n = Ge ^" ( ■>. n y^" }/■}. n

elle devient

et, lorsque n devient infini,

G = y-îTZ.

CHAP. IV. — THÉORKME DK JACQUKS HERNOULLI. 73

Nous pouvons écrire enfin ( 5 ) 1 . 2 . 3 .../* = e '" n" ^j.izn.

Pour éprouver rexaclitude de cette formule, véritablement indispensable dans les calculs de probabilités, faisons n=^io] nous trouverons

Le rapport de ces deux nombres est i , oo4 i " •

37. Les probabilités de deux événements contraires étant p et q, la combinaison la plus probable, sur a épreuves, est celle dans laquelle le nombre d'arrivées du premier événement est [jl/> et celle du second '^q.

Cette probabilité maxima est

L'application de la formule de Stirliog donne pour valeur approchée

e'V-P ( \t-p)^'' y-'.-'ij) e ['■'/ ( [j. q )'^'l sj 'i. r,a q ce qui se réduit, en ayant égard à la condition /> -i- (^ =: i , à

\J iT.]xpq

Celte probabilité, la plus grande de toutes, contient y/ij. en diviseur. Elle tend vers zéro, quand le nombre des épreuves augmente.

08. Cherchons la valeur approchée du terme dans lequel l'exposant de p est !j./> — /i, en supposant ce terme assez voisin du terme

maximum pour que - et même —^ soient petits.

74 • CALCUL DES PROBABILITES.

L'expression exacte est