La formule
caractérise la précision d'un système de mesures dans lesquelles une grandeur a été successivement liouvée égale à x^^ x-j, .... x,^. On peut lui donner une forme plus élégante et j)lus commode. Xi et Xi' étant deux quelconques de n mesures, l'expression est identiquement égale à
—;I.{CPi— X,
Les deux formules (28) et (29) sont composées des mêmes termes.
On a, identiquement aussi,
— \{Xi — xry-= -! -~
La valeur de — r- est donc donnée par la dififérence entre la moyenne des carrés des mesures prises et le carré de leur moyenne. Si toutes les mesures sont égales, l'expression se léduit à zéro. La précision doit être supposée infinie.
202 OAIXIL DKS PHOBABILITÉS.
164. Lorsqu'on a pris plusieurs mesures d'une même grandeur, calculé la moyenne, déterminé la valeur de la conslaiiie spécifique A-, cette constante est souvent nommée la précision et k- le poids de chaque observation.
Il importe d'expliquer ces locutions.
La précision d'une mesure est dite a fois plus grande que celle d'une autre mesure, lorsque la probabilité d'une erreur comprise entre z et z -^ dz pour une mesure du premier systènte est la même que celle d'une erreur comprise entre 7.z et (f.{z + dz) pour le second. Si, par exemple, les erreurs commises sur les minutes, en mesurant un angle, ont mêmes probabilités (pie les erreurs sur les secondes commises en se servant d'un aulre instrument, la précision du second système de mesures est dite 60 fois plus grande que celle du premier.
Le poids d'une observation est dit ''^ fois plus grand que celui d'une autre observation, lors(pie les conséquences que l'on peut déduire sur la valeur de la grandeur mesurée par une observation du premier sjslème équivalent à celles que l'on peut déduire de [3 observations du second système donnant toutes le même résultat.
Si [3 n'est pas entier et qu'il soit égal à une fraction —, il faudra
que m observations concordantes du premier système puissent être remplacées par n observations identiques du second.
Le système d'observations qui donne à l'erreur z une probabilité proportionnelle à
aura k pour précision et A- pour poids, si l'on prend pour unités la précision et le poids d'une observation d'un système dans lequel la probabilité d'une erreur z serait proportionnelle à e~'^\
La probabilité d'une erreur comprise entre ^ et ; -f- dz étant, en effet, supposée égale à
en remplaçant z par kz, la probabilité d'une erreur comprise entre
CHAP. VIII. — LOI DES ERREURS d'OBSERVATIOX. 2oi
kz et kz + k clz sera
c'est précisément celle d'une erreur comprise entre z et z -^ dz dans le premier système.
Si l'on suppose /i-= —, la probabilité d'une erreur z étant proportionnelle à
celle de m erreurs éf^ales à ::, commises dans m observations successives, sera proportionnelle à
La probabilité de n erreurs égales à s, commises dans n observations successives faites dans le second S3'slème de mesures, sera proportionnelle à
Les probabilités des deux systèmes d'erreurs sont donc proportionnelles et par conséquent égales pour toutes valeurs de z^ si
l'on a
nk- = m ; par conséquent,
n Le poids du premier système d'observations, celui du second étant pris pour unité, est donc égal à — > c'est-à-dire a /.-.
16o. Il est intéressant de remarquer que, si la loi de probabilité n'avait pas une forme toute spéciale, les mol?, poids et précision, dont les pbysiciens font souvent usage, ne pourraient pas avoir de sens exact et précis.
Supposons deux systèmes d'observations. S(tient, dans le premier, 'f{z)dz la probabilité pour que l'erreur commise soit comprise entre :; et :; -h <i:; et à{z)dz la probabilité d'une même erreur dans le second système. Pour que le rapport des précisions
'■^^^ CALCLI, |)|.;s l'KOlUBILITKS.
soil h, Il faut et il suftiL que le rnp,),„i 2^ soit constant, et,
pour que Je rapport des poids d'une observation dans les deux systèmes soit égal à k, il faut que le rapport
soil constant.
Pour que le système caractérisé par la fonction cp(s) donne, par rapport à un autre système quel qu'il soit, caractérisé par 'l(z.), un poids déterminé et une précision définie, il faut que ie rapport
(i(hz)
soit indépendant de z.
Posons donc
oihz) = Go(zy^;
G étant indépendant de z, et déterminons les formes p..ssible. de la fonction 0(5).
On peut remplacer l'équation (3o) par
i^{hz) = IG-^ ld<:^{z)
et aussi, en prenant les dérivées, par
ho'(hz) __ /:cp'(^) o(/iz) ~ o{z) E'ii posant
la fonction F est définie par la condition
F(Az) = aF(3),
A représentant le rapport ^• Soit A = h\>-.
On aura
(30 F(hz) = hi'-F(z).
La fonction F est donc multipliée par hy- quand la variable est
CHAI'. VIII. — 1,01 DKS lillHKl lis DOItSICHVATION. 9,o5
multipliée par A. On aperroil la solution H étant une conslanle; on en dédiiil
-U.-l-l /cp(5) = H ^ ^C.
