io.-2^-+- io.3''-i- 5.4®-t
119. Si, après avoir extrait les boules de l'urne, on ne les remeltail pas, les résultats seraient différents.
Il est clair, d'abord, qu'on ne peut, dans cette hypothèse, extraire plus de cinq boules, et que, si on les extrait toutes les cinq, il n'y a plus de problème.
Supposons donc que l'événement observé soit la sortie de quatre boules blanches; les probabilités, a priori, des diverses compositions de l'urne étant proportionnelles à i, 5, 10, 10, 5, i, cherchons la probabilité pour que la cinquième boule qui reste dans l'urne, la seule que l'on n'ait pas vue, soit blanche.
L'événement observé est la sortie de quatre blanches. Les hypothèses possibles lui donnent pour probabilités : i, >-, o, o. o, o.
La formule (i) devient, en y substituant les valeurs de nji et de Pi,
Ce résultat est évident a priori.
Après avoir vu quatre des boules, sachant que pour les cinq la couleur a été tirée au sort, on n'a acquis sur la dernière aucun renseignement. Les circonstances pour elle sont les mêmes que si, lorsque l'on procédait à la formation de lurne, le hasard avait désigné la couleur blanche aux quatre premières épreuves. On ne devrait y voir aucune raison pour qu'il la désignât une cinquième fois.
120. Problème LVIII his. — Une urne contient des boules noires ou blanches en proportion inconnue. On y fait ^ tirages, en remettant dans l'urne, après chaque tirage, la boule qui en est sortie. On a obtenu m boules blanches et n boules noires. Quelle est la composition la plus probable de V urne?
L'énoncé, comme celui du problème précédent, n'est pas suffisamment précis.
CHAP. Vil. — PROKABILITÉ DKS CAUSES. l45
Toutes les hypothèses sur la composition de l'urne étaient possibles avant l'épreuve. L'étaient-elles également? Il est nécessaire de le dire. Nous le supposerons d'abord.
Soil X la probabilité assignée à la sortie d'une boule blanche par lii composition de l'urne.
La probabilité de l'événement observé, la sortie de m boules blanches et de n noires^ est
Le nombre des combinaisons qui peuvent se présenter est indépendant de a?, et la probabilité de l'événement observé, que l'on connaisse ou non l'ordre de sorlie des boules, est proportionnelle à
Ce produit doit remplacer la probabilité désignée par pi dans la formule (i); les probabilités tjt/ sont supposées égales entre elles, et la probabilité de chaque valeur supposée pour x^ proportionnelle au produit/>/Tn,, est, dans le cas actuel, proportionnelle à
La valeur de x la plus probable rendra ce produit maximum. Eu égalant la dérivée à zéro, on trouve
iT I — X
La composition la plus probable est celle qui rend les probabilités de sortie des boules blanches ou noires proportionnelles aux nombres de (bis qu'elles se sont montrées.
121. Chaque hvpotlièse sur la valeur de .r a une probabilité. Nous devons en chercher la loi. Il ne peut être question d'assigner la valeur de Tune de ces probabilités. Toutes les hypothèses ayant été supposées possibles et leur nouibre étant infini, la probabilité de l'une d'elles, rigoureusement désignée, est o; mais la probabilit(' pour que x soit compris entre z ftX. z -^ dz est proportionnelle à dz.
B. lo
X46 CALCUL DKS PROBABILITÉS.
La loi des probabilités esl celle des valeurs de la fonction
"^ x'"{i — .xy',
à laquelle elles sont pioportionnelles.
Pour étudier celte fonction dans le voisinage du maximum, posons
Le maximum étant
p>nqt
la valeur voisine sera, en posant x =^ p — s, i — x =^ q -\- z^
(p — zy"(q -^E )" = /?'« q" ( I
p"^r/" élant indépendant de e, la probabilité est proportionnelle au produit
OU a
m n\ ^ r m(m — i ) 2 mn n(n — i )
en négligeant les puissances de e supérieures à la seconde. Or, à cause de
P 9 P + 9 l'expression précédente peut être remplacée par
ipq
OU, au même degré d'approximation, par
