LOI DES ERREURS D'OBSERVATION
In (loi- Aslronomie ist die Praxis cinn Aufsabo (1er Walii-sclieinliflikeits-Reclinuiij:, die Tlicoric cinc Aufftalio (Ici- liotiorcn Mcclianik.
ItESSEL.
138. Postiilatum de Gauss. — 130. Aiitip hypollièse faite implicilement. — 140. Cas dans lequel le posiulalmii csl rigoureusenienl exact. — lil. Conséquence (les suppositions accc|)trcs. — l'i-?. Comparaison du l'ésultat avec une formul(> cimnue; aci-onl appaient, mais non réel. — lil. Antres contradictions résultant de la loi admise. — l'il. Conséquence d'un autre mode de combinaison des mesures. — 1 'lô. L"oi)servalion confirme la rèj;le de Gauss les erreurs constantes iMant ('■c.irtécs. — 110. Mélliode de vérilicalion. — 147. Résultais .le Bradicy discutés par Resscl. — 14.S. Détermination du j)aramètre A: div.r-.es formules. — l'i!). Nériliculions possibles. — !.')(). N'aieur probable du carré de rcrrciir commise en adoptant la première formule.
Ijl. \aleur luob.iblc pour la seconde. — 15-2. Comparaison des deux résultats.
— 1).'!. Les formules peuvent être remplacées pai- d'autres qui sont préférables.
— 151. Autre moditicalion accroissant la confiance méritée par la formule. — 155. Autres métliodes pour calculer A'. — 15(3. Groupement des observations deux par deux; valeur probable de la [)lus grande erreur. — 157. Autre démonstration du résultat. - 158. Valeur probable du carré de la plus grande des erreur.- considérées deux à deux. — 159. Groupement des erreurs trois par trois. — Distinction nécessaire entre l'erreur véritable et l'erreur présumée. — IGO. Cas plus général. — 101. Discussion de la démonstration précédente. — 102. Expression qui caractérise la précision d'un système de mesures. — 163. Ce qu'on entend par poid.s et \y,n- précision. - 1G1. Si la loi de probabilité était autre, ces deux mots n'auraient plus de sens précis. — 1G5. hist-il permis d'écarter les mesures rendues suspectes |)ar leur difTérence avec la moyenne'?
— 1G(J. Valeur probable de la plus petite des erreurs commises — 1(57. Combinaison d'observations qui n'inspirent pas égale conliance. — 108. Partage d'une grandeur en plusieurs parties mesurées séparément. — 109. Évaluation donnée par Fourier en Egypte. — 170. Discussion relative à la détermination de la constante k déduite d'un système d'observations.
138. La loi rigoureuse de piohabililé des erreurs d'observation varie sans doute avec Ja grandeur mesurée, comme avec Je elioix
CHAI». Mil. — LOI DES EIIUEURS d'OBSERVATIOX. I7I
de rinslriiiuenl et l'Iiabileté de l'observaLeiir; elle esL inaccessible aux géonièltes.
Eiiler, Bernoulli, Layrange et Laplace ont fail des hypollièses démenlies par les faits el mal justifiées par des preuves sans vraisemblance.
Gauss, plus heureux, a déduit d'un raisonnement fort simple une loi que la déinonstr-alion laisserait douteuse, mais que les conséquences justifient.
Lor.squ(; plusieurs mesures d'une grandeur inspirenl une confiance égale, la valeur la plus probable est la movenne de celles qu'on a obtenues.
Tel est le postidatum de Gauss. Tous les obseivaleurs, avant qu'il fût pris pour base de la théorie, y avaient adhéré en en faisant usage.
S'il suffisait d'admeLlre une règle aussi plausd)le, la théorie serait parfaite.
A ]a condition énoncée, il faut, malheureusement, en ajouter phisieurs autres qu'on ne dit pas. Nous devons signaler d abord une différence es^enlielle entre la valeur la plus prob,iblc d une; grandeur et la meilleure valeur à adopter.
La valeur la plus probable esl celle dont la pi(d)al)ililé esi la plus grande. Peu importent les aulres. Elles doivenl l()ule>, cependant, diriger le choix à fair(!. S'il esi ulile d'accniilre la probabilité des petites (irreurs, il e>l désirable au>si de diminuer celle des grandes. S'atlaelier senb^nent à (dioisir la valeur la plus probable, c'est imilei' le joueur qui, pouvant esp-'i-er un grand nombre de gains diderents et cr.iindre un -rand nond)re de pertes, prendrai! ses décisions de manièi-e à accioilre la <diarice de gagner le plus gros lot, sans aucunement se soucier des aulres.
