PROBABILITÉ DES CAUSES
Un jour, à Naplcs, un homme de la lîasilicate, en présence de l'ahbé Oaliani, agita trois dés dans un cornet et pariii d'amener rade de 6 ; il l'amena sur-le-cliarap. Cette chance est possible, dit-on; l'homme réussit une seconde fois, et l'on répéta la même cliose ; il remit les dés dans Ifl cornet trois, quatre, cinq fois, et toujours ralle de 6. « Snngiie rii Bacco! s'écria l'abhé, les dés sont pipés! » et ils l'étaient.
DlDEKOT.
114. Ce que, dans le Calcul des probabilili's, on entend par le mot cause. — 115. Enoncé du problème à résoudre. l"\)rmule qui en donne la solution. — IIG. Autre démonstration de la formule. — 117. Problème relatif à la composition inconnue d'une urne. — 118, 119. Aiitie manière de comprendre l'énoncé.
— 120. Problème plus général. — TM. Loi approchée des probabilités.
— 122. Autre manière de précisnr l'énoncé. — 123. Applications incorrectes des résultats précédents. — 124. Discussion d'une expérience de BufTon. — 125. Discussion de la méthode d'approximation adoptée. — 12G. Cas extrême où la conclusion du raisonneinent souvent accepté serait évidemment sans valeur.
— 127. Mégularité des naissances masculines et féminines. — 128. Quelle est la régularité dont on serait en droit de s'étonner? — 129. Exemple cité par Buffon. — 130. Exemple cité pir Laplace. — l.'il. Les conditions d'un problème doivent être définies avec détail. — 13'2. 133. Quelques exemples. — 13't. Application faite par Mitchel à la théorie des étoiles doubles. — 135. Probabilité des événements futurs. — 13G. Applications ridicules de la formule à la probabilité du lever du SoleiL
114. Étudier les faits pour remonter aux cau.se.s est le but le plus élevé de la Science. Notre curiosité est ici moins amhilieuse. Nous n'aurons dans ce (chapitre aucune loi de la nature à discuter, aucune énigme à résoudre. Les causes sont pour nous des acci-
ciiAP. VII. — PHoitAnii.iTK ni:s causes. iSg
dénis qui ont accompagné on précédé un événement observé. Le mol n'implifiiie pas (pi'an sens philosophique l'événeiiient soil un elTel produit par la cause.
Pierre a parié d'îunener avec trois dés un point supi-rienr à i6 -, il a gagné : tel est l'événement. Le point amené [)eut être \- ou i8 : telles sont les causes possibles du succès.
On a, sous un même nom, réuni plusieurs cas distincts : ce sera, par exemple, un point |)lus ^rand cpie i6 qui peut être 17 ou 18; la sortie, au loto, d'un numéro divisible par 5 cpii peut être 5, 10, 10, ... ; le tirage, dans une urne, d'une boide de couleur qui peut être rouge, verte ou jaune; la retourne, dans une partie de caries, d'une (igure (pu peut être roi, dame ou valet. L'événement s'est produit, on lésait; les causes cpii, dans ces dilïerents cas, restent possibles sont les maMièr(;s diverses dont il a pu se présenter. On sait ipiiine rivièie a (h'bordé en Lspagiie : c'est à la Géographie, non à la Météorologie, cpTd appartient, par l'énumération des cours d'eau, de faire connaître la diversité possible des causes.
De tels cas sont les plus simples. Les causes dont on cherche la prohabililé ne peuvent, si elles agissent, produire qu'un seul événement dont l'arrivée, supposée connue, diminue le di'noininateiir de la probabilité sans en changer le niiniérateii r. On s;iil, par e\em|)le, qu'en donnant les cartes on a tcloiiriK- une timire. Ouelle est la probahilité pour qu'elle soit un loi? i^e numérateur de la probabilité est le même qu'avant le renseignement donné : c'est le nombre des rois ; mais le dénominaleur, n()nd)ie des eaites possible, a diminué : les figures seules doivent v être c<)iiq)l('es.
On sait qu'au lolo le numéro sorti est divisible |)ar 5, on demande la probahilité pour (pi'il soit 9.5. Le numérateur de celte probabilité est 1, comme avant le renseignement donné; mais le dénominateur, qui était 90, nond)re total des numéros, est devenu 18, nombre 'les multiples d(; 5.
Le numérateur de la probabilité, dans d'autres cas, est changé, en même temps que le dénominaleur, par la connaissance de l'événement observé. Quelquefois aussi, les cas restés possihles ne sont pas également vraisemblables.
Deux urnes, [)ar exemple, sont d'aspeci identique : l'une contient ime houle blanche et une boule noire; l'autre, dix boules
l40 CALCUL DES PROBABILITES.
noires et une blanche. On choisit une des urnes, on en fait sortir une boule, elle est blanche; quelle est la probabilité d'avoir choisi la première urne ?
Deux causes sont possibles : la première urne et la seconde urne; mais, contrairement à ce qui avait lieu dans les cas précédents, aucune de ces deux causes, supposée véritable, ne rend certain l'événement observé. On pourrait considérer comme causes possibles les deux boules blanches qui ont pu sortii-, l'une de la première urne, l'autre de la seconde; mais ces boules n'ont pas même vraisemblance. La seconde, associée à dix autres boules, a moins de chances de sortir (jue la première et sortira certainement moins souvent si l'épreuve est renouvelée un grand nombre de fois.
Ho. Le problème général peut s'énoncer comme il suit :
Diverses causes E,, Eo, . . . , E,, ont pu produire un événement observé. Les probabilités de ces causes, lorsque le résultai n^ était pas encore connu, étaient w^., ro^, . . . , to,,. L'événement se produit; la cause E/, lorsqu'on est certain que c'est elle qui agit, donne à l'événement la probabilité />/. Quelle est la probabilité de chacune des causes qui sont, on l'admet, les seules possibles?
