On peut dire encore
La probabilité que la cause G/ ait été mise en jeu, puis que, mise en jeu, elle ait produit l'événement A, est une probabilité composée.
D'abord la cause Ci doit être eh jeu, et sa probabilité 'a priori est bt*; ensuite, mise en jeu, elle donne à A la probabilité p,. La probabilité composée est 57,7?,-.
Mais la question se pose autrement.
Il faut que l'événement se soit produit, et ensuite qu'il
l56 CHAPITRE IX.
doive être attribué à la cause G,-. C'est encore une probabilité composée.
La probabilité pour qu'il se produise est
cj, pi -h mtp2 -h . . . ■+- mn p„ ;
la probabilité (si l'on sait qu'il s'est produit) pour qu'il soit dû à la cause C, étant la probabilité composée pour que l'événement se soit produit et soit dû à la cause C, sera donc
a?(ia,/>,-f- si, />,'-+-. . .-t- rsnpn),
5J, pi
~ V5\ pl -+- 5J2 Pî -+-... -h r3npn
Ou bien encore, partons de la formule
(B)(A si B)r=(A)(B si A), démontrée au paragraphe 12. Ecrivons
(C/)(A si C<) = (A)(Ci- si A).
(C«) c'est la probabilité a priori de la cause, sans savoii si l'effet A s'est produit : c'est gt,.
(A si Ci) c'est la probabilité de l'effet, sachant que la cause d a agi : c'est pt.
(Ct si A) c'est la probabilité a posteriori de la cause, sachant que l'effet A. s'est produit : c'est x.
La probabilité (A) est une constante, indépendante deC/.
L'égalité précédente exprime donc que (C, si A) est proportionnel au produit (C,) (A si C,); c'est-à-dire que x est proportionnel à />,gt,.
97. A l'écarté, un adversaire donne et tourne le roi; quelle est la probabilité que ce soit un grec?
PROBABILITÉS DES CAUSES. \5j
Soient gj, la probabilité a priori pour qu'il ne soit pas grec; gt2, pour qu'il le soit. Dans le premier cas, la probabilité pour qu'il tourne le roi est ^; dans le second, elle est i . La probabilité a posteriori qu'on a affaire à un grec est
Si l'on suppose gt2 = gti, dans l'ignorance où l'on est de
l'honnêteté de son adversaire, cette probabilité est de -•
Elle serait donc énorme.
Fort heureusement, il est permis en général de supposer a priori,
98. Dans une urne, dont la composition est inconnue, il y a N boules; nous effectuons ^ tirages, en remettant chaque fois la boule tirée, et nous ne tirons que des boules blanches. Quelle est là probabilité pour que l'urne contienne n boules blanches?
Soit gt„ la probabilité a priori pour qu'il y ail n blanches et soit pn la probabilité pour qu'on amène /x blanches.
Après les tirages, la probabilité pour que l'urne renferme n blanches est donnée par la formule, et, après la suppression du facteur commun aux deux termes de la fraction, elle est égale à
gt,, nV"
57, I V- -+- GJ2 2^ -+- . . . -h GTN N!1