En disant : a En présence de plusieurs mesures d'une même grandeur, h; parti le meilleur est d'adopter la moyenne ». et : « La moyenne entre plusieurs mesures est la valeur la plus probable ■>■>. on énonce deux piopositions différentes. On a eu tort de les confondre.
Supposons, pour donner un exemple, cpie l'on cherche l'origine probable d'une plante d'espèce connue cueillie en France.
Dans la liste des i oo localités où l'espèce se rencontre, on en
trouve trois dans la même commune du Cantal et les autres dans 97 communes différentes du Finistère.
La commune la plus probable est en Auvergne ; l'origine probable de la plante, la Bretagne.
139. Après avoir proposé le postulatum qui a été admis sans difficulté, Gauss représente par cp(A)â^A la probabilité pour que l'erreur d'une mesure soit comprise entre A et A + rfA: la fonction cp(A) est l'inconnue qu'il veut déterminer.
Ici encore s'élève une objection. La probabilité d'une erreur A est-elle une fonction de A?
Ne dépend-elle pas de la grandeur mesurée? Si l'on fait une pesée, si l'on mesure un angle, lorsque le poids est un nombre exact de milligrammes, lorsque l'angle contient un nombre exact de secondes, n'a-t-on pas plus de chances d'évaluer juste que s'il faut ajouter une Traction? Si celle fraction, que l'instrument ne donne f)as, est exactement égale à ^, n'a-t-on pas, en l'évaluant, moins de chances d'erreur que si elle est 0,27 ?
En disant, sans explication : Soit o (A) 6^ A la probabilité d'une erreur A, on s'écarte, dès les premiers mots, de la rigueur pronise en quelque sorte par la forme géométrique de la démonstra- J
tion
liO. Il est un cas où, le postulatum étant rigoureusement démontrable, la conclusion cependant n'est qu'approchée. C'est une preuve décisive contre l'exactitude de la théorie.
Supposons que la grandeur à mesurer soit le rapport du nombre des boules blanches au nombre total des boules, dans une urne de composition inconnue.
On tire un certain nombre de boules; nous le désignerons par fjL.
Sur ces jj. boules, m sont blanches.
La fraction — peut être considérée comme une mesure du rapport cherché. L'instrument qui l'a donnée est d'autant plus précis que le nombre des tirages est plus gn.nd. L'opération recommencée n lois donne les mesures successives
^1 m^ TUn
CHAP. VIII. — LOI DES ERREURS d'oBSERVATION. 178
La valeur la plus probable du rapport clierclié déduite des /ijx
tirages est
n [JL
elle est, on le volt, la moyenne entre les valeurs successivement obtenues par n mesures qui méritent même confiance. Si la démonstration que nous allons donner était irréprochable, ta conclusion devrait, dans ce cas, s appliquer en toute rigueur.
141. Soient Xi^x^i ..., x,i les valeurs d'une même grandeur données par n mesures successives, faites dans les mêmes conditions et dignes de la même confiance.
La valeur la plus probable de la grandeur inconnue est, on le sujjpose, la moyenne
Si z est la valeur véritable, les erreurs successivement commises ont été z — .r,, z — x-^-, ..., z — Xn- La probabilité, avant l'épreuve, de ce concours de mesures, c'est-à-dire celle de l'événement observé, est proportionnelle au produit
(1) 0{Z — Xi)'~^{z — X2). ..^{Z — Xn-
La probabilité pour que la valeur exacte soit ;:; est proportionnelle à (i); la valeur la plus |)robable est celle qui rend ce produit maximum : elle doit donc rendre nulle sa dérivée et, par conséquent, aussi celle de son logarithme, et l'on doit avoir
0'{Z — X,) ^ ^'{Z — T^) ^^^^^ cp'(^^,,)^^ <^{Z — Xi) ^{Z — Xi) '" V^{Z — Xn)
(jette équation, d'après le postulatum, doit être satisfaite par la valeur
a; 1 -1- 372 -1- ... -1- Xn
Si l'on pose (3)
cp(u) ^ ^'
l'équation (2) peut s'énoncer de la manière suivante :
174 CAIXI L Di:S PUOIJABILITÉS.
La snmtne des valeurs de la fonclion F (il) doit êti'e nidie lorsque celle des valeuis de la variable est ellc-inêine égale à zéro.
