XXII PRÉFACE

Beaucoup de joueurs, préoccupés de cette rég'ularité nécessaire dans les moyennes, cherchent, dans les coups qui précèdent celui qu'ils vont jouer, une indication et un conseil. Ce n'est pas bien entendre les principes. La Science, à ces chimères, ne reste pas sans réponse. La décision du bon sens suffit, elle est nette et claire : à quoi bon la traduire en Algèbre? Le préjugé est opiniâtre. Les géomètres perdraient à le combattre leur lemps et leurs formules.

L'illusion repose sur un so[)hisme : on allègue la loi de Bernoulli comme certaine ; elle n'est que probable. Sur 20 (.00 épreuves, dit-on, à la roulette, la noire ne peut pas sortir plus de 1 0300 fois, l'assertion de la Science est formelle. Si les 10000 parties ont donné 6000 noires, les loooo suivantes ont donc contracté une dette envers la rouge. On fait trop d'honneur à la roulette : elle n'a ni conscience ni mémoire. En supposant qu'à une rencontre inouïe succédera, pour la réparer, un nouvel écart de la règle, on n'eflace pas rinvraiseml)lance, on la redouble.

La certitude des lois de Bernoulli est celle d'un chasseur très adroit, (|ui, connaissant son arme, est certain d'abattre une bète féroce à dix pas. La bète se présente, il la manque ; en la voyant, furieuse, se ruer et l'assaillir, doit-il rester impassible, confiant dans la certitude de l'avoir tuée?

Le hasard, sans choisir, régularise tout ; la raison en est que, si toutes les combinaisons, dont le nombre est immense, étaient présentes matériellement, les moins nombreuses deviendraient introuvables. Le hasard reste libre, mais la carte est forcée.

LES LOIS DU HASARD. XXIII

Appliquée aux dés, aux caries, au jeu de rouge et de noire, aux numéros pairs ou impairs, à pile ou face, la théorie des chances est indiscutable : rien n'y altère la rigueur des preuves; l'Algèbre exécute plus rapidement les dénombrements qu'avec de la patience et du temps on pourrait faire sur ses doigts. Tous les arrangements sont également possibles ; que les plus nombreux se présentent, il n'y a pas de sujet d'étonnement.

La Physi(jue, l'Astronomie, les phénomènes sociaux, semblent, dans plus d'un cas, régis par le hasard. Peut-on comparer la pluie ou le beau temps, rap[)arition ou l'absence des étoiles filantes, la santé ou la maladie, la vie ou la mort, le crime ou l'innocence à des boules blanches ou noires tirées d'une même urne? Le môme désordre apjiarait dans les détails, cache-t-il la même uniformité dans les moyennes ? Retrouvera-t-on dans les écarts les traits connus et la physionomie des cflets du hasard ?

Tout événement qui alterne avec son contraire est comparable aux boules blanches ou noires puisées dans un sac ; le sac est-il toujours le même? est-il ouvert? Une force intelligente, se proposant une fin, intervient-elle dans une mesure petite ou gi'ande pour corriger les caprices du sort? Le raisonnement ne [)eut devancer rexpérience ; les observations, soigneusement discutées, condamnent, en même temps que les sce[)ti(]ues rebelles à tout rapprochement, les esprits absolus (pii prétendent tout soumettre au calcul.

L'empreinte du hasard est marquée, très curieusement quelquefois, dans les nombres déduits des lois les plus précises. Ijne Table de logarithmes en témoigne. Pour i oooo nombres successifs, dans les Tables à lo décimales de Véga, je prends la septième figure du logarithme : rien dans ce choix n'est laissé au hasard. L'Algèbre gouverne tout, une loi inflexible enchaîne tous les chiffres. Si l'on compte cepen-

dant les résultats, on aura, à très peu près, sur loooo, i ooo fois le chiffre o, i ooo fois le chiffre i et ainsi des autres ; la formule se conforme aux lois du hasard. Vérification faite, sur loooo logarithmes, le septième chiffre s'est trouvé 990 fois égal à o ; 997 fois à 1 ; 993 fois à 2 ; 1012 fois à 4- En partageant les 10 000 nombres en dix séries et prenant pour chacune les moyennes des écarts, j'entends la différence entre le nombre des apparitions de l'un des chiffres et le nombre normal 100, et les comparant à la moyenne du carré des écarts, le rapport des nombres, qui, d'après les lois du hasard, devrait être 1,570796, moitié du nombre que les géomètres désignent habituellement par la lettre t., se trouve égal à 1,56 1 ; le même calcul fait à l'aide du chiffre i donne 1,098, et la moyenne de ces deux résultats est 1,579. Les trois premiers chiffres sont exacts.

La marque du hasard semble visible. Pouvait-on cependant le mieux tenir à l'écart? Nos lois expriment une propriété commune aux combinaisons les plus nombreuses ; elles se vérifient quand on ne choisit pas, il ne suffit pas de choisir pour s'y soustrair-e.

