LA RUINE DES JOUEURS
Si le nombre de» parties est indélini, l'arantage du joueur le plus riche serait infini si sa fortune pouvait l'èlre : c'est pour cela que c'est courir à une ruine certaine que de jouer indifTéremuienl arec tous ceux qui se rencontrent.
Ami'Khe.
51. Lorsqu'un joueur joue indéfininient à un jeu équitable, sa ruine tôt ou tard est certaine. La proposition semble contradictoire, elle ne l'est pas. — 8^2. Lorsque deux joueurs luttent indéfiniment, quelles que soient les conditions du jeu. l'un des deux doit finir par se ruiner. — 83. Calcul numérique. — 84. La perle peut entraîner la ruine avant la fin du nombre convenu de parties. Cela accroit les chances de ruine. — 8.5. Deux manières d'énoncer le problème de la ruine des joueurs. — 86. Cas où Pierre possédant m francs joue indéfiniment à un jeu équitable. — 87. La valeur probable du nombre des parties est infinie. Il n"v a pas contradiction. — 88. Démonstration de l'énoncé précédent. — 89. Calcul des chances de ruine dans un nombre donné de parties. — 90. Exemples numériques. — 91. Cas où deux joueurs ont des fortunes donn(''es. Chance de ruine de chacun. — 92. Cas où le jeu n'est pas équitable. — 93. Autre manière d'obtenir le même résultat. — 94. Cas où les deux joueurs ont même fortune et exposent la même mise. — 95. Probabilité pour qu'un joueur qui joue indéfiniment finisse par se ruiner. Trois cas peuvent se présenter. — 9G. Le cas où la ruine n'est pas certaine est celui où le joueur a un avantage. — 97. Exemple numérique. — 98. Probabilité d'être ruiné précisément après un nombre donné de, coups. — 99. Valeur approchée de la probabilité. — 100. Probabilité pour que la ruine soit postérieure au ij.'»™" coup. — 101. Valeur maxima de la probabilité. — 102. Valeur maxima de la valeur approchée. — 103. Valeur probable du nombre des parties jouées avant la ruine de l'un des joueurs. — 104. Cas où le jeu n'est pas équitable. Théorème de M. Bouché. — 105. Évidence apparente du théorème. — lOG. Insuffisance de la démonstration. — 107. Réduction du cas où le jeu est équitable au cas général. — 108. Cas où les fortunes sont égales en commençant le jeu. — 109. Cas où deux joueurs luttant l'un contre l'autre peuvent l'un et l'autre être ruinés. Insuffisance d un raison-
CALCUL DES PROBABILITES.
nement qui semble fort simple. — 110. Cas où Pierre et Paul possèdent chacun 2'^ — 111. Cas où ils possèdent y. — 112. Cas général. — 113. Examen d'une combinaison proposée pour accroître les chances de gain.
81. Le jeu ruine ceux qui s'y livrent. Il n'y a exception que pour les joueurs auxquels les conditions acceptées accordent un avantage.
Le fermier des jeux à Monte-Carlo peut accroître sans crainte le nombre des coups. La menace ne s'adresse qu'aux pontes.
Lorsque le jeu est équitable, la ruine tôt ou tard est certaine.
La proposition semble contradictoire. En ruinant l'un des joueurs, le jeu enrichit l'autie; en s'exposant à perdre une fortune, on a l'espoir de la doubler.
Cela n'est pas douteux ; mais, quand la fortune est doublée, le théorème s'y applique avec la même certitude : elle peut doubler encore, centupler peut-être, tout sera emporté à la Cois par un caprice du hasard. En combien de temps? Nul ne le sait ; la probabilité augmente avec le nombre des parties et converge vers la certitude. C'est cette progression extrêmement lente, il faut le déclarer tout d'abord, à Tétude de laquelle est consacré ce Chapitre.
82. Lorsque deux joueurs luttent constamment l'un contre l'autre, quelles que soient leurs fortunes et les conditions, équitables ou non, du jeu qu'ils renouvellent sans cesse, l'un des deux finira par ruiner l'autre ; la probabilité pour qu'ils puissent faire un nombre donné de parties tend vers zéro quand ce nombre augmente.
