Autre exemple. — Soit une droite AB, dans un plan
ses coordonnées langenlielles sont - et Étudions la
probabilité pour que cette droite ait une certaine position. La probabilité pour que a et b
prennent toutes les valeurs 0i ^ B
comprises entre certaines limites peut être, par une première convention, représentée par
.y jda db, Fig.
où b = alangco, si o> est l'angle de AB avec Oa\
On peut aussi dire: w peut prendre toutes les valeurs possibles; d'où pour la probabilité
fjdad,,,
Ce n'est pas la même chose, et cette seconde convention, qui, après un examen superficiel, pourrait sembler aussi légitime que la première, est en contradiction avec elle; en effet, le déterminant fonctionnel est
/ / dadb— I ( — %—dadw.
J J J J cos2oo
70. Problème du bâton brisé. — On partage un bâton, de longueur i, en trois parties x, 7, z.
Nous admettrons que la probabilité pour que x soit compris entre x et x-\-dxesl, par définition, proportionnelle à dx; entre x0 et xu elle sera proportionnelle à xx — x0.
De même la probabilité pour que y soit compris enire y0 et j, sera, par définition, proportionnelle à yx — y0. . La probabilité pour que x et y satisfassent à certaines conditions est alors l'intégrale
étendue à toutes les valeurs de x et de y qui satisfont à ces conditions.
On pourrait supposer également que celte probabilité est
puisqu'on peut prendre x et z, ou bien y et z, comme variables.
Ces trois définitions sont ici équivalentes; on a
et le déterminant fonctionnel est bien égal à i, puisque
ou bien
71. Quelle est la probabilité pour que x, y et z forment un triangle ?
Traçons un triangle équilatéral dont la hauteur soit i :
PROBABILITE DU CONTINU.
d'un point M, intérieur à ce triangle, abaissons des perpendiculaires sur les trois côtés. La somme des trois longueurs ainsi obtenues sera égale à la hauteur du triangle, c'est-à-dire à i ; elles représenteront les trois morceaux, x, y, z, du bâton.
Le point M peut être considéré comme représentant le mode de division du bâton : quelle est la probabilité pour que ce point soit à l'intérieur d'une certaine aire?
La probabilité pour que x soit comprise entrer et x -\-dx, et pour que y soit comprise entre y et y -\-dy, est proportionnelle à dxdy. Le point M sera alors dans une aire comprise entre deux paral- A lèles à BC menées à des distances x et x ->r dx de BC, et deux parallèles à AG
Fig. 5.
Fig.
menées à des distances y et y + dy de AC. Le parallélogramme ainsi formé a pour angles i2o°et6o°,et son aire est
dx dy sin 6o°
La probabilité sera, dans ce cas, proportionnelle à l'aire du parallélogramme; et, en général,
elle sera proportionnelle à l'aire envisagée.
Le point M devant être .à l'intérieur du triangle ABC, la probabilité pour qu'il soit à l'intérieur d'une certaine aire est le rapport de celte aire à la surface du triangle.
Joignons par des droites les milieux A' B' C des côtés du triangle. M doit être à l'intérieur de A'B'C pour qu'on.
puisse former un triangle avec r, /, z ; si le point M est sur l'un des côtés de A'B'C, l'une des équations suivantes est satisfaite,
si le point M est en dehors de A'B'C, l'une des trois grandeurs x, y, z est plus grande que la somme des deux autres. La probabilité pour que l'on puisse former un triangle
avec x, y, z est donc ~
72. Problème de l'aiguille. — Sur une feuille de papier, sont tracées un certain nombre de droites parallèles et équidistantes ; leur distance commune est cl, et l'on jette au hasard sur lu feuille une aiguille également de longueur d.
Quelle est la probabilité pour que celte aiguille rencontre l'une des droites?
La question peut se poser d'une manière plus générale.
Fig. 8.
Soient deux axes fixes ox, oy, et une figure fixe F invariablement liée à ces axes.
Soient d'autre part deux axes mobiles OX, OY, et une
PROBABILITÉ £>U CONTINU
figure Fi invariable de forme, mais invariablement liée à ces axes, et par conséquent mobile avec eux.
Définissons la position de la figure mobile par rapport aux axes fixes.
Soient M un de ses points, MP une droite passant par M et invariablement liée à la figure Ft : il suffit de définir la position de MP par rapport à xoy. Cette position est définie par
py
Fig. 9.
les coordonnées x,y du point M et l'angle « de MP avec ox.