Si l'on considère deux valeurs «, el «o de la vaiiahle, on doit
avoir
la fonclion est impaire.
Si l'on en (;onsidrre trois, ;/,,, t/, et — • // ^ — a.,, ont doit avoir
On déduit de ccne é(j nation bien connut; la forme de la fonclion b; elle est pi oportionnelle à la variable. L"(''(|uation (3) donne
= Lu.
On en déduit, en intégrant,
et, en remarquant que 'f{if-) doit s'annuler quand u est infini,
G et k étant des constantes.
On peut déterminer le facieur G.
La probabilité d'une erreur conq)rise entre z el z -+- dz élant
celle d'une erreui- comprise entre — oo et + oc est
elle représente la certitude. Il faut l'égaler à l'unité. On en déduit, en se rappelant l'équation bien connue
CllAl». VIII. — LOI Di:S KRUELUS D OKSKRVVTION.
el la loi de probahililé des cireurs est rcprcsenlée par
e-^^-='rfz,
une seule eonslantc servant à disiinmier el à earaclériser les cas.
142. La vérilîcation doiil nous avons parlé ( l iO) semble confirmer le r(\siillal.
Si. sur 'j. tirages faits dans une urne, on a renconlr(' m houles blanches, la probabilité pour (pie la c()inpo>ilion de riirne donne
pour rapport du nombre des boules blanches au nombre total des boules est (121)
\J-i - ni ( tji, — m )
Le théorème semble conliriiK'' ; il est mis en délaiit : la lormule(r>) est seulement apjjiochéc, elle devrait être rigour(uisemeiit exacte.
143. \yd règle des moyennes, il iiiiporte d'insister sur ce point, n'est ni démontrée ni «exacte. S'il était admis cpie la mojeniK! entre plusieurs mesuies lût toujours la valeur la plus probable, il en résulterait des contradictions. Quand on mesure une grandeur, on mesure, par cela même, toutes les fonctions de cette grandeur, son carré par exemple, ou le logarithme du nombre qui la représente. Pourquoi la valeur la plus probable du carré ne serait-elle pas la inovenne des valeurs obtenues pour le carr<';, et la valeur probable du logarithme, la movenn(; des logarithmes?
La valeur la plus probable d une grandeur dont les mesures successives sont ,r,, Xo? •••> -^w serait alors représentée par l'une ou l'autre des formules
X'-. -^- xl-^ . . .-\- X
1^6 CALCUL DES PROBABILITES.
le carré de la première est, en effet, la mojeune des cariés, et le logarithme de la seconde, la moyenne des logarithmes.
Il ne faut pas, pour écarter l'objection, faire une distinction entre les grandeurs directement mesurées et celles qui résultent d'un calcul. Un mécanicien pourrait, bien aisément, annexer à une balance une aiguille marquant le carré ou le logarithme du poids. Ce carré ou ce logarithme deviendrait alors la grandeur mesurée. Le postulatum admis dans un cas devient donc impossible dans les autres.
La seconde supposition indispensable à la démonstration, la possibilité d'exprimer la probabilité d'une erreur en fonction de cette erreur seulement, implique également contradiction. Une grandeur étant égale à X, on lui trouve, en la mesurant, la valeur ^, ; l'erreur est X — ^,. L'erreur sur le carré est X^ — x'f. Si l'on pose
X — Xi = z, on aura
la probabilité d'une erreurs étant cp (s), celle de l'erreur 2^, s -h z^ sur le carré sera aussi 'f (2). Elle n'est pas une fonction de l'erreur commise.
L'importance du résultat justifie l'étude et la discussion niit)utieuses des détails. Nous résoudrons encore le problème suivant :
Si Gauss avait adopté, au lieu de la moyenne, un autre mode de combinaison des mesures, quelle loi des erreurs en aurait-il déduite?
En supposant que
représente la valeur la plus probable d'une grandeur dont les valeurs successivement obtenues sont x, , X2, • . -, J^«, quelle est la loi correspondante pour la probabilité des erreurs?
En général, nous allons le démontrer, il n'existe pas de loi, exprimant la probabilité d'une erreur A en fonction de A, qui
ciiAP. v/ii. — LOI DES Kiuuans d'observation. 17-7
puisse justifier l'adoption de la fonction cp. Le problème ne peut être résolu que pour certaines formes très particulières.
