CHAP. VII. — PROBABILITÉ DES CAUSES
niune, sur 2000 enfants, 89 garçons de moins que le chiflTre normal. La formule donne 0,92 pour la probabilité d'un écart, en plus ou en moins, inférieur à 09; 0,08 est, par consécpieni, celle d'une anomalie au moins égale à celle qu'a signalée Bulîon ; les statisticiens la rencontreraient souvent, s'ils la cherchaient.
130. Laplace a trouvé, pendant le xviii« siècle, la proportion des garçons aux filles plus petite à Paris que dans l'ensemble du pays, fl au lieu de ff, chiffre normal adopté alors, auquel les documenls nouveaux et plus nombreux ont substitué — .
Quelle est, se demande Laplace, la probabilité pour (pie cette différence soit due à une cause?
« A Paris, dit-il, les baptêmes des enfants des deux sexes s'écartent un peu du rapport de 22 à 21. Depuis 1746, époque à laquelle on a commencé à distinguer les sexes sur les registres des naissances, juscpi'à la fin de 1784, on a baptisé dans celte capitale 398886 garçons et 877055 filles. Le rapport de ces deux nombres est à peu près celui de 25 à 24 ; il paraît donc (pi'à Paris une cause particulière rapproche de l'égalité les baplêmes des deux sexes.
» Si l'on applique à cet objet le Calcul des probabilités, on trouve qu'il y a 288 à parier contre i en faveur de l'existence de cette cause. »
Laplace supprime les détails. Ni ses calculs ne sont rapportés, ni les principes sur lesquels ils reposent.
131. Faut-il croire à un écart fortuit ou affirmer l'existence d'une cause? Les données ne sont pas suffisantes. Comment se prononcer de la même manière si les études antérieures ont appris (\y\e le rapport varie très rarement, ou si l'on constate, partout où les documents sont nombreux, des écarts comparables à ceux dont s'étonne Laplace? La solidité plus ou moins grande de la règle qui se trouve en défaut doit faire apprécier différemment les consé(|uences.
Il n'est pas inutile d'insister.
Si l'on assimile la distribution des naissances entre les deux
l6o CALCUL DES PROBABILITÉS.
sexes à des tirages faits dans une urne, la probabilité pour que le hasard produise, sans rintervenlion d'aucune cause perturbatrice, sur ^^-0941 nnissances, un écart relatil égal ou supérieur à
— — -^ = o,ooi4'.i, est 43 49
/ e-'V^ = 1 — 0(1,762) = o,oi3.
Si donc on dresse des listes pendant un temps suffisant, le hasard seul, on peut l'affirmer, produira i3 fois sur 1000 environ, dans un sens ou dans l'autre, un écart égal ou su|)érieur à celui dont s'est préoccupé Laplace.
Si des causes autres que le hasard amènent aussi des anomalies, le statisticien, en classant par groupes de 'y'joooo naissances les registres de tous les temps et de tous les pays, trouvera un certain nombre de rapports anomaux égaux ou supérieurs à celui de Pai-is. Parmi ceux-là, quelques-uns seront dus au hasard, i3 sur looo environ, cela peut être tenu pour certain, si les chilFres sont suffisamment grands. D'autres écarts seront dus à des causes; nous en saurions à peu près le nombre, si la statistique était faite en retranchant du nombre total le nombre probable de ceux que le hasard a produits. Nous n'avons qu'un seul fait : est-il dû au hasard? 11 serait téméraire, impossible même, d'en rien dire sans accepter sur les probabilités a priori quelque, convention arbitraire.
132. Le possesseur d'un chronomètre a remarqué un r(;tard de 1% quand la température de la chambre dont le chronomètre ne sort pas s'élève de 10".
L'observation a été renouvelée vingt fois.
Quelles sont les probabilités pour que la chaleur soit la cause du ralentissement et pour que le concours des deux faits soit fortuit?
Le possesseur d'un chronomètre a remarqué une avance de i* le lendemain de chaque jour où les artilleurs se sont exercés au champ de tir voisin. ,
[^'observation a été renouvelée vingft fois.
Quelles sont les probabilités pour que l'ébi-anlement causé par
CIIAP. VII. — PROBABILITE DES CAUSES. l6l
le lir ait changé la inarclie du chronomètre et pour que le concours soit fortuit?
