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158. On peut, en chargeant le hasard de grouper les erreurs deux à deux comme dans le calcul précédent, calculer la valeur probable du carré de la plus grande,.
L'expression de cette valeur, obtenue par un raisonueroent tout
CIIAP. VIU. — LOI DES KURKl US DOBSKUVATION'. \(.)1
semblable, est
En inlégranl par parties, faisant porter l'intégration sur ze"'''^' dz et remarquant que le terme inlégrë disparaît aux limites, celte expression devient
e~'''''' dz étant la différentielle de l'intégrale par laquelle il est niiilliplié dans le premier terme. On a
on a aussi
et la valeur probable du carré de la {)liis grande erreur est
lo9. On peut grouper les erreurs trois par trois, en chargeant le hasard de les associer, et chercher la valeur probable du carré de la plus grande des trois.
Un raisonnement identicpie aux précédents donne pour cette valeur probable
^ Hz^e-'^^^^dzf Te-'^^^^dzY.
Intégrons par parties, en faisant porter l'intégration sur ze~''^^^ dz; en posant, pour simplifier l'écriture,
et n'écrivant pas le terme intégré, qui s'annule aux deux limites.
nous aurons
CALCUL DES PHUllAUlLITEP.
mais on a
m(zy'
f^e-''''-'-Tn(z)^dz =
/ zTl^(z)w'{z)e-'^"-'"dz= / e-2^"-^-^ra(ô)= / — -p- to ( :;
)dz
•î/rV'î
La siihsiiliilion de ces résultais dans l'expression (20) donne, pour la valeur probable cberchée,
160. Dans I ou les les formules précédentes, que les observations soient faites ou projetées seulement, ce sont les erreurs véritables qui sont introduites.
Il arrivera très souvent (dans l'immense majorité des cas, on peut le dire) que, la grandeur étant déterminée par les observalions seulement, les erreurs, évaluées par la différence de cba(|ue mesure avec la moyenne, différeront des erreurs véritables (pii restent inconnues.
En remplaçant l'erreur véritable par l'erreur présumée, on obtiendra une valeur approchée de la constante /r. On a proposé, d.ms ce cas, des règles de correctioti fort simples, dont la démonstration, malheureusement, peut laisser des doutes.
Le |)r(jblème est celui-ci :
.r,, a?o, ..., x,i étant les mesures successivement prises d'une grandeur X, si l'on adopte la valeur
Xi -T- T-i -t- . . . -i- X II \ = j
l'erreur probable est d'autant moindre que 11 est plus grand,
CHAP. Mil. — LOI DES ERBKLRS DOBSKBVVTION. I<)7
pourvu que l'on ail pu, comme nous le supposons loujotirs dans ce Cliapilre, écarter les erreurs conslanles.
La formule
(•ir)
■ik^
sera remplacée par
Celle valeur de -^r ii'<^'sl pas, ie n'ose pas dire exacte (il ne faul espérer dans aucun cas qu'elle le soit), mais conforme à la formule qu'on voudrail ap|)liquer.
La formule (22) donnera -^-r toujours plus pelil que -j-, déduit de (21). La correction la plus plausible consiste, nous allons le montrer, à multiplier la formule (22) par —3-: <'e qui, lorsque n est iiiand. en changera très peu la valeur.
L'expression (22) proposé(; pour représenter ;-p peut être transformée par l'introfluclion de l'erreur E commise en adoptant la movenne X. pour valeur de la oraiuleur mesiir(''e.
Les différences X — .r,, X — .37,, ..., X — .r,, soni rigoureusement ('gales aux différences E — <?i , E — ('■2-, . . . , E — e„, et la lormule (22) peut s'écrire
( E — g, )^ -f- ( E — go )^ -r- ■ . . -I- ( K — g ■■ '- ^
n identique à
mais E, étant l'erreur commise sur la moyenne, est égale à la moyenne des erreurs, et la somme e, + e^ +. . .+ e« est égale à /îE; l'expression (22) se réduit donc à
1 el^el^...-hef,