En désignant par z la valeur de la grandeur mesurée et par ■l(à} la fonction de A à laquelle est proportionnelle la probabilité d'une erreur A, la valeur la plus probable z doit rendre maximum le produit
'^(^ — 3ri)'h(z-Xi)...'l(z~Xn).
La dérivée par rapport à ^ de ce produit doit être nulle et, si l'on pose
on doit avf)ir (8) F,
■xi)-^F{z — x,)-^...-i-F{z — x„)
Z étant lié k x,, x-,, . . ., x^ pur la relation
z = o(Xi, X2, . . ., Xn).
Pour que l'équation (8) puisse être satisfaite par une fonction F,
il faut que les valeurs z — x^^z — x. z ~ x„ de h variable,
auxquelles correspondent les valeurs de la fonction dont la somme doit être nulle, ne soient pas indépen lantes les unes des autres.
Les n fonctions de n variables
O — Xi, 0—3^2, ..., (f> — X,i
doivent être liées par une relation. Il faut et il suffit, pour cela, que leur déterminant fonctionnel soit nul.
On doit avoir
do
do
dxi
dxi
do
dxi
dx, '
di
do
dx„
dx,.
dx\
ce qui donne l'équation linéaire
do do dxi dx-i
c/cp dxx
do dx-i
dXn
d^ dxii
ji-8 CALCUL DES PROBABILITES.
dont l'intégrale est
(g) cp = — + F(a?2— ^1, «"s— ^1' . . ., a7«— a"i).
Telle est la seule forme possible de la fonction cp, pour laquelle la recherche, telle qu'on l'a faite, puisse donner une loi de probabilité.
La forme obtenue pour cp peut se définir simplement. La fonction C3 est telle qu'en donnant à toutes les mesures prises un même accroissement a, elle augmente elle-même de a. Cette condition est nécessaire et suffisante pour que la fonction ait la forme (9).
Si l'on prenait
\ (f(Xi, Xi, . . ., Xn) = \l 0C\ + X\ (10)
f C?(Ti, 37-2, . . ., Xn) = V ^7,, X-,, . . ., X„,
la condition ne serait pas remplie.
Aucune loi de probabilité des erreurs, en fonction de V erreur commise, ne peut donc justifier l'adoption des formules (lo).
14-0. Malgré les objections précédentes, la formule de Gauss doit être adoptée. L'observation la confirme : cela doit suffire dans les applications. Les conséquences minutieusement étudiées se sont toujours trouvées d'accord avec les faits. Il est bien entendu que les erreurs constantes sont en dehors des formules; chaque observateur doit étudier son instrument et sa méthode pour les écarter. La moyenne, évidemment, ne peut donner que la mesure entachée de l'erreur systématique inhérente à l'instrument. Si l'on pèse avec de faux poids, si les fils de la lunette sont mal placés, les moyennes ne pourront pas faire les corrections; c'est à la grandeur mesurée accrue de l'erreur constante que se rapportent alors les formules. |
146. Disons d'abord comment la vérification de la formule a été faite.
Bessel, le premier, a fait la comparaison des erreurs commises dans de nombreuses observations avec les conséquences de la formule de Gauss.
CIIAP. VIII. — LOI DES ERlUa-RS D'OBSEFt NATION.
Le théorème de Bernoulli permet d'affirmer (|iie, dans une série luffisamment nombreuse, si Ton partage les erreurs en groupes Sien définis, chaque groupe se présenlcra un nombre de fois à peu îrès proportionnel à sa probabilité.
Bessel a étudié quatre cenis observations de Bradley portant sur les coordonnées, parfaitement connues aujourd'hui, d'une même étoile. Les erreurs ont été classées par ordre de grandeur; on a compté le nombre de celles cpii sont inférieures à o",4 en valeur absolue, le nombre de celles qui sont comprises entre o",4 et o",8, et(;.
On a eomparé ces différents nombres avec le Tableau des nombres probables de cha(|ue groupe d'erreurs, d'après la loi de probabilité admise
Le calcul exige la connaissance de la constante /•. Les méthodes |)Our la calculer sont nombreuses; leur accord numérique est une des meilleures vérifications de la théorie.