Le possesseur d'un chronomètre a remarqué un ralenlissemenl de 1% chaque fois que la planète Mars passe au méridien entre minuit et i** du malin.
L'observation a été renouvelée vin"! fois.
Quelles sont les probabilités pour que la planète influe sur le chronomètre et pour que le concours soit fortuit?
Les problèmes sont identiques. Les réponses ne peuvent cependant être les mêmes : n'est-ce pas une raison pour reconnaître les données insuffisantes?
433. Les habitants de Saint-Malo s'étaient persuadé, il va un siècle, que, dans leur ville, le nombre des décès à l'heure de la marée haute était plus grand qu'à marée basse.
Admettons le fait.
Supposons que, sur les côtes de la Manche, on ait remarqué une plus grande proportion de naufrages par le vent du nordouest que |)ar aucun autre.
Les chiffres recueillis à l'appui des deux remarques ét;tnt supposés en même nombre et inspirant même confiance, on sera loin d'en déduire les mêmes conséc|uences.
Lorsqu'on sera conduit à accepter comme une certitude Finfliience du vent de nord-ouest sur les naufrages, les gens prudents exigeront des preuves nouvelles pour reconnaître seulement vraisemblable l'influence de la marée sur la dernière heure des Malouins.
Les problèmes, cette fois encore, sont identiques; l'impossibilité d'accepter une même réponse montre la nécessité de faire intervernr la probabilité a priori de la cause qu'on veut apprécier.
134-. Le fermier d'une maison de jeu a installé une roulette nouvelle. L'instrument, sur loooo coups, a amené la rouge 53oo fois et 4700 fois la noire. L'acheteur refuse le pavement et demande une indemnité : les joueurs ont remarqué les sorties plus fréquentes de la rouge et en ont profité. Un procès s'engage. On allègue le Calcul des probabilités. Jamais, dit le fermier, machine bien construite n'a donné un tel écart. 3oo coups sur 10 000 ne peuvent être B. u
l62 CALCLL DES PROIJABIMTKS.
l'ell'el du hasard. La probabilité de la lou^e n'est pas ^ coiniiie elle devrait. Peu irn[)oil(', répond le intM-anicien, la slalislicpie des |)arties jouées : on ne |)cut pas liaranlir les eapriees du hasard; la niachine. (•onstniilr par (rcxi.ellents ouvriers, a él('; vériliée avec soin. Aucune pièce n'esl Iniparfailc; on ne tnonlre ni roue mal cenlrée, ni cases inégales, ni nivellenienl défectueux. Le tribunal nomme un expert. Quelle décision doit-il conseiller?
L't'cart observé est un indice. Quelle en est rimporlance? L'application du principe (llo) suppose des données (pTon n'a |)as.
Les probabilités des diverses hypothèses, que nous nommons les causes, sont pi-oporrnuineiles au |)roduil de leur probabilité apriori par la probabilité qu'elles donnent à l'événement.
L'événement est l'arrivée de 53oo fois rouge sur loooo ('preuves. La cause inconnue, c'est la valeur de la probabillt»', donnée parla machine, à l'arrivée de la c-ouleiir rouge.
La probabilitt' a priori désignée par m/ dans la (oiinule ( lio), est conn)lètement inconnue ; en supposant, comme on Ta lail dans des cas analogues, toutes les valeurs également prol).d)les, on pi-<>poserall une hvpothèse ina(;ceptable. SI, léellemenl, la i-oulelle favorise la rouge, un très petit écart est plus probabh; (pTuri grand, un très grand est impossible. Les grands écarts sont, en oulre, d'anlant moins probables (pie le nn-caiinnen a meilleure répulallon et qu'il a em[)lo^'é de meilleurs ouvriers.
I^'e\|)ert doit répondre :
Les faits connus de la cause ne permettent pas l'évalnalion des prol)al)llllés : Il maïupie ra|)préciali()n rt />/'/o/7' de la pi'obabdité qu'on veut co\\iu\\\\i', a posteriori.
J^e Cidciil serait sans issue.
Il faut simplilier la (picslion.
La machine, suivant l'une des |)arties, donne à la sortie de la rouge une probabilité peu dilb'rente de o,53.
Le résultat de lOOOo épreuves ne permet |>as, suivant lui, d'en douter.
La machine, suivant l'adversaire, donne, comme elle doit, à la sortie de la rouge nue probabilité voisine de o,5oo. Le soin apporté à la construction ne |)eiinet de croire à aucun défaut grave.
