CHAP. IV. — THÉORÈME DE JACOIES BERNOUI.LI
mais n'j sont pas également ex[)osés. Supposons un jeu é(|uitabh; ; la probabilité de gagner est/>, celle de perdre est q. La mise de Pierre est a, celle de son adversaire est 6, et l'on a
pb = qa.
Si Pierre gagne 'xp -f- h parties, il en perdra <xq — h\ son bénéfice sera
{[xp -^ /i) b — {[xq — h) a — /i( a -r- b).
Il est [)ropor tionnel à h.
La probabilité pour que la somme perdue ou gagnée soit inférieure à /i(« -h 6) = S est donc
{ a -h b } \/ ■>. xpq
La situation laite aux joueurs par les conditions (\u jeu et par le nombre des parties est déterminée par le produit (« -t- 6) y u/^y.
Pierre ex[)Ose lo'^'par partie et joue 20000 parties, avec chance égale de gagner ou de perdre.
Paul expose également 1 o'"', mais sa chance de gain est ,j^ seulement; il doit, en cas de gain, recevoir 35o^''. Combien Paul doil-il faire de parties, à ce jeu é(|uiiable, pour courir les mêmes risques que Pierre?
Le nombre a des parties est donné par Téquation
La situation de Paul, qui joue 5-i parties, serait exactement la même que celle de Pierre qui en joue 20000, si les formules étaient rigoureuses; elles ne sont qu'approchées. Il ne faudrait |)as les appH(|uer à de petits nombres.
73. Supposons que, dans un pavs qui compte 10 millions d'électeurs, on en désigne 20000 par un tirage au sort, pour leur faire élire un représentant. En supposant que le pajs soit partagé
86 CALCUL DKS PROBABILITÉS.
entre deux opinions, 4000000 d'un côté et 55ooooo de l'autre, quelle est la probabilité pour que le candidat élu appartienne à la minorité.
Le problème est identique à celui-ci :
La probabilité d'un événement est o,45, celle de l'événement contraire o, 55 ; on fait entre eux 20000 épreuves, quelle est la probabilité pour que l'écart dépasse 1000 en faveur de V événement le moins probable.
La combinaison la plus probable donnerait à la minorité qooo électeurs sur 20000. Pour que le hasard la transforme en majorité, il faut un écart supérieur à 1000, dont la probabilité s'évaluera en divisant par 2 l'indicalion fournie' par la formule (i4)? (lui se rapporte à un écart inférieur à a dans un sens ou dans l'autre.
La probabilité pour avoir un écart supérieur à 1000 est
0(io) diffère tellement peu de l'unité que l'événement peut être regardé comme absolument impossible. La probabilité de gagner deux quines de suite à la loterie serait beaucoup |)lus grande.
L'expérience semble démentir la théorie. Les minorités sont représentées, et, sans qu'il y ait aucune relation entre leur nombre dans le pavs et celui de leurs élus, celui-là est loin d'être nul.
Le calcul précédent suppose, en effet, que, tous les électeurs étant inscrits sur une seule liste, on y prenne 20000 noms ;iu hasard pour com|)Oser le collège électoral. Il n'en est pas ainsi; les électeurs d'un même département, d'un même arrondissement quelquefois ou d'une même ville ayant des intérêts communs, ne pouvant manquer de subir les mêmes influences, ne sont nullement assimilables à un groupe de votants désignés indépendamment les uns des autres sur le pays tout entier.
74. Lorsque la probabilité d'un événement est connue, on pent prédire avec presque certitude la valeur approchée du nombre d'arrivées de cet événement sur un nombre connu d'épreuves.
Jl faut cependant faire d'importantes réserves.
Le théorème reste vrai quand la probabilité de l'événement est
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inconnue. Le rapport du nombre des arrivées de l'événement au nombre total des épreuves s approchera certainement de celte probabilité inconnue, si l'on augmente sans cesse le nombre des épreuves. Si, par exemple, on puise dans une urne contenant des boules blanches et des boules noires, en remellanl après chaque tir.i^^e la boule qui est sortie, le rapport du nombre de boules blanches sorties au nombre des tirages- convergera vers la probabilité assignée par la composition de l'urne.
