CHAP. VII. — PROBABILITÉ DES CAUSES. 1 ^J
et, par conséquent, la probabilité pour que la composition de l'urne donne à la sortie d'une boule blanche la probabilité
et à celle d'une boule noire
est proportionnelle à
prop
et |)eut être représentée par
Ge -PI ,
G étant indépendant de t.
Cette formule équivaut à celle qui a été trouvée (08). On a, dans les deux cas, obtenu n fois sur ijl épreuves un événement
dont la probabilité est/?. La différence e, égale à p, est remplacée par h égale à n — p<^. La probabilité d'une valeur désignée de h est proportionnelle à
La seule différence des deux théorèmes consiste en ce que, dans un cas (08), p est donné exactement, le doute porte sur la valeur de n; dans la formule actuelle (121), n est d<mné exactement, le doute porte sur la valeui- de p.
122. La formule précédente est déduite d'une hypothèse qui se réalisera rarement. Toutes les probabilités désignées par x ont, en général, a priori, des valeurs inégales.
Problème LIX. — Une urne contient N boules. On a tiré au sort la couleur noire ou blanche, avec probabilité ^ pour chacune des boules. Sur jo. tirages, faits dans l'urne ainsi coni-
l48 CALCUL DKS PROBABILITES.
posée, on obtient m boules blanches et n noires. Quelle est la composition la plus probable de l'urne?
La probabilité pour que, dans une urne ainsi composée, le
nombre des boules blanches soit^ z est approximativement (58),
si N est grand et z petit,
iATn
La probabilité de la sortie d'une boule blanche est, dans cette hypothèse,
Posons ^=j; la probabilité d'une valeur désignée de j est proportionnelle à
(4) e La probabilité de l'événement observé est proportionnelle à
Les probabilités dési<;nées par to/ et />/ dans la formule générale (L16) doivent être remplacées par (4) et (5).
La probabilité de la cause, c'est-à-dire de la valeur jk, est proportionnelle au produit
(6) '^'"''{ï-yyW^y)"-
En égalant à zéro la dérivée du logarithme, on obtient, pour déterminer la valeur Ae y qui rend (6) maximum, l'équation
I — 2JK I -+- -i-y
ou, comme j^ est petit,
— aNj' — m(n- 2j) -f- n{i — -ly) = o, d'où
CHAP. VII. — PROBABILITÉ DES CAUSES. l49
La plus grande probabilité correspond à
ri — ni
La composition la plus probable de l'urne donne à la sortie d'une blanche la probabilité
2 '2 ( N -H //i H- n ) 2 ( iN -H /« -+- /«)
Celte fraction est comprise entre ^ et On aurait pu le
prévoir. Avant le tirage d'aucune boule, les chances pour les deux couleurs étaient égales, le rapport le plus vraisemblable était celui qui donne la probabilité i. Si le tirage indique pour l'une des couleui-s la proportion de m à m + /^, c'est une raison pour croire au même rapport dans l'ensemble des boules. Si ces deux indications ne s'accordent pas, la probabilité la plus plausible est entre les deux.
Si N est très grand, la formule (-) est très voisine de ^, quels que soient les nombres m et n] si, au contraire, m et m + n sont
très ffranils, elle est voisine de ■? quel que soit N.
Ces conclusions du calcul pouvaient également se prévoir.
Si le nombre N est très grand, on a fait, pour choisir les couleurs des boules de l'urne, un très grand nombre d'épreuves, donnant chacune à la couleur blanehe une probabilité ^. Il est certain, d'après le théorème de Bernoulli, que le rapport du nombre des boules blanches à celui des boules de l'urne dilTère peu de ^. Cette certitude est assez grande pour ne pas être notablement amoindrie par les couleurs, quelles qu'elles soient, de cpielques boules tirées de l'urne. Si cependant, après un nombre immense d'essais, on trouve entre le nombre des boules blanches et le nombre des boules sorties un rapport très dillerenl de ^, on se trouvera en présence de deux certitudes inconciliables.
