CHAP. VI. — LA RUINE DES JOUKURS. I
elles seront terminées, auront le même vainqueur, qui aura ruiné son adversaire ; ou chacun gagnera Tune des deux séries, et les joueurs se retrouveront dans la situation primitive, possédant chacun im francs.
On en conclut
(2) cp(2m) = 2cp(/?7 ) -!- - tp(2m).
Le nombre des parties se compose, en effet, des nombres de parties faites dans les deux séries, el dont chacune a pour valeur probable C5(m), et de plus, éventuellement, du nombre de celles qu'il faudra faire encore si, à la suite des deux séries, on se retrouve dans la situation primitive, ce dont la probabilité
est :;.
L'équation (2) donne
(3) cf(2m) = 4'f m).
Supposons maintenant que Pierre, possédant m trancs, ait résolu de jouer sans limite contre tout adversaire qui se pi-ésentera. On peut régler son jeu delà manière suivante : il luttera d'abord contre un premier adversaire possédant comme lui m francs. S'il le ruine, il possédera im francs; on lui opposera un second adversaire de fortune égale. S'il ruine le second, il possédera l\in francs el pourra lutter, à chances égales, contre un adversaire ayant comme lui l^m francs. Le jeu continuera jusqu'à la rencontre d'un adversaire qui, à ce jeu toujours égal, léussira à le ruiner.
On voit tout d'abord, comme on Ta remarqué déjà (80), que la ruine de Pierre est certaine; il ne pourrait l'éviter qu'en étant toujours favorisé par le hasard dans une série indélinie d'épreuves pour chacune desquelles la probabilité est ^.
Le nombre probable des parties est, d'après l'analyse précédente,
(4) "^{rn)-^ -ç(2/n)-H-<fU'^)+g?(8^)-*-
Pierre, en effet, est certain de jouer la première série, pour laquelle le nombre probable des parties est cp(m) : il a probabilité i de jouer la seconde : il suffit pour cela qu'il sorte vainqueur de la première ; il a probabilité | déjouer la troisième, car il suffît
IIO CALCUL DKS PROBABILITES.
qu'il gagne les deux premières, etc. En ayant égard à la relation (3), la somme (4) devient
(p(m)-t-2(p(/n)-f-4cp(m)-H8cp(m)-i-...; elle est infinie quel que soit ^[m).
89. Les clianees de ruine d'un joueur, à un jeu équitable, se calculent aisément lorsque, le nonibre des parties étant fixé à l'avance, on doit les faire, quoi qu'il arrive, et régler les comptes à la fin.
p el q désignant les probabilités de perle el de gain à chacune des 'j. parties, la probabilité pour que le nombre des parties perdues surpasse 'j.q + h, c'est-à-dire pour que la perte surpasse le produit de h par la somme des mises, est
(5) -~^= f'e '^'"'dz.
Si l'on pose
elle devient
l^pq
/ c-i^dt — / e-'Vf.
Le premier terme est égal à ^, le second tend vers zéro quand \j. augmente.
La probabilit*' pour qu'un joueur, après un nombre croissant de parties, fasse un gain supérieur à une somme donnée, tend vers ^, quelle que soit cette somme, quand le nombre des parties augmente sans limite.
La probabilité pour qu'il soit en perte d'une somme égale tend aussi vers |, et la probabilité pour que la perte ou le gain restent, pour un nombre croissant de parties, inférieurs à un nombre donné tend vers zéro, quel que soit le nombre. Le jeu, on ne doit pas l'oublier, est supposé équitable.
