I.n- \,ipV--^q"- = [ji( rjL — 1) ^2 ) u

Ces formules réduisent la somme (12) à

lJ.-q- — ■! ;j.2 q-^ + ixi [x — \) q^ ^ ixq = ijl^ ( 1 — q) = \t.pq.

C'est le résultat obtenu ((31). La substitution des valeurs approcbées aux valeurs exactes n'a donné aucune erreur.

Il ne peut pas toujours en être ainsi. Faisons une troisième épreuve.

63. Cherchons la valeur probable de l'écarté considéré en grandeur absolue; cela est nécessaire, car sans cela les termes négatifs détruiraient les termes positifs et le résultat serait nul.

La valeur probable de :;, d'après la formule adoptée pour repré-

CHAP. IV. — THÉORÈME DK JACQIES BEKNOULLI. 79

senler la probabilité dune erreur c, est

'^ / ze ^-\^P'1 dz.

L'intégration s'étend de o à l'infini seulement, parce que nous ne considérons pas les valeurs négatives, dont on tient compte cependant en introduisant le multiplicateur 2.

Posons

y/i [ipq

L'intégrale devient

telle est l'expression approchée de la valeur probable de :;.

6i. (Calculions exactement la valeur probable de l'écart.

La probabilité d'un écart égal à :; est le terme du développement de (p -f qY, dans lequel l'exposant de p est a/; -r ; et celui de q, 'j.q — c

Il faut multiplier ce terme

par z, afin de former l'espérance mathématique de celui qui attend une somme égale à z. On a, à cause de p -\- q =^ i ,

M yD -j - et <j.q — z sont les exposants de p et de q dans le terme de (/> -+- q)^. Or, multiplier un terme

par

'^q — ^p^ pq \--}\^

c'est prendre la dérivée par rapport à p, en retrancher la dérivée pai- ra|)port à q et nndtiplier la différence par /?^.

Nous devons donc prendre les termes de développement de

8o CALCUL DES PROBABILITÉS.

{p -\- q)^ pour lesquels ;; est positif, c'est-à-dire

/)!A^îa/j!^-'y+ ^—7 p\^-'-q'-^...-\ ^ pV-l>qV-<i,

'•■^ 1 .2.3. . .}i./D. I .'2.3. . .[JIÇ '^ ^ '

et reliancher la dérivée par rapport à q de la dérivée par rapport à /?, pour multiplier ensuite le résultat par pq.

Les termes, on l-e voit aisément, se détruisent deux à deux : la dérivée par rapport à q du second est égale à la dérivée du premier par rapport à yo ; la dérivée du troisième par rapport à ^est la dérivée du second par rapport à p, et ainsi de suite; il ne reste que la dérivée du dernier par rapport à p.