Nous adoptons, on le voit, le sens vulgaire du mot cer^f^Mo^e. On tire au sort mille fois entre la couleur blanche et la couleur nou-e, eu leur donnant des probabilités égales. Dans Purne contenant les boules dont les couleurs sont ainsi désignées se trouveront, à très peu près, autant de boules blanches que de boules noires :
IDO • CALCUL DES PROBABILITES.
on peut le tenir pour certain. Sur ni -\- n tirages, on oblieni m boules blanches; le rapport du nombre des boules blanches au
nombre total diffère peu de > on peut aussi le tenir pour
certain. Les deux rapports cependant sont très inégaux. On est évidemment dans un cas exceptionnel, possible assurément, mais fort rare.
Supposons, par exemple, N = iooo. Dans l'urne composée de looo boules, contenant vraisemblablement, d'après la manière dont elles ont été choisies, 5oo blanches environ, on ("ait 4 tirages. On tire 4 boules blanches. La composition la plus probable de l'urne, d'après la formule (7), est telle que le rapport du nombre des boules blanches au nombre total soit
La démonstration sup|)Osant un grand nombre d'épreuves faites dans l'urne n'est plus applicable, il est vrai, au cas où le nombre m -\- n se réduit à 4- Le résultat est cependant peu diflVnent du véritable. On a vu 4 boules blanches; amenées par le hasard, elles sont presque certainement dillerentes; on ne sait rien sur les 996 autres. Le nombre des boules blanches le plus vraisemblable est, pour cette portion de l'urne, 49^ j cgVa fait, en tout, 5o2 pour le nombre le plus probable des boules blanches et pour probabilité la plus vraisemblable -;
5o2 loi
1000 5oo
Si, dans la même urne composée de 1000 boules, on a fait 4oooo tirages et obtenu 22000 boules blanches, le rapport le plus probable donné par la formide (7) est
peu différent du rapport-^ indiqué par le résultat du tirage; les
motifs qu'on avait d'abord de croire à un rapport voisin de ^- se trouvent en quelque sorte annulés pai* les 4oooo épreuves qui les
CHAP. VII. — PROBAniLlTK DES CAUSES. l5l
contredisent. Tous ces cliifTres, nous devons le répéter, sont possibles, mais absolument invraisemblables.
La probabilité pour que, sur looo boules dont la couleur a été désignée par le sort, avec chance égale pour blanc et pour noir, le nouibre des blanches soit inférieur à 55o est (60)
Deux cas, en effet, sont po-^sibles : ou les noires sont en majorité, ce dont la probabilité est ^; ou l'écart est positif et com|)ris entre o et 5o.
On a
v/âoo
Il y a plus de mille à parier coulre un. a p/'/ori, (pi'un tel écart ne se produira pas. Nos h vpoLl)«''ses cependant le rendent probable. La sortie de 22000 blanches sur 40000 tirages dans une urne contenant nombre égal de blanches et de noires présenterait une anomalie plus smgidière encore. Si la probabilité de tirer I boule blanche est 4^, la piobabililé d'en obtenir moins de 22000 sur 40000 tirages est
0(1 4) est tellement voisin de limité, que révéuement doit être considéré comme certain, r(;véneinent contraire comme impossible. On pourrait renouveler l'essai des milliards de milliards de fois sans avoir chance d'obtenir, sur 4oooo épreuves, 22000 fois un événement dont la probabilité est^.
123. On a assimilé sans raison au problème précédent des questions en réalité fort dilïérentes.
l52 CALCUL DES PROBABILITÉS.
l^orsqne les observiilioiis démenlenl des prévisions dont la probabilité semblait grande, on présume, naturellement, l'influence d'une cause perturbatrice et l'on est conduit à chercher la probabilité de son existence.
La question est insoluble. On n'a pas, d'une part, les données nécessaires. Le dilemme, d'autre part : ou il existe une cause, ou il n'en existe pas, n'a pas la netteté promise par la l'orme de l'énoncé.