Lorsque deux joueurs, en effet, font un grand nombre de parties, la probabilité de la répartition la plus probable entre les parties gagnées et perdues par l'un d'eux tend vers zéro quand le nombre des parties augmente. Elle est (57) inversement proportionnelle à la racine carrée du nombre des parties.
Si la probabilité de la combinaison la plus probable tend vers zéro, il en est de même, à plus forte raison, de toute autre combinaison désignée et, par conséquent, aussi d'un ensemble de combinaisons quel qu'il soit, dont le nombre ne croîtrait pas indéfiniment avec le nombre des parties.
CHAP. VI. — LA RllNE DES JOUEURS. lo3
Quelles que soient les mises des deux joueurs, on peui assigner une répartilion des perles el des gains, telle que la compensation soit parfaite et que chaque joueur, à la fin, se retrouve avec sa fortune primitive. Si, prenant pour point de départ ce mode de répartition, on accroît le nombre des parties gagnées par l'un des joueurs, le gain sera pour lui, pour chaque partie gagnée de plus, et par conséquent pour chaque partie pei'due de moins, égal à la somme des deux, mises, et tout écart de cette répartition qui équilibre les pertes el les gains ruinera l'un ou Tautre joueur, si, multiplié par la somme des mises, il donne un pn)duit plus grand que la fortune du plus richi;.
En caractérisant les combinaisons par le nombre total des parties gagnées par l'un des joueurs, le nombre de celles qui, ne ruinant aucun des deux joueurs, permettent la continuation du jeu est donc indépendant du nombre des parties jouées, et la probabilité pour que l'une ou Taulre de ces combinaisons se produise tend vers zéro quand le nombre des parties augmente.
83. Supposons, par exemple, (pie l'on joue à pile ou face, l'enjeu étant i''' la partie. Si le nombre des arrivées de pile est égal à celui des arrivées de face, il n\ aura ni perle ni gain.
Cherchons combien il faut faire de parties poui- que la probabilité d'une perle de looooo'^'' pour l'un des joueurs soit égale à 0,999.
Pour que, en jouant i''"' la partie, l'un des joueurs perde rooooo*% il faut (|ue l'écart, dans un sens ou dans l'autre, soit plus grand que 5oooo.
On entend par écart, il n'est pas inutile peut-être de le rappeler, la dill'érence entre le nombre des parties gagnées et le nombre relatif à la combinaison qui rend les perles nulles. Cette combinaison correspond, dans le cas actuel, à l'égalité des perles el des gains.
Si a est le nombre des parties jouées, la probabilité de la combinaison la plus probable est (o7)
et, dans le cas actuel, puisque p el q sont égaux à ■^,
TTIJ.
La probabilité pour que le hasard amène une des looooo combinaisons pour lesquelles la perle est inférieure à looooo'' est plus petite (|ue
lOO OOO
Si donc on a
, lOOOoO
1 OOO
la probabilité d'une perte moindre que looooo^"" sera plus petite •^1"^ TïïVô ^^ P^'" conséquent, celle d'une |>erte plus grande sur|)as-
sera o.(j9().
L'inégalilé (i) donne
7 millions de milliards de parties sulfiraient pour donner la probabilité demandée.
Si deux joueurs pouvaient (aire ce nombre immense de parties, il } aurait pour chacun d'eux probabilité presque égale à 7, de perdre plus de looooo^'" et probabilité égale de les gagner.
Cette évalualion numérique pourra rassurer ceux que la cerlitude de ruine effrayait plus qu'il ne faut.
La probabilité d'un écart reste la même (58), lorsque l'écart dmiinue ou augmente proportionnellement à la racine carrée du nombre des parties. Si l'on divise le nombre des parties par i million, en les réduisante 7 milliards, la somme dont la perte par l'un des joueurs aura 999 chances sur 1000 sera réduite à IOo'^
La méthode précédente ne donne qu'une limite. Le calcul exact est facile.
