CHAP. X. — L.\ THÉORIE DES MOYENNES

lilé des erreurs ne semble laisser aucun espoir de succès : les plus illustres y ont échoué el les données du problème ne semblent donner prise à aucune recherche théorique.

Gauss, sans chercher cette loi inaccessible, variable sans aucun doute d'un cas à l'autre, a su, tout en laissant la fonction indéterminée, résoudre rigoureusement le problème.

La fonction inconnue, d'après l'ingénieuse manière dont il pose la question, figure seulement dans des intégrales définies dont les valeurs numériques deviennent les constantes caractéristicpies d'un système d'observations.

189. Supposons cpi'en mesurant une grandeur la probabilité d'une erreur comprise entre :; et z -i- dz soit représentée par (^(z)dz. La fonction inconnue '-^(z) doit satisfaire à cpielcpies conditions qu'il faut dire :

On a rigoureusement

(i) f ':;{z)dz=^i.

Il faut bien, en elFet, que l'erreur ait une valeur, et la somme des probabilités pour tous les cas possibles, entre — x et -h x, représentant la certitude, doit être égale à l'unité.

Si les mesures n'ont [)as d'erreur systématique et que I instrument rende les erreurs positives aussi probables, exactement, que les erreurs négatives, on aura

C'est ce que nous avons supposé juscpi'ici, admettant cjuavant l'étude d'un cas particulier on ait déterminé l'erreur constante; de l'instrument, pour la faire disparaître ou pour en corriger les résultats.

Ne faisons pas d'abord cette hypothèse, et posons

/ zo{z) dz = a\

a sera une constante que l'on peut appeler Verreur probable.

Gituss la nomme la partie constante de L'erreur. Quand on l'aura

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déterminée pour un inslrument donné et un observateur désigné, on la retrancliera de chaque mesure; l'eireur, qui était ^, deviendra z — a. En posant

z — « = y, la probabilité de l'erreury sera toujours 'f (-3) dz-^ si on la nomme

/ yf^y)^fy= f {z-a)^{z)dz

et, à cause des conditions (i) et (2),

/ yJ'iy)dy = o.

J^a valeur probable des erreurs corri<;ées est donc égale à zéro et, ce qui revient au même, leur partie constante est-nulle. i

Nous parlons de la diflerence entre la valeur exacte et la valeur observée, qui peut être positive ou négative, et non de l'erreur absolue, toujours positive, dont la valeur probable, évidemment, ne saurait être nulle.

190. La détermination de la constante a sera facile, en général : on mesurera un grand nombre de Ibis une grandeur bien connue.

Soient (?,, Co, ..., e„ les erreurs successivement commises, on piendra

La valeur probable de l'erreur doit, en effet, d'après le théorème de BernouUi, différer peu de la moyenne des erreurs.

On peut aller plus loin et donner une appréciation de l'erreur à craindre, en acceptant l'équation (3).

Posons

^4) J z'-'^{z)dz = m\

La constante m- est déterminée pour chaque système d'expé-