CHAP. VI. — LA RUINE DES JOUEURS. VIJ
conditions lui sont favorables, la probabilité de gagner la mise b de l'adversaire étant p, et celle de perdre une mise égale à a étant ^, l'avantage déjouer une parlie dans ces conditions a pour valeur équitable pb — qa ; le droil de joufîr un nombre x de parlies doit être payé x[pb — (]<^)] c'est ce (|u'il vaut.
Mais quand ce nombre .r, au lieu d'être doinu', est désigné comme le nombre de parties jouées jusqu'à la ruine de l'un des joueurs, ces parties, quoique le détail des pertes et des gains soit inconnu, ne présentent pas lt!s mêmes cbances que si l'on connaissait seulement leur nombre fixé à l'avance et les conditions du jeu. Si, par exemple, le non)i)re de ces parties est assez petit pour que la (in du jeu, que par hypothèse (dles procurent, ait exigé la perte continuelle du second joueur, le droit, pour le premier, de jouer chaque partie ne vaut plus pb — qa^ il vaut b.
Le calcul de M. Rouché était donc nécessaire, et le raisonnement, quoique très spécieux, qui conduit au résidtat exact, n'est cependant pas rigoureux.
107. La démonstration (lOo) ne s'applique pas au cas où le jeu est équitable. L'expression (i4) prend la forme J}; on peut en trouver la vraie valeur.
La valeui" probable du nombre des parties est
P ( m -h n) — /)i pb — qa ' on a (92)
a étant racine de l'équation P
Si l'on suppose /?6 — qa = e, e étant infiniment petit, a diffère infiniment peu de l'unité. Posons
La valeur de V devient
oth H m- h^
l g \in-\-ii)h fil
\iS CALCUL DES PROBABILITES.
et, en négligeant le carré de A,
l'expression du nombre probable de parties devient, par la substitution de cette valeur de P,
hmn
h le rapport - est indépendani de m et de n : le nombre probable des
parties est donc
G/nn,
C étant nne constante; et, comme le nondjre des parties est égal
à l'unité quand on a tn = a, /i = b, il faut supposer C = -V • On
' ' ab
retrouve le résultat déjà oljlenu.
108. Dans le cas où les deux joueurs possèdent au début la même somme, on peut trouver la valeur probable du nombre des parties par une méthode très différente des précédentes.
Soitcp(m) le nombre probable des parties lorsque cbaque joueur possède m francs. Supposons que l'avoir de chacun soit doublé, le nombre piobable des parties deviendra (5(2 m). Si l'on fait dans l'avoir de chatpie joueur deux parts égales à ni, on peut supposer que chacun expose d'abord, dans deux luttes séparées, la moitié w de ses francs contre la moitié de ceux de son adversaire. Après cette première série de parties, de deux choses Tune, l'un des joueurs a gagné deux fois, et l'autre est ruiné, ou bien chacun a gagné une série et ils se retrouvent tous deux avec im francs. La valeur probable du nombre des parties est alors, comme au début, çp(2m). La probabilité pour que le premier joueur ruine son adversaire, lorsque tous deux possèdent m (rancs, est (92)
et, pour qu'il soit ruiné,
CHAP. VI. — LA nUINE DES JOUEURS. I2g
La probabililé pour que l'un des joueurs gagne une série el perde l'autre est le produit de ces deux probabilités, qu'il faut doubler puisqu'on ne dit pas dans quel ordre les événemenls doivent se succéder; on doit donc avoir
(i6) cp(9.m) = 29(/n) + ^ — -o(9./n),
a étant (92) la racine de l'équation
p^a-hb — 3ta 4 g, — o
L'équation (i6) donne
Cette équation, si on la suppose vraie po;ir toute valeur de /??, permet de déterminer la fonction de C2. Nous nous bornons à mentionner ce problème, qui n'intéresse pas le Calcul des |)rol)abilités.
109. La probabililé dans un nombre donné de parties de la ruine d'un joueur, dont l'adversaire est infiniment riche, a été donnée parLagrange, puis par Ampère dans le Mémoire sur la théorie du jeu, lequel a été son di'biit dans la Science.
Lors(pie deux joueurs luttent Tun contre l'autre el que chacun l)eut ruiner son adversaire, le problème est très dillerenl. La solution suivante, qui se présente d'abord, n'est |)as exacte.
Soient m et n les fortunes des deux joueurs. Siipjjosons le jeu équitable : la probabilité pour chaque joueur de gagner une partie est -^ l'enjeu est i*^"".
