CHAP. IV. — THÉORÈMK DE JACQUES BERNOULLI

61. Cherchons, d'après la formule (lo), la valeur probable du carré de l'écart, c'est-à-dire l'espérance mathématique de celui qui doit recevoir une somme égale à z^. Cette espérance est la somme des produits de chaque valeur de z'^ par sa probabilité : elle a pour expression, d'après notre formule,

Posons

la formule devient

yiTcixpq t

^■>- v-pq

pjL r e~.u-^

e ^^P'Iz^dz.

dt

lipq.

62. Nous allons chercher directement la valeur exacte de l'espérance malliémati(|ue dont la formule (ii) donne la valeur approchée. Posons

{ p -r q )V- = pV- -+- AiyoH-"ig' -+- A.,p\^~-^q'^-n . . .-h \^aP''^g'^^^

Les termes de cette formule représentent rigoureusement les probabilités dont (g) donne la valeur approchée. La probabilité qui correspond à un écart h est

ou 1 on a

n == ixq — /(, /( = ixq — n.

L'espérance malhémalique de celui qui attend une somme égale à h- est donc

(11) Ziiiq- n)'-\np\^-"q",

la somme S s'élendant à toutes les valeurs de n. L'expression (i i) peut s't'crire

(12) I.u.^-q'^\„p?--"q''— ■i'L\iqnXnP'^~"q"^ ^ù n^ Anp\^-" q'^. Ou a

puisque l'on multiplie pariji.^^^ tous les termes d'une somme égale à l'unité.

L'identité

(l3) (p -^ q )^ ^ I.\npV--''q"

donne, en égalant les dérivées par rapport à q, préalablement multipliées par q,

\i{p ^q)V-~^q = I.nk„pV--''q",

et, en remplaçant (p -\- q) pai" l'unité dans l'équation précédente, qui est une identité, on en déduit