Nous reviendrons sur cette importante question. Bornons-nous à faire remarquer en ce moment que chacun des calculs qui vont donner, en fonction de k supposé connu, le nombre probable des erreurs d'un certain groupe, suffit, par la condition d'égaler le résultat du calcul à celui de l'expérience, pour fournir une valeur de k. Si l'on n'avait qu'un groupe, la détermination de la constante par la condition de satisfaire à l'égalité qu'on veut vérifier formerait un cercle vicieux. Mais les égalités sont nombreuses. Chacune j<i'elles déterminera une valeur de k; on adoptera la moyenne et les vérifications ultérieures auront toute leur valeur.
Nous aurons d'ailleurs à revenir sur ce problème très im|)ortant de la détermination de k.
La probabilité d'une erreur comprise entre c et ; H- dz étant
- e-^'=-^ dz,
celle d'une erreur plus petite que a, en valeur absolue, sera
' dl = fe)(7,a).
CALCUL DES PROBABILITES.
Celte formule donnera la probabilité pour qu'une erreur soit comprise entre o et a, entre o et aa, o et 3a, etc. La différence de deux termes consécutifs sera la probabilité pour qu'elle soit comprise entre deux multiples.
147. Le Tableau suivant a été formé par M. Nikolaus Wuicli, professeur à l'École d'Artillerie de Vienne.
Les erreurs sont évaluées dans la première colonne par leur rapport à V erreur probable, c'est-à-dire à celle qu'il y a probabiMté ~ de surpasser ou de ne pas surpasser. La moitié des erreurs sur un grand nombre de mesures doivent être par définition, pour ainsi dire, plus grandes, l'autre moitié plus petites que l'erreur probable. On voit en elïet dans le Tableau, en regard de i , le nombre oooo indiquant que la moitié des erreurs sont inférieures à i. On lit en regard de 2, 8227; sur loooo erreurs, par conséquent, il y en a 8227 plus petites que le double de l'erreur probable; 9070, d'après le Tableau, sont plus petites que le triple, 9980 que le quadrup'e et 9993 que le quintuple.
Sur loooo observations, nombre probable des erreurs plus petites que mli^ h étant l'erreur probable :
Nombi'c
Nombre
Nombre
Nombre
sur 10000.
sur 10000.
sur 10000.
sur lOUOO
CIIAP. Vlll. — LOI DES ERREURS D OBSERVATION.
Nombre
Nombre
Nombre
Nombre
sur 10000.
sur 10000.
sur 10000.
sur 10000.
5ooo
Si 38
Si 8)
. 4io5
99 iJ
CALCUL i)i:s i>i!OBABiLrri:s.
La valeur de k est inversement proportionnelle à l'erreur probable. Si l'on a posé, en effet,
lin' . /^^'^
on trouvera
et, par conséquent, À désignant l'erreur probable, la valeur cor respondanle de k est
148. Bessel a trouvé par la discussion des 470 observations de Bradley, en réduisant les nombres par une proportion à rhjj)oihèse de 100 observations seulement, les nombres suivants pour les erreurs variant de o",4 '•
Déclinaison d'une étoile, k = o", 43539.
-Nombre Ki'fcurs. des erreurs. Nombre calculé,
L'élude des observations d'ascension droite de la même étoile a
CHAI'. VIII. — LOI DES KRIŒLUS DOBSEUVATION. l83
donné :
Nombre Erreurs. des erreurs. Nombre calculé.
Genl. déterminations de Fascension droite de l'étoile polaire faites à l'observatoiie de Konigsberg, de 181 3 à 181 5, ont donné :
Nombre Erreurs. des erreurs. Nombre calculé.
II i3,7
149. .Nous devons dire maintenant comment on détermine le paramrlre A".
Deux cas peuvent se présenter : si les mesures ont porté sur une grandeur exactement mesurée avant ou après les observations qu'on discute, toutes les erreurs sont connues avec certitude. Si,
l84 CALCUL DES PROBABILITÉS.
au coniraire, les mesures ont été prises sur une grandeur qui n'est j connue que par elles, les erreurs sont inccriaines comme la grandeur elle-même; el, en donnant ce nom ô." erreur à la différence entre chaque valeur observée et la moyenne, on ne peut avoir qu'une évaluation viaisemblable et approchée.
jNous Iraiterons d'abord le premier cas, auquel se ramène le second.