La probabilité pour que M satisfasse à certaines conditions est proportionnelle à
dx dy dd).
Pour justifier cette définition, je vais montrer qu'elle est la même quand je prends un autre point M' de la figure mobile, ainsi qu'une autre droite M l".
La droite M P' sera invariablement liée à MP.
Soient l la longueur MM', a l'angle de MM' avec MP et (3 l'angle de M'P' avec MP : /, a, j3 sont des constantes.
La droite M'P' est définie relativement aux axes xoy par
les coordonnées x', y' du point M' et l'angle w' de M'P' avec ox.
Si la probabilité pour que la figure mobile satisfasse à certaines conditions est, d'après la première évaluation,
dx dy d(ji, elle sera aussi
dx' dy' duy' .
Le déterminant fonctionnel est en effet égal à l'unité; on a, par projections,
x' '== x 4- /cos(w -+- a), v'= y -h l sin (m -+- oc), co' ' — w -+- (3,
. ■.. . o . i à(x', y', co') et le déterminant fonctionnel — - — — est
i o — l sin (o -+- a) o i /cos(co + y.)
c'est-à-dire i.
La loi de probabilité est donc la même, quelle que soit la droite MP 'choisie.
73. Si je considère deux figures 9, 9', égales entre elles et invariablement liées aux axes mobiles, la probabilité pour que <p' satisfasse à certaines conditions est égale à la probabilité pour que cp satisfasse aux mêmes conditions. Considérons une droite MP invariablement liée à 9 et une autre droite M'P' dont la position par rapport à 9' est la même que celle de MP par rapport à 9 ; soient x, y, co, d'une part,
PROBABILITÉ DU CONTINU. 129
x'\ y', m', d'autre part, les quantités qui définissent la position de ces deux droites.
La position de 9 est définie par x, y et w ; celle de 9', par x\ y', co\ Pour que 9 satisfasse à certaines conditions, x, y, co devront satisfaire à certaines inégalités.
Pour que 9' satisfasse aux mêmes conditions, x', y', co' devront satisfaire aux mêmes inégalités. A la différence près des notations, on retombe donc sur la même intégrale.
La valeur de la probabilité est donc la même dans les deux cas.
74. On demande la probabilité pour qu'un segment de droite limitée, MP, rencontre les parallèles du problème de l'aiguille. Si une seconde droite, M'P', de même longueur^ est invariablement liée à MP, la probabilité pour qu'elle rencontre les parallèles sera la même.
Si, au lieu deMP, on considère une droite deux fois plus longue, MQ, la probabilité sera doublée, puisqu'elle se compose de deux droites égales à MP, à savoir MN etNQ,N étant le milieu de MQ.
Je suppose qu'on promette à un joueur autant de francs qu'il y aura de points d'intersection de la droite avec les parallèles (1). L'espérance mathématique du joueur avec MQ sera double de son espérance avecMN, puisqu'elle sera celle qu'il tire de MN augmentée de celle qu'il tire de NQ. En général, elle sera proportionnelle à la longueur de la droite.
(l) Biea entendu, si l'une des extrémités de MN tombe sur une des parallèles, cela comptera pour une demi-intersection.
iHo CHAPITRE Vil. — PROBABILITE DU CONTINU .
Si NQ n'est pas dans le prolongement de MN, l'espérance mathématique est encore doublée. L'espérance mathématique est donc proportionnelle à la longueur totale de la ligne, qu'elle soit droite ou brisée, ou même, en allant plus loin, quelle que soit sa forme.
Si l'on promet autant de francs que de points d'intersection de la courbe avec les parallèles, l'espérance mathématique sera ainsi proportionnelle à la longueur de la courbe.
Si la courbe est une circonférence de diamètre d, sa longueur sera tïcI; dans ce cas, il y aura toujours deux points d'intersection., l'espérance mathématique sera donc 2. Pour
une courbe de longueur s, cette espérance sera ~; pour une droite de longueur d, ce sera
75. Revenons sur le paradoxe de J. . Hertrawd relatif à la probabilité pour qu'une corde d'une circonférence soit plus petite que le côté'du triangle équilatéral inscrit.
Traçons une circonférence C, concentrique à la première C et dont le rayon soit la moitié du sien. Plaçons au hasard une droite dans le plan. Si nous adoptons la convention faite lout à l'heure au sujet de l'aiguille, la probabilité dépendra-t-elle d'une nouvelle et troisième hypothèse, ou bien de l'une des deux précédemment examinées?
