Reprenons la question générale

On a mesuré n ->r p grandeurs Z, . l,, /;,, ..., 4^,,. Elles sont liées par des équations rigoureuses à n inconnues x, y, z, .... En éliminant les inconnues, on obtient p équations nécessaires entre les n -h p grandeurs mesurées :

Les mesures n'étant pas parfaites, ces équations ne seront pas satisfaites : les premiers membres auront de petites valeurs — /i,, — /ia. •••. — fi/i qui seront exactement connues, puisque les mesures /, , /o, ..., l/i+p le sont.

Si l'on nomme e,, e^, ..., e„+p les erreurs commises sur ces mesures et qu'on en néglige les carrés, la fonction F,, qui est égale à — A) et qui doit être nulle après les corrections, recevra un accroissement ^, ; on obtiendra ainsi p équations du premier

degré

/i,, I12, ..., Il,, étant des nombres connus dans chaque problème.

Le principe admis est celui-ci :

Il est permis, à titre d'approximation, d'égaler une fonction des premiers membres de (21), dont la valeur est exactement connue, à la valeur probable calculée avant l'épreuve.

Cette égalité, bien entendu, n'a jamais été proposée comme certaine : Valor verus, dit Gauss, prout fors errores obluiil, major minorve medii fieri potest.

Ces deux grandeurs, la valeur véritable et la valeur probable, que le hasard peut faire plus grandes ou plus petites l'une que

l'autre dans une proportion inconnue, sont égalées cependant pour former l'équation dont la solution est déduite.

La critique est rendue difficile. Quand on a dit : le second membre de l'équation prof)Osée peut être, suivant la décision du hasard, plus grand ou plus petit cjue le premier, on s'est mis en règle avec la rigueur : le lecteur averti sait qu'on n'y prétend pas. De quel droit reprocher une cause d'erreur nettement signalée?

Le résultat est donné comme une approximation; il est tout naturel, au contraire, de chercher quelle confiance mérite le principe sur lequel elle repose. Nous montrerons que, le principe étant admis, on peut en déduire, pour la précision, des valeurs très différentes et dont aucune, par conséquent, ne mérite confiance.

Formons un poljnome

(ri) XiA'ï -i-XoAIh-. . .-H Xph^-Jr-'kp^ihih^-h. . .,

homogène et du second degré par rapport aux seconds membres, numériquement connus, des équations (21). Quels que soient les coefficients choisis. À, , A2, ••., l'expression (22) est connue.

On peut en déterminer la valeur probable, avant les épreuves faites, en fonction de la valeur probable m^ du carré de l'erreur commise sur chaque mesure.

A( , Ao, . . . , A^ sont exprimés par les équations (21) en fonction des erreurs e,, Co, ..., e,ij^p. Le polynôme (22) est donc une fonction connue des erreurs commises dans les mesures; on en peut former la valeur probable en remarquant que celle de ej est m- et que celle de e/e/ est nulle, quels que soient i et i' . La valeur probable du polynôme (22) sera donc de la forme Gm-, G étant connu. En l'égalant à sa valeur vraie, puisque tel est le principe accepté, on obtiendra une valeur de m- dans laquelle figureront les facteurs arbitraires désignés par k.