Le partage des naissances entre les deux sexes a été étudié sur plus de 200 millions d'enfants. Depuis près de deux siècles le nombre des garçons a dépassé celui des filles ; aucun pays ne fait exception ni aucune époque. Le rapport varie peu : le nombre des garçons, pour 100 filles, est compris, pour un grand nombre de naissances, entre 104 et 108. 0-n s'est demandé si cette supériorité observée chez toutes les races, dans les villes comme à la campagne, au midi comme au nord, chez les plus pauvres comme chez les plus riches, est une loi de l'humanité ou un accident fortuit.

A notre époque et pour notre état social, l'évidence est complète ; ni les calculs ne sont nécessaires ni les raisonne-

LES LOIS DU HASARD. XXV

ments. Ils le sont pour un second problème. Les variations observées d'une année à l'autre pour un môme pays, d'une province à l'autre pour une même année, sont-elles assimilables aux résultats capricieux du hasard? Peut-on voir dans la constance approchée du rapport un témoignage suffisant de la loyauté du jeu? Je précise la question : une urne, toujours la même, contient des boules noires et blanches ; on y puise une boule au moment de chaque naissance. Pourrait-on sans invraisemblance représenter par le nombre de boules de chaque couleur la proportion variable des naissances ? Le nombre des noires, bien entendu, l'emporte sur celui des blanches dans la proportion qui convient au succès.

Les écarts de la moyenne produits par le hasard sur I million d'épreuves, pour un événement dont la probabilité diffère peu de i, ont pour valeur moyenne 4^o- D<" plus grands écarts sont possibles assurément, mais leur probabilité diminue rapidement. On peut parier looo contre i pour un écart moindre que iGoo. La probabilité d'un écart supérieur à 2000 est fo^onouo- Telles sont les indications du calcul.

2000 naissances masculines en plus sur i million accroîtraient de moins d'un centième le rapport du nombre de garçons à celui des lilles. Les rapports extrêmes fournis par la Statistique, i,o4 et 1,08, diffèrent trop l'un de l'autre pour permettre l'assimilation pure et simple aux effets du hasard. Les conditions ne peuvent donc être, en tout temps et en tout pays, identiquement les mêmes, mais la variation est petite. Pendant l'année iSày, le nombre des garçons nés à Paris est descendu à 10074 pour 10 000 filles. Dans les hasards d'un tirage au sort dont les conditions seraient invariables, sur un nombre d'épreuves égal à celui des naissances annuelles à Paris, on pourrait parier plus de i million contre i

qu'une telle anomalie ne se produira pas. Que s'est-il passé en jS^^ ? On doit s'attendre à l'ignorer toujours. Dans plusieurs départements, depuis le commencement du siècle, le nomijre des naissances annuelles des fdles a surpassé exceptionnellement celui des g-arcons. L'anomalie a moins d'importance que l'écart observé à Paris, elle se rapporte à des nombres cinq fois moindres.

La recherche des causes est délicate et obscure. Il est à regretter, dit M. Quetelet après de longues et patientes recherches, qu'on ait si peu de documents pour s'éclairer.

L'âge des parents joue sans doute un grand rôle. Cette explication semble la meilleure. Si on ne l'accepte qu'avec doute, c'est que, masquée parle hasard, l'influence reste mal connue ; l'âge moyen du père et celui de la mère varient peu dans un même pays. La variation des âges peut cependant expliquer, en partie au moins, les anomalies observées.

Allons plus avant et cherchons dans les eflets troublés les traits généraux du hasard.

La quadrature du cercle déduite approximativement du nombre des naissances ne laisse guère subsister de doutes. En appliquant la formule des écarts aux Sf) départements pendant l'année 1878 Gi])rena.nldi\n?,VAn/iuaire dit Buj^eaii des Longitudes les écarts entre le nombre des naissances de garçons correspondant â 10000 filles pour chacun des départements et la moyenne pour la France en tière, et la comparant à la moyenne de leurs carrés, au lieu du quotient 1,07 prévu par la théorie, on obtient 1 ,73. La petitesse de l'erreur paraît digne d'attention.

La recherche des causes est le grand problème : on le transforme sans le résoudre. En enchaînant les inconnues aux inconnues, la Science s'agrandit et s'élève. Si chaque effet n'avait qu'une seule cause, les énoncés au moins seraient

LES LOIS DU HASARD. XXVII

faciles. La complication est plus grande. Dans le monde immense des faits, les parentés existent à tous les degrés. I^V'numération des observations révèle les liens quand les nombres sont grands. La discussion est délicate, le bon sens la dirige, le calcul prononce.

L'inventeur d'un système associe, je suppose, la chute de la pluie à un phénomène astronomique ; il a observé vingt fois, sans une seule exception, qu'une pluie plus ou moins forte suivait le phénomène indiqué ; ce rapprochement est digne d'attention. >Lais c'est à Brest qu'on a observé; les jours sans pluie, à Brest, sont une rare exception, (^ue vaut alors la démonstration? Au Caire, elle serait décisive.