'^(:;) devant rester invariable quand on change z eu — :;, l'exposant u. + I doit être pair.
Le cas de a= i correspond à la loi de Gauss.
On a dans ce cas
Le poids A- est le carré de la précision A. l^'é(piatloii (^3 i) n'admet pas d'antres solutions; mais l;i démonstration, d'iillleurs facile, est sans intérêt pour le (Calcul des Prohahilllés.
16G. Entre plusieurs mesures d'un(> même j^randeur, celles qui s'écartent le plus de la nio\enne sont [)ri'sumée> avec raison, presque avec certitude, être moins bonnes (pie les autres : il semble naturel de les écarter.
La question est délicate. Les observateurs ne se permettent une telle suppression qu'après avoir reconnu une cause vraisemblable et intriiisè(|ue à rinférlnrlié de la mesure suspecte. On croirait manquer à la sincérité due en omeitant une mesure, d'ailleurs irréprochable, par cela seul qu'elle s'écarte du résultat présumé.
Il est inconteslable (|ue, si l'on est certain d'avoir opéré de la même manière et avec le même soin, toutes les observations ont le même dioit à exercer leur influence sur la inovenne adoptée. Mais, si l'on opérait toujours de la même manière, on obtiendrait toujours le même résultat.
L'assimilation des erreurs fortuites à des tirages au sort dans une urne composée de manière à donner à chacpie erreur la probabilité qui lui convient est une fiction, non une réalité. Si l'urne
706 CAIXUL UKS PUOBABIl.ITÉS.
existait et qu'elle fût composée avec une perfeclion infinie, s'il arrivait qu'une série de tirages faits dans les conditions normales démentissent l'ensemble des autres, il faudrait les conserver assurément. Mais, si celui (|ui tirait les boules vient déclarer qu'il a négligé de les agiter, peut-être aussi de plonger la main dans les parties inférieiu'cs ; s'il a pris et remis sa boule toujours à la surface, les tirages ainsi faits seront à rejeter. Ils le seront éga- 1 lement si, le tireur n'avouant pas sa négligence, on le soupçonne d'être peu soigneux; peut-être aussi, la question est délicate je le répète, si la seule raison de le soupçonner est l'écart observé (juand il a lire les boules.
Chercbons les conséquences de l'abandon des mesures présumées les inoins bonnes.
La question se pose de la manière suivante :
On a pris /i mesures d'une même grandeur; tout semble régulier, la movenne est obtenue; la constante caracléristic|ue /c, déduite d(; toutes les observations, a une valeur très grande; aucun indice n'éveille la défiance. On est en droit de regarder comme très pro- J bable la valeur de la moyenne; comme très probable aussi la valeur obtenue pour k. La probabilité d'une erreur z est regardée avec confiance comme égale à
Dans ces conditions, je calcule l'erreur À, telle que la probabilité pour qu'une erreur soit inférieure à "k ait une valeur p arbitrairement choisie. 11 suffit de résoudre l'équation
(32) p = -— e-''dt = *d{k\).
\ étant ainsi déterminé, je supprime parmi les n observations celles dont la dififérence avec la moyenne est plus grande que \\ il en restera np à peu près, dont une moitié environ sera plus grande, l'autre moitié plus petite que la moyenne. On recommencera les calculs en considérant ces observations comme les seules.
Supposons, pour justifier la hardiesse de ce parti, que, dans le
CUAP. MU. — 1.01 DKS KIIUKIIIS DOUSERVATIOX. 207
lahinalou'c où les mesures soiil prises, se trouve un surveilhinl (l'une rare habileté qui, sans obserxer lui-même, suive des jeux les observateurs, et qui, très au eouranl des méthodes, très instruit des détails relatifs à clnuiue instrument, des erreurs de division, des inégalités des pas de vis, des petites imperfeetions des poids, de l'inrtuenee de la température, etc., déclare, après eha(|ue mesure, son opinion en un seid mol : bien ou mal.
Personne ne contestera que, si ce surveillant est, comme nous l'avons supposé, très habile, la su[q)ression des mesures qu'il a condamnées accroîtrait d'autant plus la confiance qu'il en aurait écarté davantage.
Quoi qu'il en soit, acceptant le principe, nous renq)lacerons les observations X,, a?2, •••, ^« P^^'J^i» Ja, • • • > ^'//o ^« différant peu de np. Si ces m observations sont données à un calculateur soigneux, il n'aura pas besoin d'en connaître l'origine pour les déclarer suspectes. Le rapport de la mo venue du carré des erreurs
au carré de la moyenne pourra dilférer beaucoup de - (149).
Pour aucune valeur de A', les erreurs des observations maintenues ne s'accorderont avec la formule
v/tt
Le calculateur prévenu renoncera à la formule et prendra la
mosenne
JKl-^-.7^1l + •••-^-r/^^ m
pour représenter la grandeur inconnue.
Soient £,, £0, • "î ^/i 'es erreurs successives. La valeur du carré de l'erreur commise sur la movenne sera
/£i-h£.,-F-.. .-f- £/»y £f H- £| -^. . ■-^- sj„ ^ ;i5ii!i'.