Qu'entend-on, si Ton dit : il y a une cause?
On a jeté une pièce de monnaie looo lois, elle a montré face 5io fois. Quelle est la probabilité pour (jue cet écart soit dû au hasard ou pour (piil résulte de l'imperfection de la |)ièce?
Les hj[)othèses possibles sont en nombre inlini.
La pièce [^eut être parfaite.
Elle peut donner à l'arrivée de face une probabilité quelconque plus grande ou plus petite que ^.
L'événement observé, l'arrivée de 5 i o fois face sur looo coups, est compatible avec toutes les hypothèses : il se peut que, la pièce étant parfaite, le hasard ait amené ce petit écart; que, la pièce lavorisant l'arrivée de face de manière à rendre l'écart le plus probable plus ]. elil (|ue lo, le hasard ait complété la différence; que la pièce rende probable un écart plus grand, beaucoup plus grand même que lo, ou que, inéj^ale en sens opposé, elle donne probabilité à l'arrivée de pile plus fréquente que celle de face, et que le hasard cependant ait amené l'excès lo.
C'est précisément, dira-l-on peul-êire, parce que tant d'hypothèses sont possibles qu'il y a lieu de chercher la probabilité de chacune.
La recherche ne peut aboutir : les données sont insuffisantes. La solution varie, en effet, avec la probabilité a priori de telle ou telle imperfection de la pièce, et cette |)robabilité n'est pas connue.
Si l'exj)érienee est faite dans un pavs où ta fabrication des monnaies a une grande perfection, les grands écarts, a priori, sont presque impossibles, et, parmi les petits, ceux qui favorisent face ont même probabilité que ceux qui favorisent pile.
Si les pièces, par leur relief exagéré, favorisent toutes le même résultat, le problème est autre que si, par un autre accident de la
CHA1>. VII. — PUOBABIMTÉ DES CAUSES. l53 '
fabrication, elles lavorisaienl le résultai contraire. Il faut remplacer par une livpotlièse les renseignements qui font défaut.
L'hjpotlièse adoptée est inouïe.
Toutes les probabilités, depuis o jusqu'à i, données par la pièce à l'arrivée de face sont supposées, a priori, également vraisemblables.
On a clierclié queUpiefois, non la probabilité de chaque hypothèse, mais la probabilité pour (|ue la chance donnée à l'arrivée de face soit plus grande cpie r,. Surpasse-t-elle 4 de un cent-millionième seulement, il faudra donner à celle dllférence imperceptible le nom de c«M5e et laisser croire, d'après la dénominal ion adoptée, que l'écart observé est dû à cette imperfection de la pièce.
11 n'est pas inutile de tiaiter, pour ne laisser aucun doute, un cas célèbie pris pour exemple par Poisson.
124. Bulfon a jeté une pièce de monnaie 401^ (ois et obtenu 2048 fois face.
Poisson a cherché la probabilité pour que la pièce de Buffon donnât à l'arrivée de face une probabililé plus grande que celle de pile.
Avant de résoudre la (piestion, il semble naturel de chercher si cet écart de 28, qui substitue 2048 fois face au (;hiirr(; probable 2020, est assez invraisemblable par lui-même pour rendre suspecte la pièce qui l'a donné.
La probabilité d'un écart h pour un événement dont la probabilité esl/> est
\l>. XX- pq
]x désignant le nombre des épreuves et q la probabililé i — /> de l'événement contraire.
La probabililé d'un écart moindre (jue h, en valeur absolue, est
/ e ^V-i>ndz = ^ / e-t'dt=Q[
T.pq Jo /- Jo \ S/'i- V-Pq J
yji \VKpq
Il faut, dans celte formule, faire /i = 28, ij. = 4o4o. On peut,
iM CALCUL DKS PROBABILITÉS.
sans erreur sensible, remplacer/?^ p3r|; on aura
La Table des valeurs de, la fonction © donne
La probabilité de l'événement contraire, c'est-à-dire la probabibté pour que, la pièce étant parfaite, l'écart soit égal ou supérieur à 28, est donc G, 38.