La probabilité pour que le premier joueur ruine le second est
m , . , . '/l'A 11 fi j pour qu il soit ruine lui-même elle est
Si Ton sait que l'un des joueurs doit être ruiné, on peut, sans changer les chances, supposer à l'adversaire une fortune infinie. Si donc on nomme 'f (m, u.) la probabilité pour qif un joueur qui possède m francs soit ruiné, en jx coups précisément, par un adversaire dont la fortune est infinie, la probabilité pour que la jiartie engagée entre deux joueurs, dont l'un possède m francs el B.
l3o CALCUL DKS l'ROB AIULITK- .
Tautre ii lianes, se termine en pi coii[)s |)iécis{''nienl sera
Le laisonncmenl n'osi pas exact.
Si l'on sait que Pierre a élé ruiné par un adversaire dont la forliine est linie, on en peut conclure (pie le hasard ne l'a pas l'avorisé : les combinaisons cpii, débutant par un ^raii(J nombri; de pallies g^agnées, auraient ruiné son ad\crsaire doivent être exclues, celles dans iescpielles il gagne au d('but plus souvent (pi'il ne perd sont rendues moins probables, j.a probabilité pour que la luinc se soit |)io(luite eu jjl coups n'e^i plus égale à 'f (m, [x).
HO. l^iîOiiLÈME LV. — Pierre el Paul possèdent chacun a''', ils jouent jus(ju'à la ruine de r un d\uix. La probabilité de gagner chaque partie étant ^ et V enjeu égal à i'"", quelle est la probabilité pour que le jeu se termine précisément en 2tj. parties?
Le nombre des parties doit être évidemment pair. Si le jeu n'est pas terminé, chaque joueur possédera 2^'"; car, en un nombre pair de parties, la perle de <:hacun est un nombre pair; si donc elle n'était pas nulle, le perdant serait ruiné.
SoitjKu. li» probabilité pour (]ue le jeu ne soit pas terminé en 2 u. parties, on aura
Il est clair en ellct que, si le jeu n'est pas terminé en 21J. parties, ce dont la probabilité est )„, [)our qu'il ne le soit pas par les deux parties qui suivent, il faut que chacun des joueurs gagne une partie et perde l'autre. La probabilité ()Our qu'il en soitainsi est^.
De l'équation (18), on conclut
(■9) Xv-^ ( i) ^'
et comme, pour u. = i, on di y^=. ^, C est égal à l'unité. La probabilité pour que le jeu ne soit pas terminé après 2 [x parties est donc (4)!^. Pour que le jeu se termine précisément en 2 jjl parties, il faut (pi'il ne soit pas terminé en 2 a — 2, ce dont la probabilité
CHAP. VI. — LA RtlNE DES JOUKURS. l3l
est (4)!^"' , et que le même joueur perde les deux parties suivantes, ce dont la probabilité est ^. Le produit (j)S^ est la probabilité pour que le jeu se terinine à la 2 u"'"*^ partie.
111. PROBLi-:ME LVI. — Pierre et Paul possèdent chacun V"", ils jouent dans les conditions définies dans l'énoncé précédent. Quelle est la probabilité pour que l' un des deux soit ruiné précisément au coup de rang u?
Le nombre de parties doit être impair. Après 2 -j. -H i parties, SI le jeu n'est pas terminé, la perle et le j.;ain seront un nombre impair, il doit être moindre que o, il est donc l'unité : Tun des joueurs possédera 2''" et l'autre 4'^'". Soit rj^ la probabilité pour (jue le jeu ne soit pas terminé au (^ya-f- iy''"« coup, on aura
(20) 7u.-h-i = 7Ja-
Si, en elfet, le jeu n'est pas terminé au (2 [jl + i)'"''"'' coup, ce dont la probabilité est )„,, il faut, pour qu'il ne le soit pas au (2u. + 3)""'% on (pie cbacuii des joueurs perde une partie et gai^nc I autre, ou que celui qui a conservé 4'' perde les deux parties; la probabilité pour que l'un ou l'autre de ces événements se j)roduise est ~.
De l'équalion (20^, on conclut
On a d ailleurs
car, pour que la partie soit lermint'e en trois coups, il faut que le même joueur i^aj^ne les ti'ois premières parties, ce dont la probabilité est \. il faut donc prendre C = 1 , et l'on a
Pour que la partie se termine précisément au coup 2 u + i , il faut qu'elle ne le soit pas au coup 2[jl — i et que le joueur qui possède 2''" seulement perde les deux parties suivantes, ce dont la probabilité est j.
l32 CALCIIL DES PKOBABILITES.
