ERREURS DE SITUATION D'UN POINT
Sit p loeus ol)jPcti alicujus ex oliseivatione piinia dcnnitiis. q,r..'!, ... ejusdem objecli loia in ()l)sorvalionibus scquenlihiis; sint insuper 1', U, U, S pondéra recipioce proportionalia spaliis cvajïationuni, per <\u!V se dilTunderc possinl errores ex ol>servati()nil)US singulis pi-odeuntes, (|UiC dantur ex datis oirorum limitihn*; et ad puncla /), 1/, r, .1. ... p(isil,i irUellisçantur pondéra P, y. II. S, ..., el iiivciiiatiir eoniin Kravilalis cenlruni 7. : diio puncluni Z fore locuni olijecii, qui pro vci-o ejus loco tulissinie lial)eii polest.
UocEii Cotes.
175. Confiance de Bravais dans la loi élémenlairc de la pi()l);ibilité des erreurs proposée et abandonnée par Gauss. — 17(j. Conséquence (hms le cas où l'erreur sur chaiiue coordonnée est la résultante de deux erreurs élénienlaires. — 177. Formule de Bravais déduite d'un postulatum. — 178. Détermination du facteur que la démonstration laisse indéterminé. — 179. Probahiliié des écarts dans le tir à la cible. — 180- Ellipse <lans l'intérieur de laquelle il y a probabilité donnée de voir la balle se placer. — 181. Moyenne probable des valeurs de la constante. — 182, 183. Quelle est la mesure de l'Iiabileté d'un tireur. Difficulté d'une réponse précise. — 184. Vérifications de la formule. — 185. Erreur à craindre sur la moyenne des valeurs de la constante. - 186. Valeur probable du carré de l'erreur commise dans l'évaluation du nombre des balles intérieures à une certaine ellipse. — 187. Calculs relatifs à 1000 balles tirées dans une même cible.
175. Lorsque les coordonnées d'un point sont déterminées indirectement par l'ohservylion de grandeurs dont elles dépendent, Terreur commise sur sa véritable place et la probabililé d'un écart donné dépendent de la loi de probabilité des erreurs commises dans les diverses mesures.
220 CALCUL DES PROBABILITES.
Les études faites sur cette question, particulièrement par Bravais dans un Mémoire remarqué, supposent une confiance absolue dans la loi pro|)Osée |)ar Gauss sur la probabilité des erreurs élémentaires ; la piobabilité d'une erreur z est proportionnelle à e~''^^\ la constante k variant seule avec la précision des mesures.
Les formules déduites de cette hj'pothèse sont confirmées par les laits connus.
Bravais exprime les coordonnées du point observé en fonction linéaire des grandeurs mesurées; cela revient à prendre pour variables les difiérences entre les grandeurs mesurées et les valeurs observées, en supposant ces dilTérences assez petites pour qu'il soit permis d'en négliger le carré.
176. Supposons, par exemple, que, x eV y étant les coordonnées d'un point inconnu dans un plan, on ait
iP =: X H- au -j- bv^ y = Y -h a' u -^ b' v^
X et Y étant les valeurs approchées obtenues en acceptant les mesures comme exactes et u et ç les erreurs commises sur ces mesures.
La probabilité pour que l'erreur m soit comprise entre «et (x-{-dx étant
et celle pour que l'erreur v soit comprise entre 3 et [5 + d'^,
v/tt
la probabilité pour que le point dont les coordonnées sont x qI y se trouve dans la partie du plan qui correspond aux limites indiquées est
On peut, dans cet élément d'intégrale double, substituer aux variables a et [3 les difiérences
X — X = xi.
CHAP. IX. — ERREURS DK SITUATION d'uN POINT. 221
Le [)rodiiil dy.d[tj, d'aprè-s la théorie de la Iransformalion des iDléf^rales, sera remplacé par
dxx dy^ dxx dyi
dxy dyi dx^ dy^ ~ ab' — ha!^ ofa "t/p' ~ ~d^ lu
et la probabilité pour que le point soit compris dans le rectangle infiniment petit <ia;, dy ^ prendra la forme
Qg^j^a 2X^y,-^ljî dx^ dy^,
l'exposant de e étant la somme — k-x- — A'- 3- exprimée en fonction de x^ et de y^ .
177. La méthode peut être étendue au cas d'un nombre quelconque de variables élémentaires. On transformera, dans tous les cas, la probabilité d'un système d'erreurs mis sous la forme d'un élément d'intégrale multiple, en introduisant au nombre des variables les coordonnées du point étudié aux(|uelles il faudra, dans le cas général, associer d'autres variables. Ces variables, arbitrairement choisies, disparaissent à la fin du calcid; mais les transformations intermédiaires sont fort compliquées.
On obtient très simplement le même r(';sultat en acceptant un postulatum é(piivalent à celui de Gauss (138), énoncé par Cotes, en 170g, et employé ingénieusement par M. Schols pour démontrer le théorème de Bravais.
Si plusieurs positions d'un même point ont été successivement obtenues et méritent la même confiance, la position la plus probable est le centre de gravité du système des différents points considérés comme de même masse.
Soit c3(a, ^)dxd^p la probabilité pour que l'erreur commise sur l'abscisse du point inconnu soit comprise entre a et a -)- t/a et l'erreur sur l'ordonnée entre [^ et [^ + <r/|S, le point se trouvant compris, par conséquent, dans un rectangle infiniment petit de surface dxd^.
Si ^ijKi , x->yi^ • .., Xny,i sont les coordonnées des positions présumées d'un même point et x^y les coordonnées véritables, les erreurs successivement commises dans les diverses déterminalions des coordonnées inconnues sont représentées par x — X(,
a22 CALCUL DHS PROBABILITÉS.
y — Vi, • •., et la probabilité de leur concours est proportionnelle au produit
(i) ?(^ — ^i,r— ri)?C^ — ^2, JK— JK2)...o(a- — :r„, j— jK„).
La position la plus probable a pour coordonnées, d'après le poslulatum,
X^-h To-h. .
r,-+-jK2-f-.
(>es valeurs de x et de y doivent rendre le produit (i) maximum cl, par conséquent, annuler les dérivées de ce produit par rapport aux variables X et y.
Si l'on pose
les coordonnées x el y définies par les équations (2) doivent satisfaire aux équations
F, ( ^ — ^1 , jK — JKî ) + Fi ( a- — ^2, JK — ^2 ) -t- . • . + Fi ( ^ — ^,i, 7 — JK„ ) = o, ^■i{or — Xu y—yi) + ^2{x — Xi, y — y^)-^...-+-¥i(x — Xn, y — yn) = o.
La somme des variables 37 — 57,. x — X2, ..., x — Xn est, en vertu des équations (2), égale à zéro, ainsi que celle des variablesjK — y\'> y —y-i, •••, JK — JK« ; aucune autre condition ne leur est imposée. Les fonctions F, et F2 sont donc définies par les conditions que les équations
^\{ih, ^^i) + Fi(m2, (^2) -4-. . .-H Fi(«,j, Vn) = o,
FaC"!, <^l) + F2(M2, P2)+...-+-F2(m„, Vn) = O
soient les conséquences nécessaires des relations
Ml -H «2 H- ... -1- U,i = O, Vi -h i>i^.. .^Vn = O
entre les variables.
En réduisant à deux le nombre des variables, la condition se