Je puis supposer la droite fixe elles circonférençesmobiles. La probabilité pour que l'une des circonférences coupe la droite est proportionnelle à sa longueur; la probabilité pour que C' rencontre la droile est donc le rapport des longueurs
des deux circonférences, c'est-à-dire-- On retombe ainsi
sur l'une des hypothèses de J. Bertrand.
APPLICATIONS DIVERSES
76. Prenons encore un problème analogue au problème de l'aiguille :
Sur une sphère S on trace une figure mobile ; quelle est la probabilité pour que cette figure satisfasse à certaines conditions ?
Comment définir d'abord la position de celte figure ?
Soit P0 Ja position initiale, Pi la position finale de la figure mobile : on passe de l'une à l'autre par une rotation convenable, définie par l'axe de rotation et l'angle de rotation.
Soient a, (3, y les cosinus directeurs de l'axe, et 28 l'angle de rotation ; posons
l—cosd, [jl = a sin (9, v = (3sin(9, p = ysiii0,
et prenons jji. v, p comme variables. Elles sont liées par une relation
).2 ± fJL2 -h v2 -h jp*= 1 .
Je retrouve la même relation, si je change les signes de %, v,.p, et il suffit de connaître trois de ces quantités.
Je suppose la probabilité représentée par une intégrale triple
' dp. dv dp
elle sera représentée aussi par
dÀ dv dp H-
Cberchons en effet le déterminant fonctionnel des nouvelles variables X, v, p par rapport aux anciennes fz, v, p, et supposons À défini en fonctions de ji, v, p.
~kd~k~ — [X dp — y dv — p dp.
Le déterminant fonctionnel est
Ainsi, au signe près, par le changement de variables, l'élément de l'une des intégrales triples devient l'élément
de l'autre intégrale, après multiplication par -• Donc 'dpdvdp ^ Çdldvdp
jdpdvdp et y<
donnent donc bien la même définition pour la probabilité.
Voici comment 3e ustifie celte convention : considérons la sphère
Supposons que la probabilité pour qu'un point quelconque de la sphère se trouve à l'intérieur d'une certaine aire
APPLICATIONS DIVERSES. 1 33
sphérique soit proportionnelle à cette aire. Cette aire s'exprimera par l'intégrale
/dx dy Çdxdy cos ni
cos étant le troisième cosinus directeur de la normale à la sphère au point considéré.
Nous avons fait ici une hypothèse tout à fait analogue, car
X2-+- jjl2H- v24- p*-= i
serait l'équation d'une sphère dans l'espace à quatre dimensions.
77. Je suis parti précédemment de la position initiale P0. La rotation X, j*, v, p ne dépend pas seulement de Pt, elle dépend aussi du choix de la position initiale P0.
Je vais démontrer que la probabilité reste la même, si, au lieu de la position initiale P0, on en considère une autre P'0.
La rotation de P'0 à P1 sera définie par X', [x1, v', p', et la probabilité sera . définie par
fdp'dv' dp' J V '
Je dis qu'elle sera proportionnelle à la précédente.
m, n, r définissant la rotation de P^ à P0, la rotation V , [i' , v', p' sera la résultante de deux autres. Les formules connues de la composition des rotations sont
1' ="kl — ix m — vn — pr, fjt.' -— X m -+- y. l — vr + p«, m' —\n -+- [xr -\-vl — pm, p1 — ~k /• « — \xn -h v m ■+• pl.
11 s'agit maintenant de calculer le déterminant fonctionne'
de //, ,u', v', p' par rapport à /., pi. v, p. Je pose
Ici g i, mais je puis supposer à À, \x, v, p des valeurs quelconques au lieu des valeurs véritables. De même
g' = \A'2 + la'2-f- p'2.' Quelles que soient ces valeurs, on a
cr' - a y7* -ww* 4- /i* + /•*, et si /■ ont les valeurs constantes données,
Il s'agit de calculer
en supposant cr = i, c'est-à-dire
0(j.' dp' d\x.' dp d-j dp àv' dv' dv' dp. dv dp dp' dp' dp' dp dv dp
Mais je vais porter le nombre des variables à 4. et considérer, d'une part g, p, v, p, d'autre part g', p1 , v', p'. Comme
APPLICATIONS DIVERSES
a' — a, les dérivées partielles de a seront i, o, o, o
dp.'