I^a délerniination approchée de k peut se faire d'un grand nombre de manières. Il suffit, eu effet, de calculer la valeur probable d'une fonction quelconque de l'erreur commise dans une observation. La moyenne des valeurs de celte fonction, dans une série suffisamment nombreuse, en vertu du théorème de BeruouUi, différera peu de la valeur probable. En les égalant, on obtiendra la valeur de k.
On peut ainsi déduire la valeur approchée de k de la valeur probable de l'erreur prise en valeur absolue, du carré de l'erreur, du cube et, en général, d'une puissance quelconque de l'erreur.
La probabilité d'une erreur z étant
la valeur probable de z^ considéré comme essentiellement positif, est
\Jt. Jq k /tt
La valeur probable de z^ est
ik r
celles de z"^ et de ^'',
— / e-'^^-^z^dz — — ;
V t: c/q k^ Jt.
s/ T. Jq k^ ^1
^izJ^ ^k^
En admettant que, sur un grand nombre d'épreuves, la moyenne des valeurs d'une grandeur diffère peu de la valeur probable, en
CHAP. Mil. — LOI DES ERREURS d'oRSERVATIO.N. 1 85
nommant <?,, 62-, •••, 6,1 le^» erreurs siiccessiveinenl commises dans n observations, on pourra écrire
e\—el^.
.^el
■ik-^'
/-Vï
.-+- ej',
Si
iA^
loO. Chacune de ces équations donne une valeur de k; elles doivent s'accorder et s'accordent, en effet, dans les a|)[)lications, d'une manière très satisfaisante. On en déduit ces relations remarquables. S), Sa, S3, S4 désignant la somme des erreurs, prises en viileur absolue, la somme des carrés, la somme des cubes, la somme des quatrièmes puissances, on doit avoir approximativement
Ces formules singulières, dont le premier membre est fourni par le hasard, méritent tant de confiance qu'un calculateur à qui des observations sont remises et qui trouve ces égalités en défaut j)ent tenir pour certain qu'on a relouché et altéré les résultais immédiats de l'expérience.
151. Il importe d'évaluer la confiance méritée j)ar les valeurs de la constante k que nous venons d'obtenir. Cette appréciation
l86 CALCUL DES PROBABILITÉS.
consistera dans le calcul de la valeur probable de l'erreur commise en adoptant une des équations précédentes. Lorsque nous écrivons, par exemple,
, , ei-h eo-l-- ..-4- e„ I
l'équation n'est pas rigoureuse. Nous savons que, pour de grandes valeurs de /i, la moyenne des erreurs diffère peu de -, qui est
la valeur |)robable. Quel que soit /i, une grande différence est /?05sible, cela est évident; mais elle est peu probable.
Nous aurons une appréciation de la confiance méritée par l'équation (i i) en cherchant la valeur probable de
On comprend la nécessité d'élever l'expression au carré. Elle peut être posilive ou négative : sa valeur probable est nulle, cela ne prouve nullement la précision des mesures; les grandes valeurs peuvent être détruites dans la somme par des termes de signes contraires.
On a
La valeur probable de chacun des termes du second membre est connue.
Le carré d'une erreur e." a pour valeur probable — ,— ; l'erreur e^-,
qui est prise ici en valeur absolue, a pour valeur probable »
ct le produit e,e/' de deux erreurs a, par conséquent (48), pour valeur probable — r^- La valeur probable de l'expression (12) se réduit, en avant égard au nombre des termes de chaque somme, à
elle tend vers zéro lorsque n augmente.
CHAP. Mil. — LOI DKS CKUKLUS d'oBSERVATIOX.
lo!2. Cherchons la valeur probable de
/el^el-^-...-hef, i Y
celle valeur étant calculée, bien entendu, de même que la précédente, avant les 0|)érations faites et sans qu'on puisse prévoir ni présumer quelles sont les plus grandes erreurs. L'expression (i3) peut s'écrire
La valeur probable s'obtiendra en rem[)laçant e^', quel (|ue soit ?,
par sa valeur probable —j^, e'j e'-- par — rr et e'j par —r-- On a ainsi ' !\k* ^ 1^ ^ \k* ' ' •2/1-
pour valeur probable de (12)
3 n.n — Il I I I
'\nk* n- f^k'* xk* 4 A» -'.nk^
L'iâ. On peut se demander quelle est, entre ces deux évaluations d'erreur à craindre, celle qui justifie le mieux la formule coriespondanle.