Négligeons e«e,', dont la valeur probable est nulle. La valeur probable du carré de l'erreur moyenne s'obtiendra en d'yisant par m la moyenne
208 CALCUL I)i:S PROBABILITÉS.
peu ilidcrenle, 1res piobnhleinent, de la valem- probable du carré des erreurs maintenues.
Celle moyenne sera phis pelile évidemment f|u'avaut la suppression des observations rejelées; mais il faudra, pour obtenir le carré de l'erreur probable, la diviser par /;?, cl la fraction qu'elle remplace devait être divisée par n.
La valeur probable du carré z- d'une erreur plus petite que À est, lors(pie les autres ont été écartées,
Le nombre des erreurs ayant été jnultiplié par la fraction />, la probabilité de chacune d'elles, dans l'intervalle où elles sont commises, est divisée par/?. Le numérateur de la fraction qui représente la probabilité nsie le même, en effet, et le dénominateur, nombre des erreurs commises, est multiplié par p. En intégrant par parties, l'expression (33) devient
'ik^ '
c'est-à-dire, d'après l'équalion (32) (jui détinit À,
k-^p sjr.
En divisant par /??, égal approximativement à ///j, on a, pour représenter le carré de l'erreur à craindre,
I / ■ik\e->'^^i^^\
en posant, seton la notation habituelle,
^ / e-'"- fh = <d{t).
0(A-À) est, par déhnition, égal à /?, et la valeur probable du carré de l'erreur devient
1 nk
^{khy^
La fonclion
CHAP. vin. — LOI DES ERREURS d'oBSERVATION. 20O
ÏHtW
est nulle pour ^ = o; elle augmente avec t et devient égale à Tunité pour une valeur infinie de /.
Voici quelques-unes de ses valeurs :
Le multiplicateur de ^, évalué approximativement, peut diminuer sans limite. Ou ne doit pas oublier que, pour appliquer la formule, il faut que les observations conservées, de même que les observations faites, soient en grand nombre.
167. La loi de probabilité- des erreurs dont l'exactitude a été vérifiée expérimentalement en quelcpie sorte (14o) permet de prévoir, lorsque les épreuves sont nombreuses, tous les détails relatifs à la série des erreurs commises.
Nous donnerons un dernier exemple en cherchant la valeur probable de la plus petite des erreurs commises dans un grand nombre de mesures successives.
Soit z la plus petite des erreurs commises sur n mesures. La probabilité pour qu'une erreur désignée soit égale à z et soit la plus petite de toutes est
Le premier facteur exprime la probabilité pour que l'erreur
soit z\ le second, pour que toutes les autres soient plus grandes
CALCUL DES PROBABILITES.
que z. Chacune des n mesures pouvant produire celte erreur miniina, il faut multiplier l'expression parn; puis, pour avoir la valeur probable de l'erreur z dont elle représente la probabilité, il faut multiplier |)ar z et inté>;rer entre o et co.
La valeur- probable de la plus petite des n erreurs est donc
( 34 ) ^ r " -^ ^~'"'' dz(x-'-^ fe-''-'^-' dz] " ' .
Intégrons par parties, en faisant porter l'intégialion sur le facteur qui multiplie 2, dont l'intégrale est
et, en remarquant que le terme intégré est nul aux deux limites, l'expression (34) devient
Lorsque z est petit, — z / e' ''"' dz diffère peu de kz, et, lorsque
z cesse d'être petit, la j)uissance n placée sous le signe d'intégration est négligeable. On peut donc, en désignant par \ une valeur arbitraire de 2, remplacer (34') par
il — kz)" dz = ! rfi — (i — AÀV'+n.
n étant grand et X n'étant pas très petit, le second terme de la païen ihèse est négligeable, et la valeur probable approchée de la plus petite erreur est
168. Si l'on calcule par une méthode semblable la valeur probable de la seconde des erreurs classées par ordre de grandeui-, on la trouve double de la plus petite; la troisième est triple, et ainsi de suite, tant que les formules d'approximation sont applicables. Il peut sembler étrange que, en classant les erreurs par ordre de
CHAP. VIII. — LOI DES ERRKrilS D OBSERVATION. 211
grandeur absolue, la valeur probable de la seconde ne soit pas égale à celle de la première. TouL est symétrique, en eflTet, entre les erreurs positives et les erreurs négatives. Pour<|uoi la valeur probable de la plus petite erreur négative ditlére-t-elle de celle de Ja plus petite erreur positive?
Elle n'en dinére pas.
La singularité apparente provient d'une confusion qui s'établit «ntre la valeur piobable d'une grandeur et la valeur qu'il est probable de lui voir piendre.
Pierre et Paul doivent se partager un héritage. On sait que l'une des parts, on ignore laquelle, sera double de l'autre.
Les deux parts ont même valeur probable, égale pour chacune à la moitié de la somme totale.
La valeur probable de la plus grande part est double de la valeur probable de la plus petite.
