x',y') do
On a donc
4>(#, y) du
<5>(x',y') de1
ou, puisque da =da',
l'intégrale étant étendue à toutes les valeurs de p', v', p' qui sont telles que la rotation V,' [if, V, p' amène M à l'intérieur de da'; ou, ce qui revient au même, telles que la rotation X, /ut. . v, p amène M à l'intérieur de drs.
83. Nous avons ainsi écrit la loi des probabilités sous une autre forme, mais c'est la même hypothèse que celle que nous avons laite, quand nous prenions pour variables X, /x, v, p. En résumé, la probabilité pour que M soit à l'intérieur d'une certaine aire du, et, en même temps, pour que MP fasse un angle w avec MA, est
et O est une constante à déterminer.
Étendons l'intégrale à tous les éléments de la sphère; l'angle co variera de o- à 2 ?r, et a de o à 4tc. L'intégrale aura pour valeur
mais alors la probabilité sera égale à 1. Donc
et
ou
est la loi des probabilités.
APPLICATIONS DIVERSES. l4 1
84. Soient, sur la sphère, une courbe fixe et une courbe mobile; on promet à un joueur autant de francs qu'il y aura de points d'intersection t.quel est son espérance mathématique?
Elle est proportionnelle au produit des longueurs des deux courbes.
85. Si l'on considère une figure mobile 9 et deux figures fixes ©!, o>2, la probabilité pour que 9 ait une position relative donnée par rapporta 91 est la même que la probabilité pour que 9 ail la même position relative par rapport à <ps.
Autrement dit, supposons que X, y\, v, p définissent la rotation qui amène <pt dans une position prenons comme variables nouvelles X', fi', v'. p' qui définissent la rotation qui amène cp2 dans cette même position 9' : nous retrouverons la même loi de probabilité et nous aurons comme plus haut
rdfi-dv dp fdpj dv' dp'
La rotation V, fi', v', p' est la résultante de deux autres, X, fi, v, p et l, m, n, /•; cette dernière, celle qui amène 92 dans la position ©!, peut être considérée comme donnée, et le calcul du déterminant fonctionnel de fi, v, p par rapport à [/.'y v', p' est le même que dans la leçon précédente.
Cela posé, je ne conserverai pas les paramètres X, fx, v, p, dont la signification géométrique n'est pas simple, et nous reviendrons aux variables x, y et co du paragraphe 79.
86. Soient, sur la surface sphérique, M un point de la figure mobile ayant pour coordonnées x, y, z\ et MP un arc de grand cercle appartenant à la figure mobile et faisant
un angle oj avec l'are de grand cercle MA qui passe par un point, fixe A.
i° Quelle est la probabilité pour que M soit dans Linéaire du, lorsque w varie de o à ïtt?
2° Quelle est la probabilité pour qu'un cercle mobile de la sphère coupe un cercle fixe?
Soient P le pôle du cercle fixe, A le point où il coupe le tableau, et 8 l'angle POA.
Soient P',A.',9' les données analogues pour le cercle mobile.
Soit 9 l'angle POP'.
La condition nécessaire et suffisante pour l'intersection est qu'on ait à la fois
en supposant 8 > 8'.
Représentons la zone BCB'C dans laquelle le pôle P' du cercle mobile doit se trouver; par projection sur le plan du tableau, les deux petits cercles qui la limitent seront figurés
C'est
cp<ô +-0', 9 > 8 — 9',
APPLICATIONS DIVERSES. l43
par des droites BB\ CC; l'angle POB sera égal à 8 — B', et l'angle POC à 8 -h 8'.
La probabilité cherchée sera proportionnelle à la hauteur bc de cette zone. Or,
bc = Ob~ Oc = cos(9 — 8') —cos(d-hd'),bc = 2 sinô sin0'.
87. Le problème peut être plus général. Soient : i° «arcs de grands cercles fixes Ci, C2, . . . , C«-, égaux entre eux et de longueur l\ 2° n' arcs de grands cercles mobiles, invariablement liés les uns aux autres et de même longueur l, C'i , C2 , . . . , C',j'.
Je cherche les points d'intersection des arcs mobiles avec les arcs fixes et je promets autant de francs que de points d'intersection.
L'espérance mathématique du joueur sera proportionnelle à nn' .
La probabilité pour que G', rencontre Ci est la même que pour que C, rencontre Cu etc., d'après la démonstration de tout à l'heure.
Elle reste encore la même pour que C', rencontre C2, etc.
L'espérance mathématique sera d'autant de francs que l'on peut faire de combinaisons de l'un des n premiers arcs avec l'un des n' seconds. Supposons même que ces derniers aient une longueur V différente de l : l'espérance mathématique sera nn'IV .
