LA RUINK DES JOUEURS
de parties diminue rapidement quand la perte assignée esl grande.
Supposons que l'on joue looo parties, p el q étant l'un et l'autre égaux à ^. La probabilité pour l'un des joueurs de perdre un nombre de parties supérieur à 5oo -\- h, par conséquent détre en perte de imh^ m étant la mise, est
e-'--dt.
Le Tableau suivant donne la probabilité pour que le joueur qui possède 2 A francs soit ruiné en jouant mille parties.
Ail
A = ^ f e-i'dt.
1 o,î73 18 o,r.>.9 35 o.oij
2 o,43() 19 o.ii) 36 o,oi>.
3 o, (25 '20 o,io3 37 o,oio
4r o,4oo 21 0,09} 38 o,o<'9
5 0^377 22 o,oS3 39 0.007
6 o,3>} 23 0.073 40 o,oo(5
7 o,33o 24 o,o(i5 41 o,ooj
10 o,2r)4 27 0,045 44 o,oo3
11 o,ii4 28 0,039 4.0 o,oo3
14 o,£88 31 0,096 48 o,oo9
17 0,149 34 o,or6 82 0,000004
Le Tableau suivant donne le nombre des parties qu'il laut jouer pour que, les deux adversaires ayant ii chaque partie probabilité ^ de gagner, et l'enjeu étant i'"'", celui des deux qui sera favorisé par
le hasard ait une probabilité | de gagner une somme supérieure à
119, CALCUL DES PROBABILITES.
un nombre donné :
Bénéfice assigné dont la probabilité est i. Nombre des parties.
4oo 25i6o3
1000 ■?.igyjii
Les parlies, comme dans le cas précédent, seront jouées, quoi qu'il arrive. Si le jeu devait se terminer dès qu'un joueur a obtenu le bénéfice demandé ou dès qu'il ne peut plus déposer sa mise, les résultats seraient très différents.
91. Problème XLIX. — Pierre et Paul font an nombre illimité de parties à un jeu dont les conditions sont équitables ; leurs fortunes sont m et n. Quelle est, pour chacun d'eux, la probabilité de ruiner lautrel
Le jeu devant se prolonger jusqu'à la ruine de l'un des joueurs peut êti"e assimilé à une seule partie dans laquelle celui qui risque m francs devrait, s'il est vainqueur, en obtenir m-\-n. L'espérance mathématique doit être égale à la mise, et, si Ton nomme/? la probabilité pour que Pierre ruine son adversaire, l'équation
On peut calculer directement cette probabilité. Soit j^a; la probabilité pour que Pierre ruine Paul au moment où il possède X francs et où Paul, par conséquent, en possède m -\- n — x. On pourra écrire
(5) yx^ py.t^h-^ qyx-a-
Lorsque Pierre, en effet, possède x francs, il peut, à la fin de la partie suivante, selon qu'il la gagne ou qu'il la perd, posséder
CHAP. VI. — LA RUINK DES JOUEUKS. Il3
X + b on X — a francs; Il y a donc probabilité p pour quejK^ se change en j-^^^, et probabilité q pour (pj'il devienney^<,. LVcjuation (5) en esr la consé(fuence.
pb étant égal à qa, puisque le jeu est équitable, la solution générale de l'équation (5) est
a et ^3 étant arbitraires.
Cetre valeur de jKx satisfait, on le vérilie iuimédiateinenl, et, renferniant deux constantes arbitraires, elle est la solution la plus générale.
On a, pour déterminer les constantes,
on en déduit
ni -T- n
et, par consécpient,
qui s'accorde avec la solution précédente.
Cette solution peut donner lieu à une difficulté. Si les enjeux a et b ne sont pas égaux à l'unité, Tun des joueurs pourra être forcé de cesser le jeu avant d'avoir tout perdu, possédant encore une somme inférieure à la nnse exigée. Nous négligeons cette petite somme, qui, cependant, mettrait la formule en défaut dans le cas où elle formerait une partie notable de la fortune du joueur.
92. Pkoblème L. — Les conditions restant, celles du problème précédent, on ne suppose plus les conditions du jeu équitables. Quelle est, pour chacun des joueurs, la probabilité de ruiner V autre?
Un ingénieux artifice de Moivre permet de déduire la solution de la théorie de l'espérance mathématique.
Donnons à Pierre, au lieu des m francs qu'il possède, m jetons de valeur a, a-, ..., a'" ; a sera choisi ultérieurement. Remplaçons
j,^ CALCUL DHS PROBABILITÉS.
éji;alenient les n francs de Paul par n jelons de valeur a'«+\. a'""*"-, . . . , a'"+" qui conlinuenl la progression.
Le jeu se faisant dans les conditions supposées, la mise de Pierre sera a jetons, au lieu de a francs, et celle de Paul b jetons. On conviendra qu'à chaque partie Pierre exposera toujours les jetons dont la valeur est exprimée par les plus hautes puissances de a, et Paul, au contraire, ceux dont la valeur est représentée par les plus petites.
La série des jelons restant toujours la même, la séparation après chaque partie se fera en un point différent, mais Pierre aura toujours les premiers termes de la série, et Paul tous les suivants.