La probabilité pour qu'en jouant à un jeu équitable, les mises
CHAP. VI. — LA KUINK DKS JOUEURS.
io5
élant« et h et les probabilités de gagner à chaque partie/; el q^ la somme perdue ou gagnée soit inférieure à une limite S a été donnée (72); elle est
-tny,i\i.pq
'dt
( a --r- b ) \l-i \i.pq
en la retranchant de limité, on aura la probabilité pour que la j)erle de l'un des joueurs soit plus graude que S. On trouve dans la Table
Si Ion pose
{ a -^ b ) sj -1 \i.[>q
on en déduira le nombre u des |)arties nécessaires pour que la probabilité d une perte supérieure à S s#it égale à ^.
Soient
on trouvera
Si l'on suppose S = 100 000. on aura
|jL =: (ii^ooo millions.
En prenant S= 100, on a
[jL = (V.).4ooo.
il faut faire 624000 parties à 1 '"■ pour que la probabilité de perdre ou de gagner 100''' soit égale à j^.
84. Les chiffres précédents, donnés sans commentaire, feraient naître une idée très fausse sur les chances de ruine.
Nous supposons le nombre des parties convenu à l'avance. On réglera à la fin : telle a été notre hypothèse. La chance de perte n'a rien alors de bien cfTrayanl, il v a une chance sur dix pour
Io6 CALCUL DKS PROBABILITES.
qu'après 624000 parties jouées tout se réduise à une perte inférieure à loo*^''.
La chance de ruine que nous voulons étudier est bien différente. On doit à ciiaque partie déposer la mise; si donc, à un certain moment, la perte du joueur dépasse sa fortune, il ne sera pas admis à continuer et perdra toute chance de se relever. La probabilité qu'il faut connaître n'est pas celle de la perte finale, mais celle de la perte maximum à l'un des instants de la série de parties.
80. Le problème peut être posé de deux manières. On peut considérer deux joueurs jouant l'un contre l'autre à des conditions données, et chercher les chances de ruine pour chacun d'eux et les probabilités relatives à la durée du jeu, c'est-à-dire au nombre des parties jouées avant la ruine de l'un d'eux. On peut, et c'est une étude très différente, étudier le sort du premier joueur sans se préoccuper du second, supposer qu'il change d'adversaire, qu'il en trouve toujours un disposé à jouer aux mêmes conditions, ou, ce qui revient au même, (|ue celui contre lequel il entreprend la lutte ait une fortune infinie.
Dans le premier cas, nous l'avons vu (82), le jeu doit finir tôt ou tard par la ruine de l'un des joueurs. La probabilité pour que le nombre des parties nécessaires atteigne une limite donnée tend vers zéro quand cette limite augmente.
Dans le second cas, quand un seul des deux joueurs peut être ruiné, la ruine est également certaine si le jeu est équitable; la probabilité pour que le nombre des parties dépasse toute limite est infiniment petite.
On peut le démontrer sans calcul. Supposons que Pierre possède m francs et qu'il ait résolu de risquer une même somme à un jeu équitable, tant qu'il pourra déposer sa mise.
Nous pouvons supposer qu'une première lutte s'établisse entre Pierre et un adversaire de fortune égale. Le jeu est équitable. Pierre a chance ^ de sortir vainqueur de cette lutte : il possédera alors 2/n francs. Supposons-lui alors un second adversaire possédant comme lui 2m francs, Pierre a chance r> d'être ruiné par lui, mais chance r, aussi de le ruiner et de posséder \m francs.
Pierre luttera alors contre un adversaire possédant ^m francs, et
CHAP. VI. — LA RIINE DKS JOLEL'RS. IO7
il aura cliance r,, en le ruinant, d'en posséder 8m. La série est indéfinie. On voil que, pour échapper à toutes les chances de rnine, Pierre devrait avoir autant de bonheur que si, jouant sans cesse à pile ou face, il ne perdait jamais une seule partie. Une telle persistance doit être évidemment considérée comme impossible et Pierie, tôt ou tard, se ruinera.