Si l'on considère deux lignes brisées formées d'arcs de grands cercles, l'espérance mathématique sera encore proportionnelle à leurs longueurs, car, si l'un des éléments était double, l'espérance mathématique correspondante doublerait.
r 4 4 CHAPITRE VIII.
A la limite, cette conclusion sera encore vraie et, en général, l'espérance mathématique sera proportionnelle aux longueurs s et s' des courbes. Elle sera Kss'.
Cherchons K.
Supposons deux grands cercles: leur longueur commune sera 21c, et ils se coupent en deux points; l'espérance mathématique sera K x 4tt2 et, comme elle sera égale à 2,
Pour deux petits cercles, l'espérance mathématique sera
S'il y a intersection, il y aura deux points d'intersection. Or
s = 2 7r sin 9, s' = 2 7r sin 9'.
L'espérance sera
2 7i sin 9 x 27: sin 9' . . .
= 2 sin 9 sinfl'.
C'est ce que nous avons trouvé plus haut, d'une autre manière.
88. Supposons sur la sphère céleste un nombre N d'étoiles placées au hasard.
Promettons à un joueur un franc pour chaque couple d'étoiles tel que la distance angulaire des deux étoiles, P et P', soit plus petite que y. Quelle est son espérance mathématique ?
P' devra être à l'intérieur d'une certaine zone. La surface
de cette zone est proportionnelle à sin* ^ . Pour y = 7r, la
APPLICATIONS DIVERSES. l45
surface est celle de la sphère entière; la probabilité est donc
sin2 -
— sin2 — •
sin2-
Comme les étoiles sont au nombre de N, elles peuvent N(N — i)
former groupes de 2. L'espérance mathématique
est
89. Considérons un système mécanique, dont les équations sont mises sous la forme de Ha mil ton ; n variables, x{, x2, . . . ,xn, définissent la position du système ; n variables, yi»j2» ■■■,Vn, définissent les vitesses.
F étant une fonction donnée qui dépend des x et des /r les équations auront la forme
dxi d¥ dyi d¥ dt ~ dyt ' dt ~ dxt
On connaît F, c'est-à-dire la loi du mouvement, mais on ne connaît pas les positions initiales.
Représentons les valeurs des variables, au temps t — o, par x\9x\, ...,^etv°, y%.
Quelle est la probabilité pour que ces variables aient certaines valeurs à un temps t donné ?
Si je me donne la loi de probabilité pour que les variables aient les valeurs initiales ci-dessus, le problème devient déterminé. Je suppose que l'on se donne cette loi de probabilité pour les valeurs initiales.
90. Je suppose cette probabilité proportionnelle à f k dac\ dœ\ . . . dx\ dy\ ày\ . . >dy%,
k étant une constante.
On peut supposer qu'on ne sait rien sur les valeurs initiales, et qu'on sait seulement que F est compris entre Ft et F2; comme F == const. est une intégrale des équations du mouvement (c'est l'intégrale des forces vives), si la valeur initiale de F estcomprise entre F, et F2, F restera comprise entre Fj et F2.
L'intégrale précédente, étendue à toutes les valeurs qui satisfont à
sera égale à i .
Si cette loi de probabilité est vraie pour les valeurs initiales des variables, elle le sera encore pour les valeurs finales.
Il suffit de démontrer que le déterminant fonctionnel des valeurs finales par rapport aux valeurs initiales est égal à l'unité.
Soient.r', . . . ,y', . . . les valeurs des a?, . au temps
t'] x, . . . , y, ... leurs valeurs au temps t. Il n'y a qu'à établir cette proposition pour t et t' très voisins.
Je vais, pour simplifier, examiner le cas de deux variables x et de deux variables y.
dx. dF dt dyx dF
APPLICATIONS DIVERSES
et
-, - dy. dF dF
Le déterminant fonctionnel est
dxxdyv. dx2dyx dy\ dxxdy2
dx\ dyt dx2dy2 dy2 dyx dy\
diF d*-F d'F d2F
dx\ dxt dx2 dxv dy\ dxx dy.2
d-F dzF d*F d'-F
dx2dxx dx\ dx2dyx dx2dy2
Je développe en négligeant le carré de.£. Tous les éléments du déterminant sont infiniment petits du premier ordre, sauf les éléments de la diagonale.
Tous les termes seront du second ordre au moins, sauf dans
\ dxx dyxJ \ dx2 dyj \ dxx dyj \ dx2 dy2J
\dx-t dyi
c'est-à-dire \, aux termes près en £*.
91. Adoptions de lois probables. — De tout ce qui précède, il résulte qu'il faut apporter un très grand soin à définir le choix de la loi de probabilité qu'on adopte.
