i) = v/nF(/i), par conséquent

, ,. • i-i - \ • ,1 I F ( /i -I- I ) la tonclion r(/î) variera très lentement, le rapport — ^ — se

réduisant à l'unité quand on néglige — ^ •

CHAI'. IV. — THÉORÈ.ME DE JACQUES BERXOULLl. 7I

( )n pourrait conlinuer le même mode d'appcoximalion pour clicrclier la valeur approchée de F(/i), comme nous avons cherché celles de '^(/i) el de '}(/i); mais il est permis de s'airéter, parce

1' . n ' I • 1 I ^ Fi /i H- I)

([ue, d après 1 évaluation obtenue pour le rapport — r^ , on

peut démontrer que F{n) tend vers une valeur constante par laquelle on peut dès lors le remplacer si n est très grand.

— se réduisant a l unité quand on nefrlio-e —-, on peut

poser

F ( n -h I ) X| Pin) ~ n-'

\f ne grandissant pas iiidélininient avec /?, nous en déduirons, en

changeant la valeur de n,

Fin -+-/?) F{ n — p — I ;

n ^ p — ly-

>.,, Ao, ..., Xp n'augmentant pas sans limite avec />. En multipliant les équations précédentes, on a

( 'l H-Ij-

n — p — ly

le second membre, et par conséquent le premier (jui lui est égiil, tend vers l'unité lorsque, n étant de plus en plus grand, on donne Àp une valeur quelconcjue, grande ou petite. On a, en effet,

h tendant vers zéro lorsque n augmente. Le logarithme du second membre de (3) f^st

n ^ D- ] L ( n -H yy — I )-

72 CALCUL r»KS l'ROHABILITÉS.

et, à cause de (4),

(^elle expression tend vers zéro quand n augmente, parce que la série dont le terme géuéral esl — est convergente; la somme des termes qui, dans celte série, suivent -- est donc très petite, quelque loin qu'on la prolonge, et elle reste très petite quand les / termes sont multipliés par des facteurs qui ne grandissent pas il sans limite. '

Nous pouvons donc poser, en nommant G la limite constante vers laquelle tend F(/?),