CHAP. V. — DKMONSTRATIONS DU THÉORÈME DE BERNOULLI

dans le second, elle est évidemment plus petite. Désignons-la par 2acp(|jL), a étant plus petit que l'unité.

Soient/?, la probabilité pour que, sur pi épreuves, l'écart soit posinf, ^1 pour qu'il soit négatif; la probabilité pour que, dans les deux séries de it. épreuves, les deux signes de l'écart soient semblables est /?; -|- ^, ; pour qu'ils soient différents, elle est 2/),^,. On en conclut

cp(2,a) = '2(/>2 -|-^2)cp(^u) + 4/?,g'iacp((jL). On a

par conséquent

Pi -+-Çi^'i^qiPi < I-

«(2a) est donc plus petit que iz>(<j.). La somme

pi -^ 9\ -i-aa/Jig',

ne pourrait tendre vers l'unité lorsque <x augmente que dans deux cas : ou bien l'une des probabilités />, ou q^ tend vers zéro, ou bien a tend lui-même vers l'unité.

La première hjpotlièse est impossible. Si, en eff'et, p^ tend vers zéro, il en résulterait que, sur un nombre d'épreuves indéfiniment croissant, on pourrait regarder comme certain que Fécart sera d\in certain signe. En jouant alors au jeu équitable, défini (79), l'un des joueurs, après un grand nombre de parties, serait certain de gagner.

La seconde hypothèse est également inadmissible.

L'espérance mathématique de celui qui attend la différence de deux écarts ne peut être la même que s'il attend leur somme.

Nous pouvons donc écrire

(p(2[x) = 2Giçp(,a),

G, étant plus petit que l'unité et ne s'en approchant pas indéfiniment.

On en conclut

Cp(4[a) = 2Gi9(2[Jl), 9(8[-l) = 2G3Cp(4[Jl),

Ç(2«[JI) = 2G„Cp('2"-l[JL)

et, en mulliplianl ces équations,

(p(2"iJl) = 2"GiG-2- ..G„CC([a).

On en conclut

?(lV)^G,G....G.iili^

Les facteurs G,, G,, . . ., G„ étant plus petits que l'unité et ne tendant pas vers l'unité, leur produit tend vers zéro. En posant 2"<j. = z, on a, lorsque :; grandit sans limite,

lin. ^ = o.

L'espérance mathématique de celui qui attend une somme égale à l'écart absolu sur z épreuves est donc très petite par rapport au nombre des épreuves, et l'on peut regarder, par conséquent, comme certain qu'après un nombre indéfiniment croissant d'épreuves l'écart est infiniment petit par rapport au nombre des épreuves.

OH.VH. VI. — LA Rl'lNK DKS JOUEIKS.