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.'^^ CALCUL DFS PROBABILITÉS.
101. Il est inléressanl de chercher pour quel nombre a de parties la probabilité de voir la ruine du joueur s'accomplir au p^ieme ^^-^^^^^ précisément a la valeur maxima. L'expression de cette probabilité, en supposant les enjeux égaux à i^"" et la [)robabilité de gagner chaque partie égale à i, est
SI l'on change tj. en ^ + 2, elle se multiplie par
c'est-à-dire
(jJi -H •2)'- — //j2
L'expression augmente avec u., tant que l'on a
c'est-à-dire
> [JL < m^— 4,
et la probabilité maxima correspond à
SI m = 100.
On a
La probabilité maxima est égale à 0,0000920.
102. Si l'on remplaçait l'expression (10) par la valeur approchée
la valeur maxima s'obtiendrait en égalant à zéro la dérivée par
CHAP. VI. — l.\ RUINK DKS JOUEURS. 1^3
rapport à ul; on trouve
La différence des résultats est, par sa petitesse, une vérification de la l'orniule ap|)rochée.
103. Pkoblî:mk lui. — Pie/re et. Paul jouent à un jeu de hasard. La probabilité de <ragner chaque partie est p pour Pierre et q j>our Paul. fJ enjeu de Pierre est a francs, celui de Paul b francs. Pierre possède ni francs, Paul n francs ; le jeu est équitable. Quelle est la valeur probable du nombre des parties qui seront jouées avant la ruine de l'un des joueurs?
Ln nommant y^ cette valeur [)robal)le lorsque Pierre possède œ francs, c'est-à-dlie l'espérance mathématicpie de celui (jui aurait promesse de recevoir i^' par partie jouée, on aura
{vi) 7x = i-t- pfx+b + q.y.c-a ■
Il est clair, en effet, que le nombre des parties jouées com|)ren(l d'abord la partie par laquelle on commence, (pii certainement aura lieu, et qu'après cette partie Tespérance niathc'matique cherchée est devenue fx+b ou >x a, ^elon celui des deux joueurs qui a gagné.
La probabilité pour (jue la valeur de l'espérance mathématique devienne y^+i étant /?, et pour (pi'elle devienne fx-a étant q, l'équation (12) est la consécjuence immédiate des principes.
La solution générale de l'équation (12) doit contenir deux constantes arbitraires, et ne peut évidemment en contenir davantage.
Posons
€11 supposant/?6 = ^rt, l'équation sera satisfaite si l'on pose
ab
^ et V restant arbitraires.
124 CALCUL DES PllOB \ltlLITÉS.
L;i sol II lion générale est donc
Les conditions évidentes
don lien I
et
yo
ab
yn
inn
Le nombre probable des parties est donc proporlionnel au produit des fortunes des deux joueurs; il devient infini (88) lorsque l'une des fortunes est infinie.
104. M. Kouché a étendu Va solution précédente au cas où le jeu n'est pas équitable. Il a résolu le problème suivant :
Problème LIV. — Pierre et Paul jouent aux conditions énoncées dans le problème précédent; mais le jeu n'est pas équitable, la différence pb — cja n'est pas nulle. Tromer la valeur probable du nombre des parties qui précé leront la ruine de V un des joueurs.
L'équation
r-t = i-H py.c+b -+- qyx-a
définit, comme dans le cas précédent, le nombre probable des parties qui restent à jouer lorsque Pierre possède x francs et Paul m -\- n — X francs.
On satisfait à cette équation, quelles que soient les constantes qui j figurent, excepté dans le cas traité précédemment, en posant
(i3) ;k,^= Ga.^+G'ar-+- C",
a étant la racine de l'équation
pa'^+l'—T." — q = n.
CHAP. VI. — LA RLINE DKS JOUEURS.
el en prenant
Ces valeurs sont données par la subslilution de (i3) dans ré(|ualion, en écrivant qu'elle devienl identique. C et C" restent arbitraires. Quelles que soient leurs valeurs, l'équation est satisfaite. Ou les déterminera par les conditions
yo = o, ym^n
En nommant P la probabilité calculée (92) pour que Pierre Unisse par ruiner Paul, on trouve, en ellectuant les calculs,
pb — </a rt'siillat élégant qui peut s'éncMicer ainsi :
Le nombre i)\^obable des parties est égal au lapport de UaKaiitage total de l'un des joueurs à Cavantage du même joueur dans cliaque partie.
/ffi !-/?) p est en eflct l'espérance malhématifpic du joueur qui a probabilité P de posséder l'enjeu total (/« + //), m est la fortune de ce joueur, et le numéraleur est l'avantage qui résulte |)Our lui de la décision prise de continuer le jeu indéfiniment. I.e dénominateur est, pour cbacpie partie jouée, l'excès de son espérance mathémati(pie sur sa mise.
lOo. 11 semble facile de démontrer ce théorème directement. Supposons />6 — ^<^ positif, le jeu est avantageux au premier joueur. Soit n le nombre de parties qui seront jouées. Si/>,, P2, . • • , Pii sont les probabilités pour que le jeu (inisse en .r, , ^2, . . • , -^[1 parties, le nombre probable des parties est
(|5) p^Xi-^r /HX^ + psX-i-^. .. + Pp.3?^^.
Celui qui aura droit à une somme égale à (i5) pourrait conclure avec d.'s acheteurs différents des marchés équitables pour leur vendre en détail les avantages qui, suivant les cas, pourront pour lui n'îsulter du jeu. Si le nombre des parties est^r,, un ache-
126 CALCUL DKS PROBABILITÉS.
leur recevrait la promesse du bénéfice correspondant; il devra pour cela payer
p^xi-^{pb — aq),
puisque chaque partie jouée équivaut pour Pierre à un avantage pb — aq.
Les ventes simultanées failes à des acheteurs difïérents ne peuvent faire naître aucune difficulté pour le rèi;lement des comptes. Quel que soit, en elFet, le nombre des coups joués, l'un des acheteurs se substituera au vendeur, et les autres n'auront rien à réclamer. La somme pajée en échange de la totalité du gain espéré sera
Cette somme est l'excès, sur la fortune de Pierre, de l'espérance mathématique résultant pour lui de la détermination de continuer le jeu jusqu'à la ruine de l'un des joueurs, à \\n jeu inégal dont les conditions lui sont avaulageuses. Cette espérance mathématique est le produit de l'enjeu [m H- n) par la probabilité P de le gagner, et l'avantage du joueur est l'excès de celle espérance mathématique sur la somme qu'il possédait avant d'entrer au jeu, n)ais qui, une fois le jeu commencé, ne lui appartient plus.
On peut donc écrire
{pyXx -f- />2^2 + - • --^ P\}.-f^]}.)ipb — qa) = V {m -\- n) — m
et, par conséquent,
V {m -^ n) — ni
O] J-'i -t- 02^79 -H . . . -t- /?ij, ^M =: -, •
' ^ ^ pb — qa
C'est le théorème de M. Kouché.
106. Nous avons plusieurs fois signalé des raisonnements plausibles, qui, loiscju'on y regarde de près, manquent de rigueur et conduisent à des conclusions Causses. Celui qui précède conduit à une formule exacte. On peut cependant élever contre lui une objection fondée.
Lorscpi'un joueur est admis à jouer une partie inégale, dont les