Mais deux conditions sont nécessaires : la probabilité ne doit pas changer pendant les épreuves, et elle doit avoir une valeur déterminée.
Un événement incertain n'a-l-il pas toujours une probabilité déterminée connue ou inconnue?
Il fiuit se garder de le croire.
Quelle est la jjrobabililé pour qu'il pleuve demain?
Elle nexisle pas.
Aon pas parce qu'elle varie d'un jour à l'autre avec l'étal du ciel et la direction des vents; mais parce (jue dans aucune circonstance elle n'a de valeur objective, \.\ même pour tous ceux qui l'évaluent sans se tromper.
Il pleuvra ou il ne pleuvra pas, l'un des deux événements est certain, dès à présent, et Tautre impossible. Les forces physiques d(»nl dépend la pluie sont aussi bien déterminées, soumises à des lois aussi précises que celles qui dirigent les planètes.
Oserait-on demander la probabilité [)our qu'il y ait éclipse de lune le mois prochain?
Un homme est âgé de quarante ans, quelle est la probabilité pour qu'il vive dans dix ans?
Ni révénement cette fois, ni révénement contraire n'ont, dès à présent, certitude égah; à celle d'une éclipse, mais la piobabilité n'a pas davantage, pour cela, de valeur objective, indépendante des renseignements connus et du bon jugement de celui qui en fait usage.
Le roi de Siam a quarante ans, quelle est la probabilité pour qu'il vive dans dix ans? Elle est autre pour nous que poui ceux qui ont interrogé son médecin, autre pour le médecin que pour ceux qui ont reçu ses confidences; très différente enfin pour des conjurés cpii prendraient leurs mesures pour l'étrangler le lendemain.
Toutes ces prohabilités sont subjectives, il n'en existe pas d'objective. L'esprit se refuse à concevoir une urne contenant des boules blanches et des boules noires que l'on puisse composer cha(|ue malin de telle sorte que la chance de vie pendant la journée puisse élre remplacée, pour un itidividu désigné, par le tirage d'une boule dans celte urne.
Les cas précédents ne peuvent être pris pour exemple de rapj)lication du théorème de Bernoulli. Que le roi de Siam meure ou vive, il est im|)Ossible de renouveler l'épreuve.
Il faut considérer, au lieu d'un événement isolé, une classe d'événements définis tous ensemble sans distinction. La réponse alors est moins évidente.
Quelle est la probabilité pour qu'il pleuve dix l'ois à Paris pendant le mois de janvier? On ne dit pas de quelle année.
Pour qu'un habitant de Paris âgé de quarante ans vive encore dans dix ans? On ne désigne pas Ihabitant.
Ces deux questions, semblables en apparence à celles qui ont été posées d'abord, en sont réellement très dillerentes. Nous réunissons en eflet, sans distinguer entre eux, tous les jours du mois de janvier de toutes les années et tous les hommes âgés de quarante ans, au lieu de désigner un seul jour et de s'occuper d'un seul homme.
Supposons que les progrès de la Science permettent la prédiction des jours de pluie avec une certitude égale à celle des éclipses. Le Tableau dressé à l'avance soustrairait le problème à la théorie du hasard, mais pour l'y faire rentrer s'il s'agit d'un jour indéterminé du mois de janvier choisi dans une année indéterminée.
L'assimilation à une urne devient possible alors. Le nombre des boules est le nombre des journées de janvier pendant un grand nombre de siècles; celui des boules blanches, le nombre des jours de pluie.
Une différence subsiste. Dans les épreuves relatives aux jours de pluie, on ne peut ni agiter les boules ni les remettre dans l'uine. En termes plus clairs, l'événement observé un jour n'est pas sans influence sur celui du jour suivant.
S'il s'agit des chances- de mort pour un Français âgé de quarante ans, la question est moins évidente encore. On ne peut plus supposer le tableau des événements dressé à l'avance avec certi-
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tude ni accepter, a priori^ rassiniilalion avec les tirages dans une urne.
Il n'est pas permis d'affirmer la régularité de la proportion des décès dans une grande ville ou même dans un grand pays.
