant donné,
68 CALCUL DES PROBABILITES.
l'expression (2)
acquiert la plus grande valeur.
Si l'on range les expressions (2), c'esl-à-dire les termes du développement de {p-^qY-, suivant l'ordre des valeurs décroissantes de n, le rapport d'un terme au précédent est
ui — n p
La valeur cherchée de n doit rendre ce rapport plus grand que l'unité, et le rapport suivant, obtenu en changeant n en n — i, doit être plus petit que l'unité.
Nous avons donc, pour déterminer w.
[JL /i -i- 1 p
(n ^ \)q > ixp — np, nq < \ip — np -
et, à cause de p -h q ^ '
n •;> ixp — q.
n < [xp -\- p.
Le nombre entier n est compris, d'après ces formules, entre deux limites dont la différence p -^ q' est égale à l'unité.
11 est donc déterminé.
On peut dire, en négligeant la fraction, que ^-P est le nombre le plus probable d'arrivées pour l'événement dont la probabilité est/?; le nombre d'arrivées le plus probable pour l'événement dont la probabilité est q est 'jl — ^/? = [j.^/.
La combinaison dont la probabilité est la plus grande est donc celle dans laquelle les événements se produisent en nombre proportionnel à leurs probabilités.
06. Pour rendre possible l'application des expressions trouvées