Il ne laul n;is se borner à comparer les résultats j- i i '-]
^ i/ik- \ -/
et -^^yr pour donner l'avantage au |)lus |)etit. En admettant que
ces expressions donnent une appréciation de l'erreur à craindre, ces erreurs ne portent pas sur la même inconnue. La première est commise dans l'évaluation de — —; l'autre, dans celle de — ,-• Ce
qu il faut assurer évidemment, c'est la |)etilesse de l'erreur commise sur k. Soit y celte erreur, l'erreur sur y sera — 71 J% et sur T^ elle sera, en négligeant bien entendu y-^ — Ti}"'^ ^e carré de l'erreur commise sur — — est donc — jrV-, et le carré de l'erreur
commise sur —p- est ,- r-.
Les résultats obtenus doivent donc s'énoncer de la manière suivante :
La valeur probable de —rrV'- est — j- ( i — -' ); ■, . . Tzk*'^ iiik- \ T. I
CALCLL DES PROBAIULITES.
La valeur piobable de t; y- est — r--
Par conséquent, en adoplant la première formule, celle qui déduit A* de la moyenne des erreurs, la valeur probable de y'^ est
et, en adoplant la seconde, c'esl-à-dire en déduisant k de la moyenne des carrés des erreurs, la valeur probable de y- est
•xn La seconde formule doit être préférée.
153. Les formules })récédentes peuvent être remplacées par d'autres qui donnent une plus grande chance d'exactitude. JNous résoudrons d'abord le problème suivant : Déterminer la valeur de )> qui rend minima la valeur probable de
(ri) Q x£-ilf^^tl^l±^)^
Cette expression peut s'écrire
En remplaçant les erreurs e, et leurs carrés par les valeurs probables, on a, pour valeur probable de (i5),
i a )- X' )^(ii — \) I
k- k'^^ïi xk-ii n k^Ti
OU
Le minimum correspond à
Il convient donc, pour diminuer les chances d'erreur, de rem-
CHAP. Mil. — LOI DES ERREURS DOBSERVATIOX. 189
placer la formule
par
•irt
loi. Nous déterminerons le facteur À par la condition que la valeur probable de l'expression
soit la plus petite possible.
Cette expression peut s'écrire
k* nk- II- n-
En faisant le calcul comme au n" 133, on trouve [)Our valeur probable de cette expression
A'» k* nk* \ 2 4
Le minimum correspond à
I II \ n -{- •>.
On diminuera donc la valeur probable du carré de l'erreur à craindre, en substituant à la formule
j -J-jel — ej -4-. . .-4- ep k^ " Il
la formule, probablement plus exacte,
1 9.(ef -+- e| -4-. . .4- e,i;
igo CALCUL DES PROBABILITES.
15o. Les déterminations de ]a valeur approeliée de k sont en nombre infini.
On peut poser le problème d'une manière différente.
Les observations sont faites, on connaît les erreurs, quelle est la valeur la plus probable de k, la valeur probable de k et celle de/»-?
On sait que la valeur la plus probable n'est pas la valeur probable et que la valeur probable du caiié n'est nullement è^ale au carré de la valeur probable.
Soient e,, e^, ..., e,i les erreurs successivement commises, k la valeur inconnue du paramètre caractéristifjue de la série d'observations.
L'événement observe étant l'arrivée successive de a erreurs e,, eo, ••-, <?//i la probabilité de cet événement était, avant l'épreuve, proportionnelle au produit
des probabilités simples.
r^a valeur de k la plus probable est celle qui rend ce produit maximum.
Le maximum correspond à celui du logarithme
nlk — k'^{e\-\- e'I-^ . . .-h ej, ), c'est-à-dire à la valeur de k qui annule la dérivée
I c\ -\- e'I -T- . . . -+- e}, ik'^ n
C'est une des formules déjà obtenues.
A.U lieu de la valeur la plus probable de k, on peut chercher la valeur probable, qui doit, en général, être préférée; la valeur probable est l'espérance mathématique de celui qui, après les mesures prises, attendrait une somme égale à k.