La probabilité pour que le jeu se termine au coup de rang 2 p. + i précisément est donc
112. M. Rouché a traité avec beaucoup d'élégance et de bonheur le cas général.
Problème LVII. — Pierre et Paul jouent V un contre V autre avec des probabilités égales. Ils possèdent chacun n francs avant d'entrer au jeu; à chaque partie le perdant donne 1'^'' au gagnant, et le jeu ne cesse que lorsque l'un quelconque des deux joueurs est ruiné. Quelle est la probabilité P pour que le jeu se termine précisément à la fin d' une partie de rang^ assigné ?
Si, après u. parties, le jeu doit encore se continuer, c'est que l'état des fortunes est alors l'un des suivants :
la notation (i, in — i) indiquant que l'un quelcon(]ue des deux joueurs possède i francs et, par suite, l'autre in — f francs.
Désignons par ^/([J-) la probabilité pour que, après [j. parties, le jeu ne soit pas encore terminé et que l'état des Ibrtunes soit (/, y./? — i). On aura, par le principe de la probabilité totale,
(21) tfK[^+ 1) =/>l'f)(l^)-+-P2?2(H-)-+-. ..-\-pi,On(\^),
p\ désignant la probabilité de passer en une partie de l'état [k, m — k) à l'état (t, m — i).
Or on voit avec un peu d'attention que p'l~^ est égal à i , et que pour les autres valeurs des indices /?^, est égal à ^^ ou à zéro, suivant que la valeur absolue de / — k est égale à i ou diffère de 1 . D'apièscela, la formule (21) donne les n relations
] 2iy„2([^ + l) = 0„3([a)-|- C3„i([a),
2©2([-H-l) = Cp,([a) + Ç;3(li),
2çpi([a + i) = ^i{\J.)\
CHAP. VI. — LA RUINK DES JOUKURS. l33
d'où il (aut tirer cp, (a); car, celle quantité étant connue, on aura, pour la probabilité chercliée,
Or, si l'on adjoignait aux équations (22) celles qu'on obtient en changeant ix en i^ -^ i dans la seconde, ;jl en a+ i, u + 2 dans la troisième, ..., ;a en ;a + i , u + 2, /. . , a -+-,/- i dans la dernière, on aurait l/^(/^ + ,) relations qui, par réilminalion des \n{ji -^ i) I quantités cp doni l'Indice dKîere de i, conduiraient à une équation de la forme
(23) cp,([a + /i)+ A,0,(;ji^ /i — 1)+...^ A„cp,(;ji) = 0.
D'adieurs, si «,,«,,, ..., a,, désignent les racines de l'équation caractéristique que l'on obtient en faisant dans (28) cp, (a) = aP^, l'expression générale de o,{'j.) sera I'ck^^ et, par suite, la valeur de P^ sera ISc^^j^-', les constantes c,, c,, . , . , c„ étant déterminées par les conditions initiales du problème.
Cette détermination se fait élégamment de la façon suivante : d'abord, ni Pierre ni Paul ne peuvent être ruinés avant la (in de la „ieme partie; d'autre part, la probabilité pour que le jeu cesse juste après la /«*— ■ partie, c'est-à-dire la probabilité pour que Pierre ou Paul perde n fois de suite, est
De là résultent les relations linéaires
(24) ScA.= o, Sc/,a/,= o, ..., Zc/,ar' = o, ^cual^''
qui permettraienl d'obtenir c,, Co, ..., c« et, par suite, P^ en (onction des racines «,, a., . . . , «,,. Mais ce que nous voulons, c'est l'expression de \^^ en fonction des coeflicients de Téquation caractéristique.