La chance, pour chaque joueur, de perdre tous ses jetons est indépendante de la valeur qu'on leur attribue et, par conséquent,, du choix de a. Le jeu sera équitable si l'on pose
Cette équation se réduit, (piel (]ue soit x^ à
a" — 1 p ■xu+h — a''. " q'
c'est-à-dire, p + q étant égal à i ,
Le jeu, grâce à cet artifice, étant devenu équitable, l'espérance malhématique de chaque joueur doit être égale à sa mise; et^ si l'on nomme P„i la probabilité pour que Pierre, qui a m jetons^, ruine Paul, qui en a /i, on aura
93. Le calcul de P„, peut se faire directement. Soit^a; la probabilité, au nioment où Pierre possède x francs,. pour qu'il finisse par ruiner Paul, on aura, comme (91),
y=c == pyx-rh -+- qyx-a ; pb n'étant plus égal à qa^ l'intégrale de cette équation est, comme
CHAP. VI. — LA RUINK DKS JOUEURS. Il5
on le vérifie aisément,
(7) 7ar=C,+ Cia^,
C, et C2 étant des constantes arbitraires et a satisfaisant à la condition
c'est-à-dire à l'équation (6) déjà obtenue
prt.^-^^ — r^a ^ q =0.
Les constantes C, et Co se détermineront par les conditions évidentes
et l'on trouve
c'est le résultat, déjà obtenu (92).
L'équation (6) a pour racine a = i qui, évidemment, ne convient pas ou (pii, plutôt, .sert à former le premier terme de la formule (^), C| r^.
9i. Si l'on suppose a = 6 = 1 et /;i = /z, la formule donne un résultat signalé par Huvge'ris dans un cas particulier. Ou trouve
pin
et
/Il u /-/'"
Les chances de ruine pour les deux joueurs qui possèdent chacun m francs, et exposent i'^'' par partie à un jeu dans lequel les probabilités de gagner chaque partie sont/? pour l'un et q pour I autre, sont dans le rapport de />'" à q"^. On peut le démontrer directement.
Les deux joueurs ayant même fortune et les enjeux étant égaux, les successions de perte et de gain cpii peuvent ruiner Pierre cor-
,l6 CALCUL DKS l'KOBABILlTES.
respoiidei.L une à une aux successions de gain et de perle qui peuvent ruiner Paul; il suflil de changer les pertes en gains, et réciproquement, pour passer d\ine série à l'autre. Dans l'une des séries, le nombre des parties surpassera de m celui des gains; dans l'antre, ce sera le contraire. Les probabilités des deux combinaisons sont donc entre elles dans le rapport de
r,in-\-hqh pin
fin+li 7i/i
Ce rapi)ort est celui des probabilités totales dont les termes sont en même nombre.
9o. Problème LI. — Pierre jonc à un jeu équitable ou non, mais dans des conditions invariables d'une partie à l'autre, contre tout ad^-ersaire qui se présente. Quelle est la probabilité pour qu il finisse par se ruiner?
La solution de ce problème, déjà résolu en partie (85), peut se déduire des résultats précédents.
La chance de ruine est la méiue, évidemment, pour Pierre que s'il luttait contre un adversaire de fortune infinie.
Lorsque, Pierre possédant m francs, son adversaire en possède n. la probabilité pour que Pierre soit ruiné est (92)
( o ) r^ni-^ii I
a étant la racine de l'écpiation
q rj^a-^-b — a6 4- ^ r= o ;
p et q sont les probabilités de gain pour chaque joueur à chaque partie, a la mise de Pierre, b celle de son adversaire. Il faut, dans cette formule, supposer n infini. Trois cas peuvent se présenter : a est plus petit que l'unité, égal à l'unité ou plus grand que
l'unité.
Si a est plus petit que l'unité, l'expression (8), en y supposant n inlini, se réduit à Tunité. Il est certain (pie Pierre sera ruiné.
Si a est égal à l'unité, la formule prend la forme ^-, elle a pour
CIIAP. VI. — LA lUINE DKS JOLELHS. 1 I7
valeur le lapporl des d»M-ivées de ses lennes par rapport à a
égal à l'unilé (|uand n esl infini.
Dans ce cas, comme dans le précédent, la ruine de Pierre esl certaine.
Lors(pie a esl plus grand (pie Tunité, la formule (8) a pour
liiiiile — • La probabilité de la ruine de Pierre dans sa lutte conlre
un adversaire de fortune infinie n'est égale, dans ce cas, ni à zéro, ni à l'unité.
96. Il importe de chercher à quelles hvpothèses correspondent les trois valeurs de a.
L'équation
a, dans tous les cas, la racine a= i. Pour que l'aiilie racine réelle et positive soit égale à Tunité, il faut (pie l'équation ail deux racines égales et (|ue, par conséquent, a soil racine de l'équation dérivée
q(a -^ 6)a"-^''-' — «Oa*» ^ o.
Cette racine double étant égale à l'unilé. on doit avoir
Le jeu, par conséquent, esl <'(piitable.
Pour celui (pii joue indéfinimeni à un jeu écpiitable, a est égal à l'unité et la ruine est cerlaitie. Ce résultat a été obtenu (85).
Le seul cas où la ruine ne soit pas cerlalne est celui de a plus grand que l'unilé : le jeu alors n'est pas é(piitable et les conditions favorisent celui des joueurs dont la fortune esl limitée.
L'avantage, quelque petit qu'il soit, fait disparaître la certitude de ruine.
C'est le cas du banquier dans les jeux publics. Dans tout autre, sa ruine serait certaine.
Un avantage est pour lui juste et nécessaire; il importe seule-
Il8 CALCUL DES PROBABILITÉS.
ment de ne pas l'exagérer. La chance de ruine
dm
lorsque a est plus grand que i, est petite. On peut, dans les conditions où se placent habituellement les maisons de jeu, la considérer comme nulle.