Il faut rapprocher, dans les cas semblables, le nombre des coïncidences observées de celui qui le remplacerait probablement, si tout était réglé par le hasard. Si deux phénomènes se présentent chacun () jours sur lo, les coïncidences, même très fréquentes, ne prouvent rien. Si chacun d'eux revient deux fois par an seulement, la coïncidence, plusieurs fois observée, sera diflicileinent attribuée au hasard. Difficilement : l'indication est vague ! elle doit l'être. Quand les eréomètres, dans les cas semblables, ont donné un chiffre précis, ils ne tenaient aucun compte de la probabilité a priori du rapprochement qu'on a voulu faire, ou ils l'évaluaient, ce qui revient au même, tout à fait au hasard. Une comète a précédé la mort de César. ()uel(pie nombreux et bien constatés que fussent les événements de ce genre, oserait-on croire, sur la foi du calcul, que telles âmes sont tant nobles et liéroïques que de leur délogement et trépas nous est certains jours devant donné signification des deux?

Un géomètre a trouvé une démonstration nouvelle du théorème de Bernoulli. J'en examine le principe, j'en parcours les calculs, j'en vérifie quelques-uns, et, n'apercevant aucune

objection et aucune méprise, je déclare avec confiance l'exactitude de la méthode.

Le même auteur propose une démonstration du célèbre théorème énoncé par Fermât. J'examine le principe, je parcours les calculs, j'en vérifie quelques-uns, et, n'apercevant aucune objection et aucune méprise, je continue à chercher la faute. Pourquoi cette différence? Si les cas sont identiques, linégalité est-elle juste? Les cas sont différents. L'auteur qui démontre le théorème de Bernoulli enfonce une porte ouverte, il ne peut guère trébucher au passage. Celui qui démontre le théorème de Fermât suit un sentier sans issue connue ; les chances d'une chute, d'après l'expérience du passé, y surpassent loo contre i pour les plus habiles.

Toujours exact et précis dans l'énoncé des règles, Laplace n'a pas manqué d'introduire cette probabilité a priori comme point de départ et base nécessaire du calcul. Quelles que soient les conditions du problème, elle entre comme facteur, presque toujours inconnu, dans la formule qui la résout. L'illustre auteur de la Théorie analytique des probabilités a plus d'une fois cependant donné des chiffres précis qu'il faudrait changer avec l'hypothèse arbitrairement adoptée sur la probabilité a prioii. Quand il assigne i H26214 à parier contre i comme mesure de la probabilité pour que le Soleil se lève demain, l'affirmation, quelles que soient les atténuations qui la suivent, repose sur une pure illusion.

Le rapport du nombre des décès à la population n'a pas été moins soigneusement étudié que celui des naissances. Les Compagnies d'assurances ont intérêt à le connaître et à en grossir l'évaluation. La Statistique le montre à peu près constant. Les variations, quoique petites, sont supérieures à celles du rapport des naissances des deux sexes. L'assimilation à des boules tirées d'une urne de composition invariable n'est

LES LOIS DU HASARD. XXIX

donc pas acceptable. La vicissitude des événements règle sans cesse la composition de l'urne. Tantôt c'est le choléra qui passe et y verse des boules noires. Ce sont les eaux plus pures et plus fraîches qui apportent des boules blanches. C'est la disette qui rend les maladies plus abondantes et plus graves, la guerre qui accroît les mauvaises chances dans Turne sans cesse renouvelée.

M. Dormoy, dans un livre savant et bien composé sur la théorie des assurances, a cherché curieusement dans les documents de la Statistique la confirmation de la loi des écarts. Il introduit, sous le nom de cocjfflcient de diver gcncc , le rapport de l'écart observé à l'écart moyen prévu par le calcul.

Un phénomène semble régulier, les chifTres qui le résument, sans être constants, varient peu d'une année à l'autre. On peut composer une urne qui, sous l'influence du hasard, représentera en moyenne, dans un grand nombre de tirages, par les boules noires amenées, la loi de l'arrivée de l'événement. On nomme écart, pour l'urne, la diûerence avec la moyenne annoncée par le calcul. L'écart, pour l'événement, est la difTérence entre le chifl're relatif à une année et la moyenne générale. Si le hasard règle le phénomène, le coefficient de divergence différera peu de l'unité. Un rapport plus grand révèle, s'il se maintient, l'influence d'une cause perturbatrice. Un coefficient de divergence plus petit que l'unité ferait deviner, au contraire, une action régulatrice qui, surveillant pour ainsi dire le hasard, amoindrit les inégalités et en efface le caractère. Tel est le cas d'un observateur trop avisé qui, dans les cas douteux, altère et corrige les observations pour en accroître la vraisemblance.

Pour les naissances des filles et des garçons, le coefficient de divergence à été 1,17 pour la France entière, de i832 à