Le cas oii le jeu est équitable doit êtie traité à part
On a alors
pb — qa =: o,
et le théorème est en défaut.
CHAP. V. — UÉMONSTRVTIONS DL THKORÈME DE BERNOULLI. 97
Le premier terme de la valeur (6) Je X élanl nul, le gain fait en ijL parties se réduit à
On ne peut rien afiirmer sur son signe. Quelque grand que soit a, Pierre, à un jeu équitable, peut perdre ou gagner. La valeur probable du carré du gain positif ou négatif est proportionnelle au nombre des parties. Ou peut donc tenir pour certain
qu'après un grand nombre de parties la valeur moyenne — du gain fait'à chaque |)artie par celui des joueurs que le hasard a favorisé sera très pelite. La valeur piobable de - — , cairé du aain mojen par partie, est en efifet
\}.pq (a ^ h )2 ^ pq(a — b )-
elle tend vers zéro quand a augmente.
79. Le théorème démontré (77) peut s'appliquer aux épreuves successives entre deux, événements contraires.
Soient/? et q les deux [)robabilltés. Leur somme est égale à l'unité; une série de a épreuves amenant, dans un ordre réglé par le hasard, l'un ou l'autre de ces deux événements peut donner lieu à un jeu équitable. Pierre gagnera la [partie si l'événement dont la probabilité est /; se présente; sa mise sera égale à />, celle de l'adversaire égale à q.
On aura, en adoptant les notations du théorème (77),
G — pq -^ cj( — p) — o, H ^ pcji^qpi = pcj.
Si, sur 'X parties, Pierre en gagne m et en perd <j. — m, son gain seia
ni(j — ( ;JL — m) p = m — \xp.
La valeur probable de B.
p8 CALCUL DES PROBABILITES.
est donc (76)
elle tend vers zéro lorsque ix augmente. On peut donc affirmer
m avec une certitude croissante que la dittérence entre le rapport —
et la probahilitr p tend vers zéro lorsque le nombre des épreuves augmente. C'est le lliéorème de Bernoulli.
La valeur probcble de l'expression (8) a été obtenue déjà sous une autre forme.
La valeur probable (62) du carré de Técarl sur p. épreuves
est \i-pg-
Cetécart est la différence m — iJL/>. La valeur j)rob;d)lede(/?J — |J.y>)-
II y [m \- , PI
îtant ^xpq^ celle de ( pj esl — •
(^est le même théorème.
80. Nous donnerons du tliéorème de Bernoulli une démonstration plus simple encore que la précédente.
Supposons deux événements contraires ayant pour probabilités
p elq. Sur UL épreuves faites entre eux, les nombres d'arrivées les
plus probables sont tjL/> et [j.^; nommons écart la différence entre
le nombre d'arrivées de l'événement dont la probabilité est/» et le
nombre le plus probable ^p.
On promet à Pierre une somme égale à la valeur absolue de l'écart, et non plus à son carré comme on l'a supposé dans la démonstration précédente. Sans calculer l'espérance mathématique de Pierre, nous allons d('monlrer que, le nombre ]j. des épreuves grandissant indéfiniment, celte espérance est très petite par rapport à UL.
Désignons par 'f ([j.) l'espérance mathématique de Pierre.
Si l'on double le nombre des épreuves, cp(u.) deviendra 'f (afj.), très différent de a'>p(a).
Partageons, en effet, les 2 [j. épreuves en deux séries de ^. f^'écart peut, dans les deux séries, avoir le même signe ou des signes différents. Dans le premier cas, l'écart total est la somme des deux écarts partiels; dans le second, il esl leur différence. L'espérance nialliémalique, si l'on sait que le premier cas se produit, est 2 cp(p.);
