XVIII PRÉFACE

locales triomphent des lois du hasard. C'est avec grande défiance qu'il faut, sur les traces de Condorcet, éclairer les Sciences morales et politiques par le flambeau de V Algèbre.

Les étoiles, sur la voûte céleste, semblent semées sans ordre et sans loi ; 3ooo environ, pour qui a la vue bonne, brillent au-dessus du notre horizon. Ptolémée, dans son Catalogue, n'en inscrivait que 1020. Un astronome dont le nom est resté obscur sans injustice, l'archevêque Mitchell, a fait d'une idée ingénieuse et juste une application trop hardie. Si le hasard distribuait sur la voûte du ciel 3 000 points brillants, quelle serait la distance moyenne de chacun d'eux, à son voisin le plus proche? Le problème est intéressant ; Mitchell ne le résout pas ; mais, remarquant dans la constellation du Dragon deux étoiles situées à 3' l'une de lautre, il trouve que contre un tel rapprochement on pourrait, aprioriy parier <So contre 1 ; dirigeant ensuite ses calculs sur le groupe des Pléiades, Mitchell conclut à 5ooooo chances contre i pour qu'une cause, en dehors du hasard, ait rapproché les six étoiles.

En proposant la mesure précise d'assertions aussi vagues, on peut compromettre la Science. Si Mitchell, soupçonnant entre les étoiles un lien mécanique, avait tiré avantage de leur rapprochement singulier, s'il avait déclaré vraisemblable, très vraisemblable, presque certain, qu'une cause particulière a troublé pour elles les lois générales, il serait sans reproche, mais la précision du chiffre jj^t^mTô ^^^ peut trouver d'approbateurs. Les appréciations sans chiffres n'engagent à rien, un chiffre engage la Science, et c'est sans aucun droit.

L'application du calcul aux questions de ce genre est une illusion et un abus.

(( Les motifs de croire que, sur 10 millions de boules

LES LOIS DU HASARD. XIX

blanches mêlées à i noire, ce ne sera pas la noire que je tirerai du premier coup est de même nature, a écrit Condorcet, que le motif de croire que le Soleil ne manquera pas de se lever demain. » 1^'assimilation n'est pas permise : Tune des prohahililés est objective, l'autre subjective. La probabilité de tirer la boule noire du })remier coup est 75175^,7^, ni plus ni moins. Quiconque l'évalue autrement se trompe. La probabilité pour que le Soleil se lève varie d'un esprit à l'autre. Un philosophe peut, sans être fou, annoncer sur la foi d'une science que le Soleil va bientôt s'éteindre ; il est dans son droit comme Condorcet dans le sien ; tous deux l'excéderaient en accusant d'erreur ceux qui pensent autrement. L'assimilation à une urne est le procédé de démonstration. Une urne contient des boules blanches, peut-être aussi des noires ; on y fait 1 million de tira<^es, tous donnent des boules blanches; quelle est la probabilité pour qu'un nouveau tirage amène une noire? Le calcul répond : T^nnlTnrô- " ^^^ a vu, conclut Condorcet, i million de fois le Soleil se lever du côté de l'orient, quelle est la probabilité pour qu'il manque demain? La quesLion n'est-elle pas la même? )) Elle est difïerente. L'urne, dans le premier cas, est invariable ; qui peut, dans le second, savoir le train des choses ?

Paul, sur la foi de Condorcet, veut parier que le Soleil se lèvera demain. La théorie fixera les enjeux. Paul recevra r''' si le Soleil se lève et donnera i million s'il fait défaut. Pierre accepte le pari. Au lever de chaque aurore, il perd i''*" et le paye. La chance pour lui diminue chaque jour, puisque le Soleil couq)te un lever de plus. Paul consciencieusement augmente son enjeu ; consciencieusement aussi, Pierre continue à lui payer i*'". Les conventions demeurent équitables. Les parieurs voyagent, on parcourt vingt contrées, de l'occident à lorient, Pierre perd toujours; il poursuit sa chance

cependant, conduit Paul vers le nord ; ou franchit le cercle polaire ; le Soleil reste un mois au-dessous de l'horizon ; Paul perd 3o millions, croit Tordre de nature perverti et soupçonne que l'urne est changée.