Précisons les deux dires :
(:n.\\>. VII. — l'iiOBAim.iTK dks calsks. i63
î^;> |)i()hal)ilil(' de la loiij^c, dans l'un des systèmes, serait comprise eiilre 0,499 et o,5oi ; suivant raii(t(\ ei)lre o.5y!() et o,53i .
Laissons de coté le cas 1res possible où les plaidenis se liomperaient tons deux, et cherchons le rapport des probabilités de leurs as-'' ri mus.
Soient .r la probabilii*' j)onr (pie la roulette donne à la coiib^ir roiii^c Mlle eliance comprise entre o,o>.9 et, o,53i ;j la probabilité pour (pic la chance soit comprise entre 0,499 et o,;kh, x -\- y n est pas éi;,il à rniiiti'-. Le l'apport ^1 sans faire connaître les denx probnbiliK's, apport(M-a nn 1 ('nseii;n(;m(Mil niih;.
Soient 7TJ, la probabililt; r/ />//(>/•/ pour (pie la machine, d'après ce (pi on savait avant sa mis(! en œiivr(!, en tenant (■ompt(; de sa bonne apparence, de la bonne reiiommi'e du consl rii(M(>iir et de 1 apparente >ine(''rilé de ses (bM-laral ions, donne à la soilie de la COiib'iir rouf^e niK! valeur coiiipi'is(; enli'(; o. i()() r\ o.joi; ttt , la probabilUx', évalin-e toujours a\ant r/preiivc, pour (pic. mali^ré les i^arantics énnnK-rées, elle donne nin; probabiiilc; comprise entre o. J>,() et o,;"),'^ I .
7ÎT, et rvTj sont inconnus.
Soient/-', et/>j les probalnl il(''s (pn^ les denx liv|)otli(;ses snr le mérite de la roulette doniKM-aient à i"(''V('nement observé, on anra [ llo)
En nommant X la probabilité de la S(,>rlit^ de la ronge, la probabililt- (piVdIe donne à révcnemeiit observé (.-st proj)ortioiinelle à
\5:iou(, X )*"«".
Si l'on suppose
Xi = o,joo et X2=o,53o,
on tronve
X,i3OO(,X,)V70
\^ôiW(y — Xj j*'""
OjOooooooi Jo8.
Le rapport varie pen quand X| et Xo restent dans les limites assignées. On peut donc snpposer
Pi
l64 CALCUL DES PROBABILITÉS.
par conséquent,
X l5 TiTi I TÎTi
y looooooooo TÏT2 666t)6666 tïJ2
— est inconnu. Si le constructeur est très habile, ce rapport est
très grand ; il est invraisemblable qu'une pièce détestable sorte d'ateliers dignes de confiance ; mais, quelle que soit la confiance, en divisant le rapport qui la mesure par 66666666, il est à craindre que le quotient soit petil.
Si vous croyez qu'un défaut tel que celui qu'on soupçonne ne peut se produire qu'une (bis sur un million, il restera 66 à parier contre i qu'il s'est produit cette fois-là.
135. Les restrictions proposées peuvent s'appliquer aux conséfjuences déduites par Mitcheli du rapprocliemenl fréquent de deux étoiles dans le ciel. Deux hypothèses sont possibles :
Pour être aperçues dans la mênie direction, deux étoiles n'ont rien de commun, leur vraie distance est immense;
Les deux étoiles, au contraire, sont voisines dans l'espace; c'est pour cela qu'elles sont rapprochées dans le ciel.
En comptant les étoiles de i""", de a** et de 3^ grandeur et les supposant indépendantes les unes des autres, Mitcheli a calculé le nombre probable des groupes dont la distance est inférieure aune limite donnée.