La probabilité d'une valeur de k est proportionnelle à
En désignant la somme des carrés des erreurs par So, on peut
CHAP. VIII. — LOI DES EKREUKS d'oBSEKVATION. 19 1
la représenter par
On déterminera G par la condition
qui exprime (]ue la probabilité pour que k soit compris entre o et 00 est égale à l'unité. On a
r" A-" e-^^s^ dk = par conséquent,
■iS.,-
La probabilité d'une valeur A du paramètre est
^-/ig-S,A-\
La valeur probable de k est la somme des produits obtenus en multipliant chaque valeur de A- par la probabilité qui lui correspond
"-±1 ^ lY--')
J£2 / ^.,,+1 ^-sM dk = '- -7^T-T '
lui se réduit à
iâ-^}
Si l'on suppose n très grand, en remplaçant la fonction r(^) par sa valeur approchée
on trouvera
W-Ci
- peut, Il étant très grand, être remplacé par l'unité
et, en sa|)priinant le l'acteur coninuin e " ^, on peut écrire
Le produit e "(i 4- j~-;) a pour limite l'unité, et l'on voit aisément que, pour de grandes valeurs de «, le rapport
a pour limite — ^•
La formule nouvelle est donc d'accord avec celles qui donnent
2 /i 2 li -i- -2 '
lorsque n devient très grand.
lo6. La loi de probabilité étant admise, on peut chercher à l'avance la probabilité d'une combinaison quelconque des résultats des mesures. La valeur moyenne de la quantité calculée, si le nombre des mesures devient grand, différera peu de sa valeur probable. ^
Nous résoudrons quelques problèmes dont les solutions, remarquables par leur simplicité, permettent d'élégantes vérifications.
Si, après avoir fait un grand nombre d'observations, on les groupe deux par deux en cliargeant le hasard de les associer, et
CIIAP. VIII. — LOI DES KHRELRS I) OBSKKV A TlOX. I()3
([lie, diins clK..|iie i^roiipe, on choisisse la plus giamle des deux erreurs, la valeur |)robable de celle erreur peut se calculer : elle est le produit |)ai- y/a de la valeur probable d'une erreur prise au hasard. La probabililé pour (pie, sur deux erreurs prises au hasard, ■'une soit comprise entre 5 el ^ -+- d:- et l'autre plus petite que :;
'^e-^^'^^dz f-^e «^-dz.
Le premier l'acteur est, en efTet, la probal)llilé |)our (pie l'erreur, positive ou négative, soii com|)rise entre ^ et ^5 + ^/3; le second, la probabilité pour (pie la seconde erreur soit |)bis petite que z. On multiplie par a, parce que l'une ou l'autre des erreurs cherchées peut être la plus grande et égale à :;.
La valeur probable de :; s'obtiendra en inultiplla iit la probabililé par ; et iaisant la somme [)Our toutes les valeurs de ;
En intégrant par parties et remarquant (pie le Ioiiik; intégré dispaïaîl aux deux limiles, cette expression devient
/ e--''-dz= - — :
v/tt./o A^/^.
c'est le produit par y/a de la valeur [)robable d'une erreur.
La valeur probable d'une grandeur (pielconque diirérant peu, sur un grand nombre d'épreuves, de la mojenne ariihim'tique des valeurs fournies |)ar le hasard, l'application de ce théorème à une série de mesures d'une grandeur connue donnera et a donné à plusieurs re|)rises une vérliication des formules.
io7. Le théorème précédent, remarqué expérimentalement par AL le commandant D(daunej, peut s'obtenir plus direclement.
Soient X, et Xo deux mesures prises successivement,
peut être considéré comme une mesure.
En nommant e, et 6-2 les erreurs commises sur e^ et e^, le carré B. i3
1C)4 CALCL'L DES l'ROB ARII.ITES.
de l'erreur sur celte mesure nouvelle sera
e'i -+- es -t- 2^1 <?9 ('9) - -
La valeur probable de GiC, est nulle, puisque les valeurs positives de <?) et de e^ ont même probabilité que les valeurs négatives. La valeur probable de (19) est donc
c'est précisément la valeur probable du carré de l'erreur pour un système de mesures dans lequel le paramètre caractéristique k serait remplacé par A'\/2.
La valeur nrohable de l'erreur commise sui' - — '-^— est donc
Mais cette erreur peut être la somme ou la diftérence des
deux erreurs commises sur Xt et X2 '• la somme, si ces erreurs sont de même signe; la diflerence, si elles sont de signes contraires. Les deux suppositions ont chacune pour probabilité |; on a donc, en nommant G et P la valeur probable de la plus grande et celle de la plus pclilc des deux.
c'est-à-dire
On a aussi
par conséquent,
