i.p I .2. ) . . .\iq
pV-PqV-1 iigp.
C'est le produit par iipq du terme maximum, c'est-à-dire, d'après la valeur approchée (57) de ce terme,
¥-pg__ ^ \^Vpq
yji \XT,pq y/2 TT
Il faut doubler ce résultat, puisque nous n'avons pris que les valeurs positives de -s : il s'accorde avec l'expression obtenue (63).
60. Nous pouvons donc accepter avec confiance l'expression (9) pour la probabilité d'un écart égal à z,
La probabilité pour que 3 soit inférieur à une limite donnée a, c'est-à-dire pour qu'il soit compris entre — a et 4- a, sera
\/l\iT.pq J a.
e -!J-/"7 dz
ou, en posant -=::^=zz = t^ v/TjI/^
('4) ro^ = — / e-'- dt.
Cette probabilité s'obtiendra dans chaque cas particulier à l'aide
CHAP IV. — THÉORÈME DE JACQUES BERNOUI.LI. 8l
de la Table des valeurs de la fonction
que Ton trouvera à la fin du Volume.
8(^), on peut le voir à l'inspection de la Table, tend rapidement vers runité; on a
66. On peut, sans consulter la Table des valeurs de la fonction 8, drduire de la formule (9) d'importantes conséquences.
L'écart zéro est le plus probable. Il a cependant une probabilité infiniment petite lorsque le nombre des épreuves devient infini.
La formule qui représente la probabilité d'un ('cart inférieur à a s'annule pour a == o. Il faut remarquer (pi'en substituant une variable continue à l'écart, qui nécessairement est entier, nous devons, pour représenter l'écart nul, prendre tout l'intervalle entre a = o et a= 1. Nous n'avons plus alors une probabilité rigoureusement nulle, qui devrait diminuer la confiance inspirée par la formule.
Si l'on assigne à a une valeur déterminée, quelque j-rande qu'elle soit, la probabilité pour qu'il ne la dépasse |)as tend vers zéro lorsque p. augmente sans limite.
On peut regarder comme certain, par consé(|uent, que, le nombre des épreuves croissant indéfiniment, V écart croîtra sans limite. La probabilité pour (pril reste au-dessous d'une limite donnée est infiniment petite.
Ce résultat i\xe le sens du beau théorème de Bernoulli; l'écart relatif est de plus en plus petit, l'écart absolu de plus en plus grand.
67. l^a certitude, quand les épreuves se multiplient, de voir l'écart absolu grandir sans limite peut se (\émon\xQv a priori, indépendamment de toute formule.
Le résultat le plus probable de ]x. épreuves successives est l'arrivée u/> fois de l'événement dont la probabilité est/?. Cette pro-
8<2 CALOIL DES PROBABILITÉS.
babilité maxinium, quoique plus grande que toutes les autres, | tend vers zéro; elle est (37) |)ro|)ortionnelle à -— •
Les autres, (jui sont plus petites, tendent a fortiori vers zéro; et, si l'on en prend un nombre désigné, quel qu'il soit, leur somme ne peut manquer de tendre vers zéro lorsque, ce nombre restant fixe, UL augmente indéliniment.
68. Il faut insister, en donnant un exemple, sur cette distinc- '
tion entre l'écart absolu, qui doit grandir, et l'écart relatif, qui lond vers zéro. 1
On joue à pile ou face. Combien doit-on faire d'épreuves pour que la probabilité d'obtenir pile ou face, sans préciser lequel, un million de fois au moins de plus que l'autre surpasse o,ui ?
il faut déterminer ul par rt''(|uation
— - j e-^' dt — 0,99.
v/it ..''0
On trouve dans la Table de la fonction B(0
Nous poserons donc
on en déduit
[j, = 597 21 1 millions.
69. La probabilité r^a d'un écart plus petit que a est, en général,
v/'2 \xpq ) '
il dépend du ra|)port ~ et tend rapidement vers l'unité quand ce
rapport augmente. Si l'écart relatif - reste constant, —= ^ y/u. - 1 r " [i. /a \^
augmentera sans limite, et la probabilité d'un écart moindre que
a se rapprochera de la certitude.
CHAP. IV. — THÉORÈME DE JACQUES BERXOri.I.l. 83
Cherchons, (3ar exemple, le nombre d'épreuves qu'il faut tenter à la roulette pour avoir 99 à parier contre 1 de voir le zéro sortir plus d'une (ois sur quarante en moyenne. Le nombre de sorties le plus probable est une sur trente-sept; si le zéro sort moins d'une fois sur quarante, l'écart est négatif et plus grand que
Nous avons
La probabilité d'un écart plus grand que a, si l'on pose
S/>.\xpq
est donc 0,02: le signe étant donné, elle esl 0,01. Nous poserons donc
En prenant
on trouvera
S/-X IXJHJ
(hielque petit que soit l'écart relatif assigné, on pourra faire un nombre d'épreuves assez grand pour rendre la probabilité de utpas Tatleindre aussi grande que l'on voudra.
70. Deux écarts remarquables ont reçu des noms qu'il faut connaître.
On a
L'écart a défini par l'équation
\/l}i.pq
a donc probabilité égale d'être ou de ne pas être surpassé.
84 CALCLL DES PROBABILITES.
Cet écail
o,4:<i9'^ \/'>v-pq
se nomme Vécarl probable sur u. épreuves.
L'écart moyen est la valeur probable de l'écart; il a pour valeur (64)
-4 \/v-Pq = o )79 789 sll^-P^h
Le rapport de l'écart probable à l'écart moyen est o,8463. Ils sont l'un et l'autre piopoitlonnels à la racine carrée du nombre des é|)reuves.
71. On représente souvent le nombre d'arrivées de l'événement dont la probabilité est/?, sur u. épreuves successives, par
En assignant à q une valeur numérique donnée, la probabilité pour que le nombre d'arrivées soit compiis entre les limites indiquées par cette formide est un nombre fix -, indépendant de [j., de p et de q.
Dans une série quelconque d'épreuves, il y a un à parier contre un de voir le nombre d'arrivées de l'événement dont la probabilité est p compris dans les limites
neuf à parier contre un c|u"il sera dans les limites
[i./> ± 1 , 1 63 v/2 \i-pq, et mille à parier contre un qu'il ne sortira pas des limites
72. La formule (i4) permet de définir avec précision ce qu'on doit entendre par jouer plus ou moins gros jeu.
Pierre joue 1000 parties, l'enjeu est i*^""; Paul en joue 100, mais l'enjeu est Io'^^ |
Tous deux peuvent perdre looo^'". Ils courent les mêmes risques,, ^
