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Le premier terme re|)résenle la valeur de -^ telle que la foi-

ig8 CAI.CIL DKS l>lU)li ABILITES.

mule (21) doit la donnei-. (!i(!lle valeur est diminuée de M-; par conséquent, k] est plus giand que/:-, et la substitution des erreurs présumées aux erreurs véritables, en accroissant la valeur df,' /»-, conduit à attribuer aux observalions une précision plus grande qu'il ne faut.

On a exactement

par conséquent,

(.5) E^^''^'^-^:--^''^2.^e^er.

Les erreurs e/, ei sont les unes [)ositives, les autres négatives, et, les mesures n'exposant, c'est l'iijpothèse, à aucune erreur constante, la valeur probable du produit <?/e,' est nulle. On se permet pour cette raison de supprimer le second ternie de la (ormule (ao). Jl |)eut en résulter une erreur notable; une grandeur dont la valeur probable est petite est certainement petite elle-même, quand elle est essentiellement positive; mais, (piand elle peut, comme ici, changer de signe, la valeur probable étant nulle, cela prouve seulement que les valeurs positives ont même probal)ilité que les négatives. Elles peuvent être fort grandes. Quoi qu'il en soit, les observateurs, sur le conseil et à l'exemple

de Gauss, suppriment le second terme de {'>.'^^) et — ^ devient

•xk\ ik-^ ■i.nk'^ ik^

on conseille, en conséquence, pour calculer —p^, de diviser la

somme des carrés des erreurs présumées par n — i et non par n, dénominateur prescrit pour la sonnne des carrés des erreurs réelles.

I6J. La formule précédente prend, dans un cas plus général, une forme différente, très élégante et très souvent appliquée.

Soient X,, Xo, ..., X^, p grandeurs de même espèce mesurées par les mêmes |)rocédés, avec le même instrument et les mêmes chances d'erreur. Chaque mesure a été rej^roduite pkisieurs fois :

CIIAP. VIII. — LOI DliS KRlUil KS d'oBSEUVATION. 199

la première, /?, fois; la deuxième, n.^ ibis, . . . ; la dernière, Hp Ibis, les erreurs successivemenl commises étante',, e^, ..., e'„ pour la première mesure; e% e\, ..., e"^ pour la deuxième-, éP\ ef\ .. ., c^r P^i'ï" 'a dernière. La formule (21), évidemment applicable, donnera

I ^ V + ef ^ • • • ^ ««' + «? -^ '^"■i +•••-+- <?«! + • . • + «"T' + •• -^'"jl

Supposons (|ue, les valeurs véritables des grandeurs mesurées restant inconnues, on remplace chacune d'elles par la moyenne des résultats obtenus en la mesurant. Si E^'^ est l'erreur ainsi commise sur l'une d'elles, les erreurs apparentes seront

et la substitution de ces erreurs apparentes aux erreurs véritables remplacera, comme on l'a vu (160), la formule (26) par

Mais e' e!,, .., e', étant les erreurs commises dans la mesure d'une même grandeur et le paramètre de précision étant A", on a approximativement

La même réduction peut se faire pour les fractions relatives aux autres grandeurs, et la formule (27) devient

N désignant le nombre total /«, + /i2 +• • •+ '*/; <^'es mesures prises.

La formule conseillée dans ce cas est, d'après cela,

^Of' CALCUL DES PROU A HILITKS.

^C^i — ^i)- étanl la somme des carrés de lotUes les erreurs pj'ésiimées et N — p l'excès du nombre lotal des mesures sur le nombre des grandeurs niesiir(>es.

Si les erreurs réellemenl commises étaient connues, il faudrait diviser la somme de leurs carrés par N et non j^ai- N — yo.

La démonstration suppose, malheureusement, que Ton puisse regarder comme nulle la somme des produits des erreurs considérées deux à deux.

162. j.es erreurs e,, e-i, ..., e„ étant appioximativement connues dans chaque application de la méthode, on pourra, dans chaque cas, vérifier a])pro\imativement aussi l'exactitude de l'hypothèse faile en sup|)rimant le terme Se^e/'.

Cette vérification, si ji est grand, entraînerait, il est vrai, des calculs hors de proportion avec l'importance du résultat.

Il est digne de remarque que, dans l'expression

dont les termes, les uns positifs, les autres négatifs, ont tous, a priori, si on les considère isolément, même valeur probable, le nombre des termes négatifs doit, le plus souvent, l'emporter sur celui des termes positifs.

Soit 2[j. le nombre des épreuves. Le cas le plus probable est celui où, parmi les erreurs, il s'en trouverait ijl positives et fx négatives; le nombre des produits C/C/- dont le signe est négatif se trouve alors égal à \j.- et le nombre des produits positifs est p.(u — i). La diflerence est p.. C'est une raison, dans ce cas, si I on ne sait rien de plus, pour présumer que cette somme arbitrairement négligée sera négative.

Si l'on nomme [j. — a le nombre des erreurs positives et a + a celui des erreurs négatives, le nombre des produits e/e,- obtenus en multipliant une erreur positive par une erreur négative sera

celui des produits positifs est

- ( ;a -I- a ) ( [j. -f- a — I) -f- - ( jJL — a) ( jj. — a — i) = u^ -+- a^ — a.

CIIAP. VIII. — LOI DES ERRKLItS DOB^KKVATION. 'iOl

Le nombre des prodiiils négatifs sera le plus grand, si l'on a

a- < tji — a-,

La probabilité pour qu'une erreur soil positive est !^; par consé- (pienl, la probabilité pour que, sur i^x erreurs prises au liasard, Vécai't, dillerence entre le nombre des erreurs positives et le

nombre le plus probable pi, soit plus petit que 1 /^ est (60)

dt = 0.68.

La probabilité pour que le nombre des produits négatifs l'emporte sur celui des produits positifs est donc plus grande que |.