L'assimilation avec le jeu de pile ou lace est évidente. Pour en effacer toute différence, il faut supposer aux parties de pile ou face des durées croissantes. Si l'une d'elles ne finissait pas, la démonstration perdrait toute sa force. Un tel hasard (82) doit être tenu pour impossible.
86. La démonstration précédente, en montrant la ruine du joueuf inévitable, n'apprend rien sur les probabilités relatives au nombre de parties qui doivent l'amener. Nous pouvons, dès à présent, démontrer que la valeur probable de ce nombre de parties est infinie. J^a contradiction semble choquante.
La ruine est certaine, dit-on, et la valeur piobable du nombre des parties qui la procurent est inlinie. Si le nombre des parties est infini on ne pourra pas les jouer, la ruine ne s'accomplira pas : elle n'est donc pas certaine.
La ruine est certaine. 11 ne faut pas confondre le nombre des parties qui, vraisemblablement, seront jouées avec le nombre probable des parties; il faut surtout ne pas oviblier ce que nous entendons par certitude. Quand on dit la ruine est certaine, tôt ou tard, on n'entend pas affirmer (ju'après un nombre de parties, si grand qu'il soit, la ruine est assurée comme un théorème de Géométrie. S'il en était ainsi, le nombre probable des parties ne pourrait pas, évidemment, surpasser et serait certainement très loin d'égaler cette limite infranchissable.
La ruine est certaine, cela veut dire : la probabilité pour que le nombre des parties qui s'accompliront surpasse une limite donnée tend vers zéro quand cette limite augmente.
La valeur probable du nombre de parties est infinie, cela veut dire : l'espérance mathématique de celui (|ui doit recevoir autant de francs qu'on jouera de parties est infinie.
Les propositions ainsi comprises ne sont nullement contradictoires.
lo8 CALCUL DES PROBABILITÉS.
Supposons que Pierre, se mettant au jeu avec i*^"" seulement, c'est le cas le plus défavorable, soit décidé à jouer, sans interruption, jusqu'à ce que ce franc soit perdu. La probabilité pour qu'il le perde, tôt ou tard, est une certitude; mais, quelle que soit la limite qu'on voudra assigner, il y a possibilité pour que le nombre des parties jouées la surpasse. La probabilité pour qu'il en soit ainsi tend vers zéro quand la limite augmente. En disant que le nombre des parties ne /?ew^ pas être infini, on ne veut pas dire autre chose.
Si l'on promet à Paul i*'"" par partie que jouera Pierre avant d'avoir perdu le franc qu'il possède en eutnint au jeu, l'espérance mathématique de Paul est, par définition, le nombre probable des parties. Il faudra, pour la calculer, multiplier chaque nombre possible par la probabilité correspondante. Or les nombres yc>05.ç/Z>/e.ç vont à l'infini • il n'y a rien de contradictoire à annoncer qu'en les multipliant par des probabilités de plus en plus petites qui, suivant notre façon de parler, expriment des impossibilités, la somme des produits augmente sans limite.
Le résultat est analogue au paradoxe de Saint-Pétersbourg, dans lequel nous avons rencontré déjà une espérance mathématique rendue infinie par l'énormité des sommes dont la probabilité paraissait assez petite pour qu'on n'y attachât aucun prix.
87. Démontrons (pie la durée probable du jeu est infinie pour un joueur qui change d'adversaire et veut risquer Va même mise, à un jeu équitable, tant qu'il aura possibilité de la mettre enjeu.
Considérons d'abord deux joueurs, Pierre et Paul, possédant chacun im francs. Ils luttent à un jeu é(|uitable jusqu'à la ruine de l'un deux. Soit '^{im) le nombre probable des parties qu'ils joueront, 'o{m) désignant, parla même notation, le nombre probable des parties quand les deux joueurs possèdent chacun ///francs. La lutte entre Pierre et Paul pourra, sans que rien soit changé aux chances de chacun, commencer par deux épreuves distinctes. Paul, dans une première série de parties, risquera m francs contre m francs de Pierre, et dans une seconde série il exposera la seconde moitié de son avoir contre la seconde moitié de celui de Pierre.
Deux cas [pourront se présenter : ou les deux luttes, quand
