La valeur probable ; r de la plus petite erreur est
plus petite que la valeur pioi)able de l'erreur commise sur la moyenne.
La valeur probable du carié de l'erreur commise sur la moyenne
égale à la valeur probable de
e| -H e| -H. . .-i- ef,
est, en eflet
Le carré de l'erreur commise sur la moyenne étant de même
ordre que —, celle de l'erreur est de l'ordre -— > beaucoup plus
grande [):ir conséquent que la valeur probable des plus petites •erreurs.
On accroîtrait beaucoup la précision d'une mesure si l'on pouvait découvrir les évaluations les lueilleures et les adopter de prélérence à la moyenne générale; il en serait de même si l'on
212 CALCUL DES PROBABILITES.
pouvait prendre la moyenne des observations les meilleures. Elles sont malheureusement confondues avec les autres sans que rien les décèle avec certitude.
170. La règle acceptée comme poslulatum prescrit, entre plusieurs mesures d'une même grandeur, d'adopter la moyenne. Celte règle suppose deux hypothèses : la première, que nous avons faite conslammenl dans l'étude de la théorie des erreurs, est l'absence de toute erreur constante; la seconde, que toutes les observations méritent la même confiance et qu'elles aient été faites, par exemple, par le même observateur, suivant la même méthode, avec le même instrument.
Lorsque cette seconde condition n'est pas remplie, i,l faut a|)précier ces valeurs relatives.
Supposons que les constantes caractéristiques de chaque système de mesures soient connues : soient A,, A-^, ..., ku ces constantes, les poids des observations sont k]^ A'!;, .... A;;.
Supposons que l'on ait a, mesures prises dans le premier système, a.j dans le deuxième, ..., a„ dans le n'"''".
Ramenons toutes ces mesures à d'autres dont le poids soit l'unité et supposons cette unité choisie de telle sorte que A:,, k\^ ..., k'^^ S()i(Mit des nombres etitiers.
Chaque mesure de poids A? sera remplacée par le système équivalent de kj mesures avant chacune un poids égal à l'unité. Toutes les \aleurs mises en présence ayant ainsi même poids, il suffira de prendre la moyenne. a« désignant le nombre des mesures de poids A;, et ;r, la moyenne de ces mesures, on obtiendra ainsi la valeur
ai k] 37] -+- g.; /cl 3-2 -t- • . . + a,, k\ Xn
On peut énoncer ce résultat en disant que chaque mesure est. multipliée par le poids de l'observation correspondante et que la somme des produits est divisée par la somme des multiplicateurs.
Le poids de la valeur (35) est
aiAf H-ajA-l +. ..-1- a„A-2.
La moyenne entre plusieurs observations équivaut à une obser-
CHAP. VIII. — LOI DES ERREURS DOBSERVVTIOX. 2l3
valion unique avant pour poids la somme des poids des observa- (ions pariielles.
171. Il arrive quelquefois que, pour mesurer une grandeur, on la partage en plusieurs parties «,, a^, ...^a^; on mesure cliacune d'elles et l'on fait la somme.
Supposons que toutes ces mesures aient le même poids k"^.
Quel est le poids de la somme «, + «0 + . . .-f- «,^7
Soient £(. £0, ..., t,t les erreurs, inconnues bien entendu, commises sur chacune des mesures, l'erreur sur la somme est
on a
Glieichons la valeur probable des deux membres. Celle des produits tels que £,£;•' est nulle, puisque les erreurs |)osilives ont, par hypothèse, mêuie probabilité que les erreurs négatives.
Les valeurs probables des termes tels que {'■ sont égales (li8) à —j^^ et, par conséquent, puisqu'il j a /^ termes, la valeur j)robable du carré de l'erreur commise est
Si la probabilité d'une erreur z commise sur la somme était
re])résentée par
la valeur probable du carré d'une erreur serait
Si donc nous posons
>/ Il
k' est la |)récision d'une mesure qui donnerait au carré de l'erreur commise même valeur probable que la somme étudiée.
La confiance méritée par la moyenne de n mesures est inversement proportionnelle à \J n.
172. L'armée française, pendant l'expédition d'Egypte, voulut déterminer la hauteur de la pyramide de Chéops. Les assises successives, formant pour ainsi dire les 2o3 marches d'un gigantesque escalier par lequel on s'élève au sommet, furent mesurées successivement par les soldats du Génie. L'erreur commise 2o3 fois, disait-on, sera niuilipliée par 2o3. L'erreur à craindre, répondit Fourier, est multipliée par i4, racitie carrée de 2o3. On ignore sur quels principes l'illustre savant faisait reposer cette règle, que personne avant lui n'avait proposée.