Le type des problèmes dont nous parlons peut être représenté par une urne conlenant des boules blanches et des boules noires. L'événement est la sortie d'une boide ; elle est blanche, on le sait. Mais chaque boule est marquée par un des numéros i , 2, 3, . . . , /i. Quelle est la probabilité pour que la boule blanche sortie soit marquée d'un numéro donné? Ces numéros représentent ici ce que l'on nomme les causes possibles de l'événement, sans avoir rien de commun, bien entendu, avec l'idée de causalité.
Si [i. désigne le nombre total des boules, jx, le nombre de celles qui sont marquées i et, dans ces |jl/, mi le nombre des boules blanches, le nombre total des boules blanches est
nti -f- m-i -h niz -f- . . . -t- /«„,. Elles sont toutes également possibles, puisque, placées dans la
CHAI'. VII. — PROBAHILITl': DES CAUSKS. l4l
niènie urne, chacune, considéiée individuellemenl, a chance é^ale de sortie. La prohabililé pour que la boule blanche que l'on a lirée et donl ou n'a pas vu le numéro soil mar(|uée d'un i est
Telle est la solution du prolUrine. Il reste à l'exprimer en fonction des donriées. Ou a
car consé(|uent.
nii = pi\xi — piWi\x.
La proi)abilité est donc, eu snppriiuanl le facteur a,
P\TSi-f- p.
Pn^n
Le dénominateur est le même pour toutes les valeurs de i, et les probabilités des diverses causes sont proportionnelles, par conséquent, aux produits de la probabilité de chacune, avant l'événement (to/), par la probabilité qu'elle donne à l'événement (pi) quand on la suppose certaine.
il6. La démonslralion |)eut se faire autrement.
La probabilité cherchée est celle pour que l'événement qui est arrivé, on le sait, soil dû à la cause re|)résentée par l'indice ;'.
La probabilité pour que, avant l'épreuve, l'événement en question se produisît et fût dû à la cause désignée est un événement composé, et cela de deux manières :
i" Il faut que la cause soit mise en jeu ; 2" Il faut qu'elle |jroduise l'événement.
Ou bien :
i" Il faut que l'événement se produise;
'2" il faui que, étant produit, il soit dû à la cause désignée.
l42 CALCLI. DKS l'ROliAlilLITÉS.
On en déduit deux expressions de lii même prohabilllé
TO//>,- = (/> 1 TTii -f- /?, rrr. -h . . . H- p,, 7tt„ ) .r,
et, par eonséqneni, la probabilité x pour (|iie l'événement, étant prodiiil, soit dû à la eaiise désignée |)ai' Tindice i est celle qui a été obtenue (llo)
/»lT7Ti-4-/;,7772^-. . .-^r- pnm,i
117. J'iîoinJMK LVIll. — Une urne eontient jjl boules : les unes sont blanches, les autres noires, on iiinore en quelle proportion. On tire k boules, en remettant à chwjue fois la boule sortie. Il ne sort que des boules blanches. Quelle est la probabilité pour que l'urne ne contienne que des boules blanches?
La question est mal posée.
On Ignore, dit l'énoncé, la proportion dans l'urne des boules blancbes et d(;s boules noires. Toutes les bypothèses sont possibles. Il faudrait dire, en outre, quelle est, a priori, la probabilité de cliacune. Si, tontes les combinaisons jiossibles avant été prépaiées dans des urnes d"apparen<;e identique, le hasard a décidé entre elles, les conditions sont autres que si l'on a puisé au hasard dans une urne de composition convenue, pour composer avec les boules ainsi tirées l'urne nouvelle dont nous parlons.
Nous admellron-, d'abord, pour préciser la queslion, que toutes les compositions de l'urne soient, a priori, également possibles. Toutes restent possibles après l'é[)reuve, à l'exception d'une réunion de boules noires, mais les probabilités ne sont plus égales.
La combinaison dans Ia(|uelle, sur jx boules, le nombre des blancbes est n donne à l'événement observé la probabilité
Les probabilités désignées par w,, ttio, ..., vs„ dans l'énoncé général sont supposées égales entre elles; en les supprimant comme facteur commun dans la formule (.), on trouve la probabi-
CHVP. VII. — PUOliUilLITK DES CAUSKS. l4^
liié i)oiir que le nombre des boules blanches soil ii
La probabilité pour que louLes les boules de l'urne soienl blanclies est donc
Si Ton suppose, par exemple, ;jl ^ 5, k = 6, après avoir lire six l'ois de suite une boule blanche d'une urne qui contient cinq boules, la probabilité pour que les ciiicj boules soient blanches est
118. Si, au lieu de supposer toutes les combinaisons également possibles a priori, on avait composé Turne en tirant au sort, à |)ile ou face par exemple, la couleur de chaque boule, le problème serait très ditlerent.
Les hypothèses possibles sur la composition de l'urne, au lieu d'être également vraisemblables a priori, oui les probabilités suivantes :
5 blanches ou 5 noires,
1 ^ o,ooi '2'j ;
4 blanches et i noire ou 4 noires et i blanche, 51 - ) = o, i5(v25;
3 blanches et 2 noires ou o noires et 2 blanches,
Les probabilités désignées parrî5,,ro^, ..., fn„ dans la lormule (i) sont proportionnelles aux nombres i , 5, lo, lo, 5, i, et la probabilité, quand six fois de suite on a extrait une boule blanche, pour
l44 CALCUL DES PROBABILITÉS.
que les cinq boules de l'urne soient blanclies est