dp.'
dp'
dp'
du
àp
dv
dp
dv'
dv1
dv'
dv'
dp
dv.
dp
dp'
dp'
do'
dp'
do
dp
dv
dp
C'est bien le même déterminant fonciionnel ; on peut donc déjà écrire
Évaluons successivement les trois derniers déterminants fonctionnels. Le premier est
de' do' do' do'
dl' dp' dv' dp1
Le second est
Le troisième est
Le produit des trois est donc y> et l'intégrale
d\i' dv' dp'
se transforme en
/d\xdvdp V ■A' X
ou
d^ dv dp
La définition de la probabilité reste donc la même, quelle que soit la position initiale.
78. On demande la probabilité pour que cette figure P0 satisfasse à certaines conditions.
Si on considère une autre figure P'0 égale à la première et invariablement liée à celle-ci, on peut demander aussi la probabilité pour que cette seconde figure satisfasse à certaines conditions. Soient alors A, [i, v, p les paramètres de la rotation qui amène P0 en P), et )/, p.' , v', p' ceux, de la rotation qui amène P'0 en Pj.
La probabilité pour que P0, venu en Pt, satisfasse à certaines conditions, est représentée par
les paramètres X, [x, v, p devant satisfaire à certaines inéga-
La probabilité pour que P0 venu en P, satisfasse aux mêmes conditions est représentée par
lités.
APPLICATIONS DIVERSES
les paramètres >/, \i! , y' , p' devant satisfaire aux mêmes inégalités. Les intégrales, ne différant que par les notations, sont identiques, et la probabilité reste la même.
Les probabilités pour que deux ligures mobiles, égales, et invariablement liées l'une à l'autre, satisfassent à une même condition, sont donc égales entre elles.
79. Choisissons une autre forme où n'apparaîtront pas 1, y., v, p.
Je définis la position d'un point M de la figure mobile par ses coordonnées x, y, s et celle d'un arc de grand cercle MP par l'angle w que fait MP avec MA, MA étant un arc de grand cercle qui passe, par un point fixe A.
La probabilité s'écrira
do est l'élément de surface de la sphère et l'intégrale devient
Cette intégrale doit être étendue à tous ceux des éléments o- de la surface de la sphère et à toutes lesvaleurs de l'angle co qui satisfont aux conditions. En revenant à x et y comme variables, elle s'écrit
où W est une fonction de x,y, z et w. En prenant
dx dy —zda
80. Je dis que la forme de $ reste la même quelle que soit la position de A.
Fig.
dx dy
81. La fonction «I> est indépendante de co. En effet, considérons un autre arc de grand cercle MP', et soit <ù" l'angle de MP' avec MA, a l'angle de MP' avec MP
exprime la probabilité pour que MP satisfasse à certaines conditions.
exprimera la probabilité pour que MP' satisfasse à ces mêmes conditions. Ces deux probabilités doiventêlre égales, <ï> ne dépendra donc pas de ta.
82. La fonction <S> ne dépend pas non plus de xely. Soient en effet do et (h' deux éléments de surface de la
ù)" — Ci) -+- Cf..
La loi de probabilité ne sera pas changée.
APPLICATIONS DIVERSES
sphère égaux entre eux. Soient l,m,?i, r les paramètres d'une des rotations qui change do en do ■'. Soient X, p., v, p ceux d'une rotation qui amène la figure mobile dans une position telle que M soit intérieur à do. Soient }.', jul' , -/, p' ceux d'une ' rotation qui amène M à l'intérieur de de' .
Soient x. y les coordonnées du centre de gravité de do; x1, y' celles du centre de gravité de do' .
Les paramètres //, /jl', v', p seront des fonctions linéaires de X, (u, v, p d'une part, de l, m, n, r d'autre part ; jon n'a, en effet, qu'à se reporter à la formule de composition des rotations citée plus haut. On aura d'ailleurs, comme nous l'avons vu plus haut.
/'dp. dv dp f
d[x' dv' dp'
La probabilité pour que M soit intérieur à do est
do
$ do — ir.
-, C dv- d'i do :,y)de= j —
les paramètres X, ,u, v, p devant satisfaire à des inégalités qui expriment que la rotation correspondante amène M à l'intérieur de do, et l'intégrale étant étendue à toutes les valeurs de ces paramètres qui satisfont à ces conditions. La probabilité pour que M soit intérieur à do' est