Tarquin l'ancien, rebelle aux prétentions de l'auguie Accius Nœvius, osa, dit-on, le mettre au défi. Ce que je pense est-il possible ? demanda le roi. L'augure accepta l'épreuve. «Tu peux donc couper [cette pierre? » Nccvius prit un rasoir et coupa le caillou. Avec une très louable impartiahté. Condorcet a cherché la chance de vérité. Le point de départ de son calcul est le nombre des cailloux que, depuis l'invention des rasoirs, on n'a pas réussi à couper, et, sans répondre du détail des chiffres, il évalue à ^,^ J^^^ la probabilité de l'anecdote. Il est un peu naïf. Un caillou que l'on coupe comme un radis est un caillou miraculeux ou un faux caillou. La saine philosophie dont il se vante repousse tout miracle ; l'accord fait sous main entre Naevius et le roi sauverait la vraisemblance. Pour résoudre le problème, au lieu de compter des cailloux, il faut comparer, si on le connaît, le nombre des princes capables d'imposture à celui des augures complaisants et des historiens sans critique.

Le hasard, à tout jeu, corrige ses caprices. Les irrégularités mêmes ont leur loi.

Supposons qu'à un jeu de pur hasard une série de parties ait été jouée. Précisons, pour plus de clarté : le jeu est pile ou face ; la série de loo parties. Pour chacune, on marque la différence entre ie nombre des gains et le nombre normal 5o. , Si l'on a gagné 44 ou 56 fois, on marque (5 dans les deux cas. Chaque série, de cette manière, se trouve caractérisée par un nombre que nous appellerons V écart ; supposons obtenus I million d'écarts. Le hasard décide leur grandeur, comme si l'on puisait i million de fois dans un sac contenant des

LES LOIS DU HASARD. XXI

boules de loto. La dilTérence est grande cependant : tandis que toutes les boules sortiront également ou peu s'en faut, les petits écarts seront les plus nombreux. Chacun se présentera, à la longue, un nombre de fois proportionnel à la probabilité que Ton peut calculer ; la régularité des résultats peut recevoir une forme apparente et visible. Marquez sur une ligne droite, à distances égales et petites, les cbifTres o, I, 2, 3, ... représentant les écarts possibles. Par chacun de ces points élevons une hauteur égale au nombre de fois que Técart s'est produit; les extrémités de ces lignes feront paraître une courbe, toujours de même forme; le sommet coj-respond au point o ; l'abaissement, à partir de ce point, très lent d'abord, s'accroît suivant une loi prévue par le calcul. Si quelques irrégularités déparent le dessin, doublez, décuplez le nombre des épretives, Texactitude des prédictions est à peine croyable.

Les grands nombres régularisent tout. La moyenne de tous les écarts peut être prédite avec confiance : elle sera 4 si la série est de i oo épreuves, /[O si elle est de loooo. La même certitude s'attache à la moyenne des carrés des écarts, à celle de leurs cubes, de leur quatrième puissance. Pour des séries de loo, par exemple, la moyenne des carrés est 25. Ces prédictions sont sûres. iN'est-ce pas, pour ainsi parler, miracle de voir un hasard aveugle dicter des résultats exactemeut prévus ?

Aidée de ces théorèmes singuliers, la dextérité des géomètres a su, chose merveilleuse, rencontrer sur ces voies détournées une solution de la quadrature du cercle. Si, dans une série d'épreuves suffisamment nombreuses, on divise la moyenne des carrés des écarts par le carré de la moyenne, le quotient est, à très peu près, la moitié de la surface du cercle de rayon unité. Avec de la patience, le succès est certain.