Or, si l'on pose
{z — a^)( z — a^) . . .{z — Un) = ^){z}
et SI l'on ajoute les équations (24) après les avoir multipliées res-
l34 CALCUL DKS PROBABILITKS.
pectivement par les coefficients de t^, tt, r-, ..., <"~' dans le quotient
on obtient
ou, en multipliant par
et désignant par E(3) la partie entière du premier membre,
SJ- — 1
On voit par là que le coefficient de - dans le développemcTit du premier membre est aP^; la probabilité cliercliée Pj^ est donc égale au coefficient de - dans le développement de
2«-iO(x;)
Il reste à trouver l'équation caractéristique. Au lieu de la chercher par le procédé laborieux ci-dessus indiqué, nous l'obtiendrons rapidement comme il suit : les relations (22) montrent que, si l'on pose
cpi([a) = a\>; on a
cp/,(f^) = rtF^J; /,(«;, cp/,(u. + i) = a\>--^^ '\>/c{a);
de là résultent les équations
d/;jH- a? dio -+-']>, = o,
ClIAP. VI. — LA RUINE DKS JOUEl RS. l35
on x désigne la (jiianlilé — 'la ; et l'('liiniiialioii des '| donne
Les v'^aleurs ('videnles
V] = .r, Yo = X'- - ■>.,
et rt'clielle de t-elalion
V,; = .rV„-i — V„-2,
que Ton oblienl ininif'diatcnicnl en di'v(>lo|)|)an! le déteiniinanl par rapport aux deux deniièrcîs lignes, prouvent (pie la fonction \ „ esteelh; cpie l'on renconire dans la théorie d(; la division du eeiele en |)arties égales et cpii a pour expression
\ „(x^ — X" — nx"~- -I-
/• désignant le plus grand nombre entier conlenu dans -^n. Donc P(;. est le coeflîcient de - daus le développement de
on, ce qui revient an même, en posant
Pp est le eoelfieient de jk^^"" dans le développement de
■i\>--^ ■ 1-4- .\|X^-+- AjJ'^-r-... '
A/ dé>ignanl le cofîffieient de x" -' dans V,i{x) et, par suite, étant égal à y.vro (juand l'indice / sui'passe ^^ n .
I 36 CALCUL DKS PROBABILITES.
Ce quotient a pour expression
Byi; désignant le déterminant d'ordre k
Al I o . . . o
A2 Al I . . . o
B;t=(-i)^" A:, x\2 Ai ... o
il- A/,i A/,.2 • • . Al
On voit par là que, si tj. — /i est impair, Pjj,, est nul, et que, si jjL — n est pair et égal à 2k, on a
Une vérification s'ofTre ici d'elle-mêine. Pour /i = 2 ou /i = 3, le déterminant Bh se réduit à son terme principal, et l'on retrouve immédiatement les résultats obtenus directement aux n"* 110 et 111.
113. On peut rattacher au problème de la ruine des joueurs l'espérance, acceptée souvent, d'accroître les chances de gain par une ingénieuse disposition des mises et du nombre des parties jouées. Toutes ces combinaisons sont illusoires. Si les conditions du jeu rendent pour chaque partie respérance mathématique égale à la mise, l'égalité ex'stera, (juoi qu'on lasse, quel que soit le nombre des parties.
Nous nous bornerons à examiner un procédé plausible pour accroître les chances de gain en laissant celles de perte petites.
Un joueur entre au jeu avec la résolution de continuer tant (|ue le sort lui sera favorable et de se retirer après sa première perte. Le nombre des parties (ju'il jouera peut être illimité et le bénéfice immense; la perte, au contraire, sera nécessairement petite, égale tout au plus à la mise pour une seule partie.
Lors(|ue l'on compare, cependant, les chances de perte à celles de gain, on les trouve, comme cela doit être, équivalentes, lorsque les conditions du jeu, à chaque partie, sont équitables.
CHAP. VI. — LA HLIMi DES JOUEURS. 187
Soient
p la probahililé de gagner une partie;
a la somme à recevoir;
q la probabilité de perdre;
b la somme à payer dans ce cas ;
on a
Le joueur a une probabilité q de perdre la somme b\ une probabilité pq de gagner a — b: une probabilité p- q de gagner 2rt — b^ etc.; une probabilité p'^q de gagner n(( — b. Son espérance mathématique, au moment où il se met au jeu, est donc
pq{a — b)^ p-q{ia — b)-r-. . .-+- p"cj{iia — b) ^ .. .— qb, c'est-à-dire
pqa ( I -H i/J -+- 3/?2 -h . . . ) — pqb {l -^ p -^ f^ -^ . . .) — qb
et, en remplaçant les deux séries par leuis valeurs et
pqc- pq^ ^qij^PfL -^b,
{l—pf \—p q
c'est-à-dire zéro si le jeu est équitable.
L'avantage prétendu de la combinaison se réduit à accroître la valeur possible du gain, en diminuant proportionnellement la |)robabilité de l obtenir.
l38 CALCUL DKS l'HOBAIULITÉS.