Il ne faudrait pas croire (|ue loutes les distances angulaires soient, a priori, également probables : les petites le sont moins que les grandes. Considérons une première étoile, peu importe la position qu'elle occupe. Si une seconde étoile est placée au hasard, pour qu'elle se trouve à une distance angulaire de la première comprise entre 0 et 9 -h <i9, il faut que le hasard la place dans une zone comprise entre deux cercles ayant pour pôles la première étoile et pour rayons sphériqnes 9 et 9 -f- <i9. La surface de cette zone est d'autant plus grande (pie 9 s'approche davantage
de - ; elle est propoilionnelle au sinus de l'angle 9 dont on cherche
la probabilité. La probabilité pour qu'une étoile se trouve à une distance inférieure à v d'une étoile donnée est le rapport de la zone à une base terminée par le petit cercle dont y est le rayon
CHAP. VII. — PROBABILITÉ DES CAUSES. l65
spliériqiie à la surface de l'hémisphère sur laquelle on suppose l'étoile placée au hasard. Ce rapport, égala i — cos y, peut être
représente, si y est petit, par — •
Si, par exemple, on prend
on aura
yî I
-!- = o,ooooo423(>7 =
Le nombre des étoiles des trois premières grandeurs étant égal
à 280, on peut former ^ "'^"^^ = 9-6 335 combinaisons deux à deux.
La probabilité pour que le hasard |)rocure deux étoiles à distance inCérieure à 10' est celle d'obtenir i boule blanche en 26335 tirages dans une urne contenant une seule blanche et 236302 noires. Cette probabilité est
= o,ro34o3.
L'ingénieux argument de Milchell ne peut pas cependant fournir d'évaluation numérique. La reclierche plus ou moins rigoureusement faite de la probabilité pour que le hasard ait produit les groupes observés n'est pas le seul élément de la question. C'est le seul, cependant, que l'on fasse intervenir. Si l'on trouvait, en étudiant le ciel, trois étoiles de i"' grandeur ayant, à i' pn'-s^ la même ascension droite, la probabilité pour que le basard produise un tel rapprochement est plus petite assurément que la formation fortuite du groupe des Pléiades.
En conclura-t-on, avec la même vraisemblance, que ce rapprochement doit avoir une cause et que ces étoiles, dont la déclinaison diffère de 4o" ou 5o" peut-être, sont solidaires et forment un système?
Personne, assurément, n'v songera, et la raison en est que la probabilité a /?rw/7, désignée par tn/ dans nos formules, est trop petite.
Comment définir, d'ailleurs, la singularité dont on juge le hasard incapable?
l66 CALCUL DlîS PROBAIULITE?.
Les Pléiades semblent plus rapprocliées les unes des autres qu'il n'esl naturel. L'assertion est digne d'intérêt ; mais, si l'on veut traduire la conséquence en chiflVes, les élémenls l'ont défaut. Faut-il, pour préciser cette idée vague de rapj^rochemeiit, cherclier le plus pelit cercle qui conlienne le groupe? la plus grande des distiiiices angulaires? la somme des carrés de toutes les distances? l'aire du polygone spliérique dont quelcpies-unes des étoiles sont les sommets et qui contient les autres dans son intérieur? Toutes ces grandeurs, dans le gioiq^e des Pléiades, sont plus |)eliles qu'il n'est vraisemblable. Laquelle d'entre elles donneia la mesure de l'invraisemblance? Si trois étoiles forment un triangle équilaléral. faut-il laire entrer cette circonstance, assulément peu probable « />/Yo;-/^ au nombre de celles qui révèlent une cause ?
L'intervention du liasard dans la formation de l'univers est inacceptable. Une loi règle lout, cela n'est pas douteux. Quelle est cette loi? voilà la question. Il n'est pas admissible (|u'on demande; s'il v en a une et (pie Ton évalue la probabilité de la réjjonse.
Si l'élude du ciel suggérait plusieurs lois, on pourrait les mettre en b.dance et non choisir l'une d'elles, celle du groupement par attraction ninluclle, pour l'opposer à l'ensemble des autres, réunies sous le nom vague de hasard.
l^orsque plusieurs (iloiles semblent voisines sur la voûte céleste, leur proximité dans l'espace est la première explication qui se présente. JNe peut-on en imaginer d'autres?
Si l'ensemble des éioiles forme un réseau régulier, si le Soleil en est un sommet, les lois gt^ométricpies de cettt; immense cristallisation peuvent exiger des alignements. La Terie, voisine du Soleil, aperçoit, |)Our < c motif, beaucoup d'étoiles dans une même direction. Lhypollièse, diia-t-on, ne mérite pas examen. Raison de plus, si on la condamne p.ir l'appi-i'ciation des probabilités a priori.1 pour ne négliger dans aucun cas le rôle indispensable qu'elles doivent jouer.
136. On a attaché beaucoup d'importance à la recherche de la probabilité des événements futurs, déduite des événements observés comme corollaire de la probabilité des causes.