Celle régularité est révélée par la statistique ; elle est très remarquable, mais nullement nécessaire.
Le rapport du nombre des décès à celui des survivants est, pour un âge donné, à peu près invariable.
Le ra|)port du nombre des naissances masculines à celui des naissances féminines est constant à très peu près, à toutes les époques et dans tous les pavs.
Il serait im|)Ossible de le démontrer n priori.
Le nombre d'Iieclolitres de blé récoltés dans un département varie d'une année ,'i l'autre.
Pourquoi celui des naissances est-il invariable?
On ne saurait en dire la raison.
t^a constance des rapports, (|iiand elle est constatée, donne-t-elle le droit d'assimilei- les chances «les décès et celles des naissances pour l'un et l'autre sexe à des tirages faits dans une urne de composition invariable?
La conséquence n'est nullement permise.
Les tirages au sort, si l'urne est composée pour cela, seront d'accord, en moyenne, avec la statistique. C'est une vérité identi(|ue.
Mais de l'égalité des moyennes peut-on conclure celle des chances d'écart? Ce serait admettre ce qui est en question.
Substituons aux hommmes d'une tnème ville les moutons d'un même troupeau et faisons la statistique de l'abattoir; un marché fait pour un grand nondjre d'années règle le nombre des victimes, , la régularité est parfaite. On peut composer l'urne dans laquelle on tirera avec certitude, pour un nombre suffisant d'épreuves, un nombre moyen de boules noires égal à celui des moutons sacrifiés chaque jour.
L'assimilation n'ira pas plus loin. Le nombre des boules noires variera d'un jour à l'autre ; le nombre des moutons sera invariable.
On fait une expérience sur les dés. On les introduit dans un cornet, on agite, on les lance et on note le coup. L'épreuve répétée 20000 fois confiime les prévisions théoriques. Tous les cas se pro-
go CALCUL DES PROBABILITÉS.
duisent proporlionnellement à leurs probabilités. L'expérimentateur se fatigue; une seule chose importe après tout, c'est de mettre le hasard à l'épreuve. Il dicte les points sans jeler les dés, il s'interdit le choix, le hasard parle par sa bouche.
Obtiendra-t-il les mêmes résultats? Aura-t-il looo doublets environ sur 6000 épreuves? Le nombre des points impairs serat-il peu différent de celui des points pairs? Il serait téméraire de l'affirmer. L'improvisateur des coups de dés peut se dire : il J a longtemps que je n'ai appelé le double six, l'impartialité veut qu'il ait son tour. Le sort n'a pas de tels scrupules, et il pourra arriver qu'une trop grande conformité aux pi'oportions prévues trahisse l'intervention d'une cause perturbatrice.
Si l'on jette deux dés 6000 fois de suite, le nombre le plus probable des doublets est 1000, l'écart probable est
o>47693 \/ ~:p- == i9547^>^^ et l'écîart moyen ^\/5ooo = 23,0829.
Si, en faisant louo séries fie 6000 coups, tous les écarts sont intérieurs à uo ; si la valeur moyenne des écarts, au lieu d'être 23, est inférieure à 10, on pourrait affirmer avec une certitude piesque inlaillible l'existence d'une cause régulatrice corrigeant les écarts du hasard.
75. Lorsque la probabilité d'un événement est variable d'une épreuve à l'autre, le théorème de Bernoulli n'est plus appliiiable.
La généralisation proposée par Poisson sous le nom de loi des grands nombres manque non seulement de rigueur, mais de précision. Les conditions supposées dans l'énoncé échappent par le vague à toute appréciation mathématique. On peut, dans un cas simple et digne d'intérêt, appliquer le théorème de Bernoulli, malgré la variation des chances pendant les épreuves.
Supposons une urne contenant un nombre \ de boules blanches ou noires, la probabilité d'en extraire une boule blanche est yo, celle d'extraire une boule noire est q.
On fait [j. tirages sans remettre dans l'iu'nc les boules qui en sortent. Si À et \^ sont de grands nombres, il est très probable que le rapport du nombre des boules blanches sorties a celui des
boules noires différera peu de -• En ne remettant pas les boules,