Si l'on recommençait 1000 fois l'expérience de BufTon, avec des pièces parfaites, on obtiendrait 38o fois environ un écart supérieur à 28. Si donc le hasard est la cause du résultat obtenu, il n'y a pas sujet d'élonnement.
Résolvons cependant le problème.
Soient i H- 5 la probabilité donnée par la pièce de Ëulïbn à l'arrivée de face; {— z celle qu'elle donnait, par conséquent, à l'arrivée de pile. Toutes les valeurs de z, entre —4 et i, sont supposées également probables a priori.
La probabilité de l'événement observé ('tait, avant l'épreuve, proportionnelle au produit
En
prenant le logarithme de ce produit, remplaçant
M--^^j pai" l-^-^ l{i-V-iz) = l~ -Jr-iz — iz"^,
M- — -j par l^-^l[i — 'iz)-=l]-—'i.z — iz^-,
on voit qu'en supprimant un facteur constant dont la présence ne change rien, la probabilité de l'événement était, pour une petite valeur de ^, proportionnelle à
La [)robabdité pour que z soit positif est donc proportionnelle à
CH\P. Vil. — PROBUJILITK DES CVL'SES. |55
et, pour qu'il soil négatif, à
on a
B et, en posant y.z — ^ = ^,
«^ dz
on a également
:J/-. -'•</, = >5J^Jv^e/?^•
Le rapport de la prohabilité pour «pie z soil positif à celle pour [u'il soit néffatif est donc
i/SoSo
V8oS( Si l'on désigne par yr?' et ^' ces deux probabilités, ou déduit de
Poisson a Irouvé o,8io43.
12o. Une difficulté pourrait s'élever, le principe du calcul étant admis, sur la formule d'approxifnation euiplovée. Après avoir désigné la probabilité cbercbée par ^ 4- z, et annoncé que toutes les valeurs de z seraient traitées comme également vraisemblables a priori, nous avons négligé les puissances de z supérieures à la seconde.
Cela est permis. Lorsque z en efTet n'est pas petit, la probabi-
l56 CALCUL DES PROBABILITÉS.
lilé de l'événement observé peut être considérée comme nulle, aussi bien que l'exponentielle qui la remplace. C'est pour la même raison que, z étant compris entre o et j, nous pouvons étendre les intégrations de o à oo.
126. Si Bufion, au lieu de jeter la pièce 4o4o fois, l'avait jetée I fois seulement et qu'il eût obtenu face, l'événement, on en conviendra sans peine, n'apprendrait lien sur la qualité de la pièce.
Cherchons cependant, en appliquant les mêmes principes, la probabilité pour que la pièce ait une tendance à favoriser face.
Soit^ la probabilité que la pièce donne à l'arrivée de face. La probabilité de l'événement observé étant x et les probabilités de toutes les hypothèses étant supposées égales a priori, la probabilité de cha(jue valeur de x est pioportionnelle à .r; la [)robabilité pour que x soil compris entre ^ et i est pro|)ortionnelle à
et, pour qu'il soit compris entre o et :^, à
le rapport est 3 et les probabilités dont la somme est l'unité sont
et T.
Une telle conséquence suffirait pour condamner le principe.
127. La régularité du rapport des naissances masculines et féminines a beaucoup occupé les géomètres. On a commis, en étudiant des anomalies toujours petites, des erreurs semblables à celles que je viens de signaler. On a assimilé les naissances à des tirages au sort faits dans une urne de composition constante, dans laquelle le rapport du nombre des boules blanches à celui des boules noires différerait peu de celui des nombres de naissances indiqué par la Statistique.'
Une telle substitution n'est légitime que si les écarts observés sont compris dans les limites et suivent les lois que la
