AB — C
-G •i(AB — C^)'
228 CALCUL DES PUOBABILITES.
180. Les constantes k, k' et \ élant connues pour une certaine ainie et pour un certain tireur, si l'on pose
A-2 m2 4 ., X uv -h k'^ v^-=H,
la probabilité pour que Ja balle soit j)lacéi' entre les deux ellipses qui correspondent aux valeurs H et H + dH sera (178)
La probabilité pour que la balle frappe en dehors de l'ellipse correspondant à une valeur H, du paramètre est
dU = e-»i.
Si l'on pose
la probabilité sera ^. L'ellipse correspondant à cette valeur de H, contiendra, si les coups sont nombreux, la moitié des points frappés à très peu \)vès.
Si 1 on donne successivement à H les valeurs
o, io5'3G,
les neuf ellipses semblables corresjiondant à ces valeui-s du paramètre parlageront le plan en dix régions contenant chacune, vraisemblablement sur un très grand nombre de coups, la dixième partie à peu [)rès du nombre des halles. La première de ces régions est la plus petite des elli|)ses; la dernière est la portion du plan située au delà de la plus grande
181. A chaque point frappé par la balle correspond une valeur
CHAP. I\. — KRRELR^ DE SITUATION d'lN POINT. 229
(le H. La valeur probable de H est
He-"^H =1,
Telle doit donc être, avec une probabilité d'autant plus grande que les épreuves seront pbis nombreuses, la movenne des valeurs de H correspondant aux points frappés.
182. Une question fort importante doit rester indécise. Quelle est, dans un concours de tir, la règle à conseiller pour juger les tireurs? Le problème ne me semble pas comporter de solution absolue.
Si les balles tirées par deux concurrents peuvent être classées de telle sorte que cbaque point frappé par le premier soit plus près du centre que le point co,rrespondant frappé par le second, la décision semble facile. IJans ce cas-là même, si les différences sont petites, le tireur dont les balles sont moins approchées du but peut quelquefois prétendre au premier rang, en alléguant l'imporlance d'un écart horizontal plus grande que celle d'un écart qui laisse la balle dans l'alignement vertical.
Il semble naturel, à première vue, de mesurer le mérite d'un tireur par la siiiface de l'ellipse à l'intérieur de laquelle il y a probabilité donnée de voir la balle se placer. La valeur de la diflférence
représenterait alors le mérite de chacun.
Cette appréciation peut, dans des cas extrêmes, qui, très probablement, ne se sont jamais présentés et ne se présenteront jamais, donner des conséquences inacceptables.
Si l'un des tireurs plaçait toutes ses balles sur une ligne droite passant par l'origine des coordonnées qui sert de but, la règle proposée lui assignerait le premier rang, quelle que fût la dislance de ses balles au centre de la cible. La surface de l'ellipse caractéristique serait nulle, en en'et, dans ce cas qui, véritablement, n est pas à craindre. Il suffit qu'il soit possible pour condamner la règle. La théorie n'en reçoit aucune atteinte.
23o CAI-CUL DES PROBABILITÉS.
183. Si l'on regardait a priori toutes les directions comme indin'érenles, il faudrait supposer a = o, k=ik'\ la probabilité pour frapper la cible à une distance comprise entre R et R + dW seiait
La valeur probable de R et celle de R- seraient ^ et — r^ : elles ' ik 1 k-
représentent, pour un giand nombre d'épreuves, la valeur moyenne
des dislances au centre de la cible et celle de leurs carrés.
Si dans un concours de tir on accorde le premier rang au tireur pour lequel une des deux moyennes désignée à l'avance a la plus petite valeur, les de-ux règles, si les épreuves sont nombreuses, donneront le même résultat; celui des tireurs pour lequel A" a la plus grande valeur sera certainement vainqueur.
Si les épreuves sont peu nombreuses, le concours devient un jeu de hasard dans lequel, comme il est juste, un avantage est fait au plus adroit. I.a valeur de A', déduite de la moyenne des distances au centre de la cible, mérite moins de confiance que celle qui résulte des cariés. Le rap|)ort des carrés des erreurs à craindre sur /r, dans les deux hypothèses, se calculera comme (lo2); il est égal à i6 — 4"^-
184. La difficulté, on peut dire même l'impossibilité de donner une règle précise de préférence entre deux séries de coups résulte d'une autre circonstance encore. Les formules précédentes supposent que, sur un grand nombre de coups, le centre de gravité des points frappés coïncide avec le centre de la cible. Nous avons écarté, en un mot, les erreurs constantes. Elles ne sont jamais nulles cependant, et, quand un grand nombre d'épreuves auront été faites, l'examen du mériîc de leur ensemble devra commencer par la détermination du centre de gravité du système des points frappés. La dislance de ce centre à celui de la cible représentera avec une grande probabilité la partie constante de l'écart. Pour déterminer les constantes caractéristiques A", k' et a, on devra rapporter les coordonnées des points frappés à deux axes ayant pour origine le centre de gravité. Le mérite d'un tireur se trouvera ainsi défini par cin{| paramètres : les deux coordonnées a et b
CHAP. IX. — ERREURS DE SITUATION d'uX POINT. 23 1
du centre de gravité G de l'ensemble des points frappés et les constantes k, k\ a, déterminées au moyen des coordonnées prises par rapport à des axes passant par le point G. La somme «^ + b^ pourrait mesurer l'imperfection systématique de l'arme employée ou le défaut constant du tireur dans sa manière de viser, et la dilTérence A- A'- — A- représenterait la précision. Le tireur est d'autant plus habile que ces quantités sont plus petites, mais il est impossible de leur assigner une importance relative.
Supposons deux tireurs, Pierre et Paul, ayant tiré chacun loo balles. Les balles de Pierre sont toutes à o"\ i du centre de la cible dans un cercle de o'",o5 de rayon. Il y a dans sa manière de tirer une cause d'erreur commune à tous les coups; à cela près, son tir approche de la perfection.
Paul, au contraire, n'a pas dans son tir d'erreur systématique. Les points frappés par ses balles entourent le centre de la cible; ils sont tous dans un cercle de o"',i5 de rayon.
Entre ces deux tireurs, dont l'un tire avec plus de précision, mais dont Taulre est exempt de toute erreur systématique, quel est le plus habile? La question ne peut être résolue. On pourrait la com|)arer à la suivante : Deux chronomètres ont été étudiés. Lors(|ue la température est constante, la marche du premier est plus régulière; mais, si l'on écliaulTe ou refroidit l'enceinte, il subit une influence plus considérable. Comment décider la préférence méritée par l'un d'eux?
Le problème est évidemment impossible à résoudre.
185. J'ai appliqué les résultats précédents à l'examen de 1000 coups tirés par des tireurs habiles h 200'" de distance avec dix armes de même modèle, (>.haque tireur tirant dix coups avec chaque arme.
Le centre de gravité des 1000 points frap()és avait pour coordonnées
on a trouvé, en nommant u et v les coordonnées par rapporta des axes passant par ce centre de gravité, pour l'ensemble des points
frappés,
= o3,22i = Li.
Les équations
donnent
•2(kU'^-l^)-
'■ = o,oo(i8825,
L'équation d'une ellipse d'égale probabilité est
A-2 z<2 ^ 2 X iw -+- A'2 k-2 = H ;
à chaque point du plan correspond une valeur de H. En faisant le calcul pour les 1000 points frappés par les balles, on a formé le Tableau suivant :