173. Je terminerai ce Chapitre par l'examen d'une question très délicate. On a pris plusieurs mesures d'une même grandeur J7,, x.,^ ..., x,i\ elles ne s'accordent pas. Une formule démontrée (103) fait connaître l'évaluation de la précision des observations, déduite de la somme des carrés des difierences entie les valeurs obtenues ou, ce qui revient au même, de l'excès de la moyenne de la somme des carrés sur le carré de la moyenne. Il faut appliquer cette règle avec beaucoup de prudence; elle suppose, en effet, que le mérite des observations soit, a priori, inconnu et que la discordance qu'elles présentent soit le seul indice dont on dispose pour leur appréciation.
Il en sera très rarement ainsi. Si les observations sont faites par un observateur habile avec un instrument excellent, elles méritent plus de conliance, lors même qu'elles s'accorderaient moins, que des observations plus concordantes d'un observateur médiocre. 11 n'est pas admissible, par exemple, qu'en détachant sur les registres de Bessel quelques observations d'une même étoile on prétende en déduire une appréciation de son habileté et du mérite de son instrument.
La constante désignée par k^ prise pour inconnue dans les formules trouvées (163), est souvent assez bien connue à l'avance pour que des renseignements nouveaux n'autorisent pas à en changer la valeur.
Le problème alors devient très didërent.
La constante qui caractérise la précision du système d'observa-
CHAP. VIII. — LOI DES ERREURS d'oBSERVATION. 2l5
lions élanl connue, quelle doit être rinHiience de l'accord plus ou moins grand des mesures sur la confiance méritée par la moyenne?
Si, par exemple, on a mesuré les trois angles d'un triangle indépendamment les uns des autres, leur somme se trouvant exactement égale à deux droits, faut-il, pour cette raison, accorder plus de confiance aux mesures que si la somme avait surpassé de o,a5 la valeur qu'elle doit avoir?
La réponse doit varier suivant les cas. Si l'observateur est inconnu aussi bien que l'instrument, on devra appli([uer la (ormule trouvée (163), et la concordance des mesures déterminera la précision présumée des observations.
Si la constante appelée A-^ est assez l)ien connue, a priori, pour qu'on écarte l'idée d'en changer la valeur, la concordance des observations ne doit pas accroître la confiance qu'elles inspirent.
La conclusion semble inacceptable.
Si les observations sont discordantes, si leuis différences dépassent l'erreur probable de rinstrument, pent-on leur accorder autant de confiance f|u'avant cet indice défavorable?
Si un observateur, quelle que soit son habileté reconnue, donne du même angle trois mesures très tlifTéi entes, on n'échappera pas à l'idée que, ce jour-là, soit fatigue, soit oubli d'une précaution nécessaire, il a moins bien observé (|ue de contume. C est sur cette conviction que repose la défiance éveillée par le résultat, et c'est elle, précisément, que nous écartons dans l'énoncé du problème.
L'application du Calcul des probabilités à l'étude des erreurs d'observation repose sur une fiction dont il ne faudrait pas faire une réalité. Les erreurs sont supposées tirées au sort dans une urne dont la composition est définie par la loi de probabilité acceptée.
Si l'observateur est malade, si l'on a dérangé les fils de sa lunette, exposé à l'humidité les poids de sa balance, changé son thermomètre habituel, il fait, ce jour-là, le tirage dans une autre urne, les résultats écha|)pent à toute théorie.
Nous écartons, dans le calcul suivant, toutes les suppositions de ce genre. L'observateur s'est appliqué comme de coutume, son instrument est en bon étal, les erreurs sont soumises aux chances
2l6 CALCUL DES PROBABILITÉS.
h:il)iiiielles; la constat)le k est connue et ne peut être changée par Je succès de quelques observations nouvelles.
Il faut admettre, en outre, |)our que les hypothèses n'impliquent pas contradiction, (pie les éc;irts n'aient rien d'exceptionnel.
174. Le calcul, lorsque ces réserves sont légitimes, justifie les conclusions qui précèdent.
Sup|)osons que n mesures d'une même grandeur aient été prises. Soient j,,j2, •••» J^« les erreurs commises successivement. Chacune d'elles est inconnue, bien entendu.
La probabilué d'une erreur comprise entre z el z -\- dz étant, |jour l'observation de rang /,
-— e-/',- dz,
et les valeurs de ki étant connues, la probabilité du concours des erreurs supposées sera
Soit z la movenne des diverses mesures, prise eu ajant égard à l'erreur probable de chacune d'elles, c'est-à-dire (171) en attribuant à chaque détermination de la même grandeur un poids inversement proportionnel à la valeur probable du carré de l'erreur.
On
aura
(37) z = ^^y^-^^ly^-^-'-^^^iyn
Posons
71=2 -4- a,, jK-2 = 2 -+- a2,
JK;, = -s -t- a„
et substituons dans l'expression de la probabilité (36), considérée comme un élément d'intégrale multiple, les variables z, a,, ^•11 •••, y-n-i ^ yii y-i, ....,y,i; a« n'est pas une variable indépen-
