CII.VP. VII. — PKOltABII.lTÉ DES CAIÎSKS
Le prohirine ptnil s'énoncei- ainsi :
Plusieurs causes pciivenl produire un même événemenL dunt la j)rol)al)ililé dépend à l.i lois de la prohabilité pour cpie chaque cause agisse et de Ja probahililé que, dans ce cas, elle donne à révfueiiK'nl .
8i les probabilités des causes sont ra,, ra.j m,i, et celles
qu'elles donnent à r(''vériement />, , />.j, . . . , />^, la probabdilé, a priori, [)our que révénement se produise, est
p^TSi-T Pi-n5.l-\-. . .^pn'^n-
On lait un certain nombre d'épreuves, dans des conditions telles (pie la même cause, on ij^more laquelle, a ayi dans toutes. Si les causes sont des uimkîs de com|Jositions dillerenles, que le hasard peut dési<;ner pour qu'on y fasse le liiaj^e, une même urne a servi à tous les tirages. La connaissanc'e de> résiiltiils obtenus change les probabilités, cpii ne sont plus, pour les dineienles causes,
rn,, TTT^ ro„. On demande la probabilité pour (prune nouvelle
épreuve, l'aile dans les mêmes conditions (pie les précédentes, procure l'arrivée d'un événement désigné.
Une urne, par exemple, contient des boules noires et des boules blanches en proportion inconnue. Toutes les suppositions sont également possibles.
On a l'ait 'jl tirages; il est sorti m boules blaïudies et n noires. Quelle est la probabilité pour (pie le (;a + i j"'"" tirage amène une boule blanche?
Soit .r la probabilité donnée par la composition di; l'urne à la sorli(! d'une boule blanche. Toutes les valeurs de x sont, a priori, également probables.
La probabilité qu'une valeur x donne à l'événement observé est
La probabilité pour que x soit compris entre x ei x ^ dx peut donc être représentée par
G.r"'(i — oi-)"dx, G étant iiuh'-pendant de x. La probabilité pour que x soit compris
l68 CALCUL DKS PROBABILITES.
entre o el i est la ceilitucle. On doit donc avoir
donc
el la probabilité pour que le rapport du nombre des boules blanches au nombre total des boules soit compris entre .a; et a? + c/^ est
c'est-à-dire
x"t{i — x)'^dx^
x'"{i — xy^dx.
La probabilité pour qu'une nouvelle épreuve amène une boule blanche est la somme des produits des diverses valeurs de la probabilité x par la probabilité pour que ciiacune soit la véritable, c'est-à-dire
on a
r ( /« -t- /t H- 3 ) ni -r II
V{ m -\- i ) et la probabilité demandée est
137. Les applications faites de cette formule ont été presque toutes sans fondement.
On a osé chercher la probabilité pour que le Soleil se lève demain.
Pour chercher la probabilité d'un événement, il faut accepter son contraire comme possible. Une urne est donc supposée qui
CHAP. VII. — PROBABILITK DKS CAUSES. 169
contient des boules blanches et des boules noires. La probabilité d'en tirer i boule blanche représente celle de voir le Soleil se lever. Jamais il n'a manqué : cela dure depuis six mille ans. L'urne, consultée 2 191 5oo fois, a donné 2 191 5oo boules blanches.
La formule donne pour la probabilité d'un nouveau tirage semblable aux précédents
2191502 'jyyy^y "*
Est-il besoin d'insister sur l'insignifiance d'un tel calcul?
Représentons-nous le premier homme au premier coucher du Soleil. Il devrait, pendant sa première nuit, s'il raisonne comme Condorcet, assigner la valeur | à la probabilité de le revoir. S'il comprend la question et s'il se la pose, les chances pour lui seront beaucoup moindres. Le Soleil a disparu; s'il est éteint, qui le rallumera? S'il est tombé dans la mer, comment en soitirait-il?
Sans avoir cependant la science parfaite que lui supposent les théologiens, le premier homme se persuadera sans doute, après cent apparitions, (|ue le Soleil tourne autour de la Terre; rien alors ne doit lui faire craindre un arrêt brusque, l'absence du Soleil au cent et unième jour ne l'élonnerait pas moins que celle des objets éclairés cha(pie matin par ses premiers rayons ; faudral-il, en invoquant la formule, sup|)oser qu'a|)rès cent jours la probabilité de les revoir est -j-^? L'absurdité serait précisément la même.
Le lever du Soleil, après une année, sera pour le premier homme une certitude.
Si le temps doit la confirmer et l'accroître, c'est parla découverle des lois astronomiques et non par le succès renouvelé d'un même jeu de hasard.
CHAPITKE VIII.
