CHAP. IV. — THÉORÈME DE JACQUES BERNOULLI

pour la probabilité, il faut transformer les produits qui y figurent. I^e nombre des facteurs, quand les épreuves sont nombreuses, rendrait les calculs interminables.

La transformation repose sur la célèbre formule de Stirling

Les deux membres ne sont pas égaux, leur difterence grandit sans limite quand /i augmente; mais leur rapport tend vers l'unité, et cela suffit. Nous devons d'abord démontrer cette tbrnuile.

Posons

et ciierchons, lorsque n est grand, une valeur approchée de 'f (/?)■ On a rigoureusement, en changeant dans [i) n en n -{- \ et divisant la seconde équation par la première,

par conséquent,

( 1 H — 1 j lorsque n est grand, diffère peu de -• Si donc on pose

la ("onction '^(/O? par '^ changement de n en /< -h i , se multipliera par un facteur peu différent de l'unité. Nous pourrons écrire

avec la certitude que 'i>(/i) varie lentement quand // augmente.

'^{n) varie lentement, mais il n'est pas constant et ne tend pas à le devenir. On a, en effet,

Posons, pour évaluer le second membre,

yO CALCUL DES PROBABILITES.

on en déduit

/5 = i — nl( i -\

el, en remplaçant /( i H ) par les deux premiers lermes de son

développement en séiie, c'est-à-dire en négligeant — >

Par conséquent

et, en remplaçant e"" par les deux premiers ternies de son développement,

JNous pouvons écrire, en négligeant — ; ,

'^(n) 'in

On :i au même degré d'approximation

la fonction '^(^) varie donc, quand on néglige— ;> suivant la même

loi que <^n.

Si l'on pose