CHAP. M. — LA RUINE DES JOUEURS

Pour que Pierre ail perdu m francs en a parties, il faut qu'il

ait perdu - — parties et gagne '■ —

Le nombre ul étant tel que ces deux fractions soient des nombres entiers, c'est-à-dire de même parité que m, la probabi-

lité pour que, sur u. parties, Pierre en gagne - — ^ , est (o4)

Otte probabilité est plus grande que celle que nous cherchons. On compte, en effet, comme séries de parties faisant perdre Pierre an [j. coups, toutes celles dans lesquelles, à la fin de la a'""'^ partie, il est en perte de m francs. On doit exclure celles qui, avant de procurer la ruine de Pierre au |j(."'"'<^ coup, l'ont procurée déjà à un coup antérieur.

Pierre une fois ruiné, en eOet. le jeu doit cesser; il n'est pas admis à exposer l'argent qu'il n'a pas.

Le problème résolu (18) nous fait connaître le rapport du nombre des combinaisons qui ruineront Pierre en a coups au nombre total de celles qui assurent en 'j. coups, joués quoi qu'il arrive, la perte de ses m francs.

Si l'on considère, en effet, l'une de ces combinaisons et que l'on range les pertes et les gains dans l'ordre où ils se sont produits, en les appelant en commençant par la dernière partie, l'excès du nombre des pertes sur celui des gains étant m, le rapport du nombre des combinaisons dans lesquelles, à aucun moment, les pertes et les gains ne seront en même nombre, au nombre total

des combinaisons est (18) — > m étant la difFérence et u. la somme

des nombres de parties gagnées et perdues. Le nombre des cas qui procurent la ruine de Pierre doit donc être multiplié par la fraction — • La probabilité pour que Pierre soit ruiné pour la première fois au ix'^™*= coup est

a — m lt.-+- m „

<io) —p

120 CALCUL DES PROBABILITES.

99. L'expression précédente peut êlre reinplacée, lorsque p et q sont égaux à ^, par une valeur approchée 1res simple. Le facteur qui multiplie — est alors le terme dont le rany s'écarte de —

du plus grand, dans le développement de {p + q)^', il a été calculé (58).

La probabilité de ruiner en fx coups précisément celui (pii joue à un jeu équitable à i^"" la partie, et qui possède m francs, est

(il) 7^-7^^ "■•

100. La probabilité pour que la ruine s'accomplisse en -ji. coups précisément permet de calculer celle pour qu'elle ait lieu après le

Cette probabilité est la somme des valeurs que prend l'expression (10) quand on j remplace successivement [jl par les valeurs U1.-I-2, JJ. + 4, ... de même paritc', seuls nombres possibles de parties qui puissent procurer la luine.

Si 'f (jJ.) désigne l'expression (10), la somme

o(iji)-l-ç([jL-t-9.)-!-cp([ji-+-4)-H...

prolongée indéfiniment est la probabilité pour que la ruine de Pierre soit postérieure au jjl''''"^ coup. Cette somme, pour de grandes valeurs de jjl, peut être remplacée par

c'est-à-dire, d'après la valeur approchée de cc(^),

, - -- (JL Z^Z

La probabilité |)Our que Pierre soit ruiné avant le u'^'"*^ coup est, par conséquent,

— ri dz

ZyJ z

CIlAl». VI. — l.V RUINK DES JOUEURS.

Si I on pose — = t-, celle expr<;ssioii devient

lu Jo

l.a Table des valeurs de la fonclioii

-<' dt.

-l'dt = &it)

se Iroiive à la fin du Yoliinie.

On en dédnit, en appliquant la formule au cas d'un joufMir (|ui possède loo'' et dont la mise est de i^'' par partie, avec probabilité ^ de gagner ou de perdre :

Probabilité d'être ruiné.

Avant d'avoir fait 2000 parties 0,026

» 4of)*^ " o, I i4

« Le Tableau suivant, calculé à l'aide de la formule (10), que

pour des petits nombres la formidc; approcliée remplace mal,

donne la probabilité de perdre 1 o^"" en un nombre précis de parties

inférieur à 1 00.

Su--

■Slii- .

o,oo534o57

Zu- ■

2;tv. -

-SiO-.

-3ôV.