La probabilité pour que x soit compris entre x0 et xt
l48 CHAPITRE VIII.
s'exprime par une intégrale
/ cp ( x ) dx ;
cp (x) sera une fonction sur laquelle nous devrons faire des hypothèses pour connaître la loi de probabilité, mais, en général, oiî-sera conduit à regarder cp( x) comme continue.
En général, la probabilité que x satisfasse à une condition donnée dépendra du choix de cp; cependant, il n'en est pas toujours ainsi, et certains problèmes sont indépendants de la loi de probabilité.
Exemple. — La probabilité pour que x soit incommensurable sera toujours égale à i, quelle que soit la fonction continue a> que l'on choisisse, et celle pour que x soit commensurable, toujours infiniment petite.
92. Second exemple. — Soit une roue divisée en un très grand nombre de parties égales, alternativement rouges et noires; imprimons-lui une rotation rapide. Lorsqu'elle s'arrêtera, une de ses divisions se trouvera en regard d'un point de repère fixe : quelle est la probabilité pour que celte division soit rouge ou noire?
Pour être complètement résolu, le problème exigerait la connaissance d'une fonction arbitraire; il dépendra de l'impulsion, de la vitesse angulaire initiale. La probabilité pour que cette vitesse soit comprise entre w0 et coj est
la fonction cp étant entièrement inconnue.
D'un autre côté, la roue aura tourné d'un angle total 0. La
APPLICATIONS DIVERSES. l49
probabilité pour que B soit compris entre 90 et 0A est f(9)dd.
Nous ne savons rien non plus sur f(9). Néanmoins, la probabilité, pour que la division obtenue soit rouge, sera
toujours très voisine de elle est donc indépendante de/.
Je suppose que chaque division corresponde à un angle ô; je divise l'axe des abscisses en parties égales à s, et, par les points de division, je mène des ordonnées jusqu'à la rencontre de la courbe
Comme les divisions changent de couleur, je couvre de hachures les aires qui correspondent aux divisions rouges, par exemple.
La probabilité cherchée sera le rapport de l'aire couverte de hachures à l'aire totale.
Fig. i5.
Quelle que soit la forme de la courbe, quand le nombre des divisions augmente indéfiniment, ce rapport tendra
vers -
Soit, en effet, A l'angle maximum dont .la roue peut tourner de telle sorte que 6 < À. Supposons la fonction f{9) continue èt admettant une dérivée. Admettons de plus que cette dérivée ne dépasse pas un certain maximum, M. Donc
Je divise A en n parties égales; soit s l'une d'elles. On a
Considérons deux divisions consécutives : la différence des deux aires est plus petite que e (/j. — [x') où y. et \iJ désignent respectivement le maximum et le minimum de f(0) dans cet intervalle. Or (/jc — est plus petit que 2Me : la différence des deux aires est plus petite que 2Me2.
Comme il y araires couvertes de hachures, il faut multiplier par ^ pour avoir la différence des deux aires totales,
ce qui donne Me-n ou MAe.
La différence des deux aires tendra donc vers zéro avec
e et la probabilité sera bien -•
Si ou ne savait rien du tout sur 9 ou sur/, on ne pourrait rien calculer : c'est parce qu'on sait quelque chose que l'on peut entreprendre le calcul. Mais ici il nous suffit de savoir que /a une dérivée limitée.
83. Troisième exëmple. — Considérons un grand nombre de planètes, dont les orbites soient sensiblement circulaires. Soient a le moyen mouvement de l'une de ces planètes, b sa longitude à un instant donné pris comme origine. Sa longitude /au temps ^ sera :
l — at 4-( b.
APPLICATIONS DIVERSES. l5l
La probabilité pour que a et b satisfassent à certaines conditions est
y{a,b) dadb.
Je dis qu'au bout d'un temps très long les planètes seront également distribuées dans tous les signes du zodiaque.
La probabilité pour que / soit comprise entre des limites données sera donc indépendante de f.
Cherchons la valeur probable d'une fonction eiwl : si. m est différent de zéro, la valeur probable tendra vers zéro quand / augmentera indéfiniment. Cette valeur probable est représenléè par
j* j* eim{at+b) o(a,b) dadb.
Intégrons par parties; il vient
Çeim\at+b) r reimiat+b) fa
/ — — cd db — / / — : 1-dadb.
■ J : imt 1 J J uni da
Si nous supposons seulement 9 continue, les deux termes ci-dessus tendront vers zéro.
Je demande la valeur probable d'une fonction périodique quelconque. / (/). La formule de Fourier nous donne
Chacun des termes de cette série aura pour valeur probable zéro, sauf le terme constant A0. La valeur probable de /'(/) sera donc
Supposons qu'on ait
