CHAP. IX. — ERREURS DE SITUATION DUN POINT
l'édiiit à
Fi("i, t-i) -+- Fi(— Ml, — Pi) = o;
la fonclioi) F, change de signe quand les deux variables changent de signe.
Si Ton suppose trois variables, on obtiendra, en tenant compte du résultat précédent,
U) F,(ai, Vi)-+- Fi(w2, ('2) = F,(w,-h u., t^i + t's),
quelles que soient les variables m,, t',, u^, t'o. On en déduit, en
posant --JLl=,,^^^x,y),
<pl("2, 1^2) = 9l(i<l -H «2, <'l -+- 1^2);
par conséquent,
La dérivée de F, par rapport à x est donc une constante. En dilTérentiaut l'équation (4) par rapport à t^, et à v^, on verra qu'il en est de même de la dérivée par rapport à y. Les dérivées de la (onction F, étant constantes, cette fonction est linéaire par rapport aux deux variables; il en sera de même de F^, et nous pouvons poser, en remplaçant F< et F2 par les dérivées qui les définissent (3),
dl t3( .r, y )
dlo(x. y) , ,,
dy =«^ + ^r;
ax + by et a' x + b'y étant les dérivées d'une même fonction, on doit avoir
d{ax ^ by) d{a' x -^ b' y) ^ dy dx '
par conséquent, b =: a' . La fonction l'f{x,y) définie par ses deux dérivées est nécessairement de la forme
l <f{x, y)^ -— + bxy 4- -^ -4- G,
a, è, 6' et C étant des constantes.
Les erreurs infinies étant impossibles, cp(;r,y) doit s'annuler quand oc el y sont infinis, les constantes a et b' seront négatives.
La probabilité d'une erreur comprise entre m et w + du pour x el ç et V -\- dv pour y est donc de la forme
G étant une constante et X, constant aussi, pouvant être positif ou négatif.
Les points d'égale probabilité sont sur une même ellipse ajant pour équation
k^u'^-+-yAuv + k'^v'^= H,
Il et V désignant les différences entre les coordonnées du point considéré et la position véritable, centre commun de toutes les ellipses semblables entre elles dont les dimensions sont proportionnelles à y/H,
d78. Les quatre constantes G, a, k, k' sont liées dans tous les cas par la relation nécessaire
(5) ^ f f ^~'''"'~'''^"''~ '"'""" du dv = i.
Il faut bien, en effet, que les erreurs aient des valeurs comprises entre — ooel +00, et la somme des probabilités relatives à toutes les erreurs possibles est égale à l'unité. Posons
k'^u^-^iXuv-^ k'-iv^= H;
à chaque valeur de H correspond une ellipse dont la surface est
TlH
Qç^k'^—l^
Tous les points de la couronne comprise entre les ellipses correspondant aux valeurs H et H + dtl du paramètre ont même probabilité, et la somme des probabilités relatives aux. éléments de
CHAP. IX. — KRRELRS DE SITUATION d'lN POINT. 225
celle couronne est
Je liiclenr representanl la surface de la couronne.
La condition (5) devient Gr
et, comme
on déduil de (5)
Gr C"
C e-"r/II = i,
La probabilité pour que le point se trouve entre les deux ellipses qui correspondent aux paramètres H et H'+ d\\ est
170. La formule précédente s'af)plique cà la probabilité des écarts dans le tir à la cible.
La première question à résoudre dans l'étude des questions relatives à une arme donnée et à un tireur (pii en fait usa"e est de déterminer pour cette; arme et pour ce tireur les constantes caractéristiques A-, k' et A. iSous cliercherons pour cela, en considérant ces constantes comme connues, les valeurs probables de u- r^ et «r, u et v désignant les coordonnées du point où frappe la balle par rapport à deux axes passant p;ir le centre de "-ravité de tous les points frappés, supposés, bien entendu, très nombreux.
Les valeurs probables, en vertu du théorème de l^ernoulli, doivent différer très peu des valeurs données aux moyennes par le hasard.
Les coordonnées du point où frappe la balle par rapport aux axes dont l'origine est au centre de gravité des points frappés étant désignées par u et r, la probabilité pour (|ue ce point se
226 CALCUL DES PHOBABILITÉS.
trouve dans le rectangle du dv élanl la valeur probable de u"^ est
Ou peut l'écrire
on a
-^■^(-fer.../-
el l'expression (-j) devient
(8) — i^/X-^A'^— â2 / ,<2e~i^'~^'^'"'«fM.
A-'v/- J-oc
La formule
donne pour (8) la valeur (9)
z'-e-V'-' dz =
Telle est la valeur probable de u'-.
La valeur probable de av est exprimée par
on a
Posons
"ku t
CHAI'. IX. — KKKELRS DE SITf VTIOX U LN POINT.
(lO)
/ ve V ''^Z dv ^ e-'' jr-, df = — -— v/-:r.
La valeur probable de av se réduil donc à
— -î^ — a/ M2^we V ^"'':= -— f^ ^
La valeur probable de t^-, calculée comme celle de a-, est
En égalant les valeurs probables aux valeurs moyennes données par l'ensemble des résultats obtenus, on obliendia des équations dont les deux membres, si les observations sont nombreuses, différeront probablement très peu. Posons donc
rj^ fj — . ..— Vj,
llX ('i — U-i V-i
Nous aurons, |)Our déterminer A", k' et a, les é(|uations
on en déduit
- = 4(AB — Cî).
