CHAI'. X. — LA THKOIUE DES MOYENNES

nence. On en irouvera la valeur approchée, expérimentalement comme on a trouvé celle de a.

Cherchons la valeur probable de

e,— a-^. . .— Ca

elle donnera, évidemment, une indication de l'erreur à craindre quand on accepte comme nulle la grandeur positive qu'elle représent<'.

Cette expression (5) peut s'écrire

— '■ --^z -+■ Cl'-.

n- n- Il

I^a valeur probable de ej est, quel que soit /,

;-'i( z) dz = m- ;

celle de <?/,

z ^{z) dz = a

el, par conséquent, celle île e,e/' est a'-.

Ces valeurs sont les mêmes pour toutes les valeurs de i, car l'appréciation de l'erreur à crciindre est supposée faite à l'avance : elle est relative aux instruments dont on dispose, aux méthodes employées et à l'habileté connue» de l'observateur. Sa valeur n'a rien de fortuit.

L'expression (5) devient, en ayant éi^ard au nombre des termes de cha(|ue somme,

m- ni n — i)a^ ■>.na-

c'est-à-dire

La valeur probable du carré de l'erreur commise en prenant pour a la moyenne des erreurs tend donc vers zéro lorsque n augmente.

19L La moyenne d'un nombre de inesures de plus en plus

244 CALCUL DES PROBABILITES.

o^iand convergera vers la valeur véritable augmentée de l'erreur constante a.

On aura, en effet, en nommant x^. x-^,..., Xn les évaluations successives d'une même grandeur z et <?,, e-2, •••, e« les erreuis

correspondantes,

x'i = z -{- ei,

372 = s H- go,

et, puisque la moyenne des erreurs diflère peu de a quand n est srand, la moyenne des valeurs de x dillerera peu de z-\- a\ et, si a a été donné par l'étude préalable de l'inslrumenl et de la méthode, en le retranchant de la moyenne, on aura une évaluation de la grandeur mesurée d'autant plus certaine que les mesures seront plus nombreuses.

L'erreur commise sera exactement

la valeur probable de son carré est inversement (190) proportionnelle à n : on peut donc la regarder elle-même comme de

l'ordre — =;•

La conliance méritée par la moyenne d'une série de mesures s'accroît comme la racine carrée de leur nombre.

192. Pour obtenir, dans un système donné d'observations, la valeur probable de la constante nï-^ on fera une série de mesures X\^ iPo, ..., Xn d'ime grandeur bien connue à l'avance, e,, go, ..., 6,1 étant les erreurs successivement commises, on |)ourra prendre

ef -1- ei -i-. . .+ el

L'erreur à craindre en adoptant cette équation sera d'autan! moindre quelle nombre n des mesures sera plus grand. Il faut,