Il faut connaître a priori or,, to2, sur les
quelles on peut faire plusieurs hypothèses.
Supposons, par exemple, que toutes les compositions de l'urne sont également probables, c'est-à-dire tous les sr
égaux. Chacun d'eux vaudra — , car il y à N + i com- N + i
positions possibles de l'urne, en comprenant celle où il n'y a aucune boule blancbe. La fraction précédente se réduit à
nV-
Supposons, en second lieu," que l'on ait placé successivement les N boules dans l'urne, les unes blanches et les autres noires, en laissant au sort chaque fois le soin de décider la couleur.
La probabilité qu'on mettra une blanche sera chaque
fois ^, et la probabilité que, finalement, sur N boules, l'urne en contiendra n blanches sera évaluée par la formule
a! (m — oL)\"*
où l'on fera
ce qui donne
Ainsi la probabilité a priori pour qu'il y ait n blanches, sera proportionnelle à un coefficient du binôme, et, dans l'expression de la probabilité a posteriori pour qu'il y ait n blanches, nous n'aurons qu'à faire les nr égaux à ces divers coefficients,
100. Le résultat sera très différent du précédent. Soit N très grand ;
sera un polynôme de degré ^ -h i en N, que je puis réduire
à son terme de degré le plus élevé. — •
La probabilité dans la première hypothèse deviendra ainsi nV-ip. i i)
et, pour p. = 2, par exemple, elle vaudra
Dans la seconde hypothèse, évaluons d'abord sr^/^, pour la même valeur 2 de p.
Évaluons ensuite ie dénominateur
ÇTt I f1 H- S72 2^ . . . -+- GJjj
Pour cela considérons l'expression
1 -+- e^sjj -h e2a:CT2H- eNxGJ>-, qui n'est autre que le développement de («+ex)N.
Je différentie deux fois par rapport à .r
11 suffit de faire a: = o pour retrouver le dénominateur que nous voulons connaître quand [j. = 2.
Ce dénominateur est donc le double du coefficient de x2
lf)0 CHÂIMTHË !X.
dans le développement de (i + erf suivant les puissances de x; or, en nous arrêtant aux termes en x-,
c'est-à-dire
Kr Hx N(N — i) , N^-n
Le terme du degré le plus élevé en N à l'intérieur de la
parenthèse est — x-. Le dénominateur dont nous cherchons o
la valeur est donc approximativement le double de 2N
c'est-à-dire vaut 2N~2 N2.
Ainsi, dans la seconde hypothèse, la probabilité pour que l'urne contienne n boules blanches est
N ! rç» i »!(N— ■■#*■) 1 N2 2*-2'
elle est beaucoup plus petite quedansla première hypothèse.
En effet, comme on l'a vu à propos du théorème de Bernoulli,
XI t w!(N — »)! >
est très petit, sauf quand n et N — n sont sensiblement égaux à p et q, C'est-à-dire ici à ^-
101. Deux joueurs d'échecs ont joué n -h m parties: le premier enagagné n, lesecond m. Si n > m, ondoil supposer le premier plus fort.
Si une nouvelle partie s'engage, le premier aura plus de chances de la gagner.
Quelqu'un de bien informé pourra se représenter par p la probabilité pour que ce joueur gagne. Mais, pour moi qui n'ai jamais vu jouer cet individu, je ne connais pas p; je vais chercher à m'en faire une idée.
La probabilité pour que p soit compris entre jd0 et px se représente par
où la fonction f (p) est inconnue.
La probabilité pour que p soit compris entre p et p -+- dp sera a priori f {p) dp; c'est elle qui correspond à t&,.
A la probabilité pt correspond
La cause considérée est en effet que la probabilité de gagner soit p pour le premier joueur.
La probabilité que ce premier joueur gagne n parties, p étant sa probabilité de gagner à chacune des n -+- m parties, sera
Quelle est la probabilité a posteriori que p est compris entre p et p 4- dpi
Ici xsipi, en remplaçant g par i — p, est égal à
pn(i—p)
Ap)dp.
Là somme des m,pi sera
{nA-m)\ ni m l
f(p)dp;
cette intégrale doit être prise de o à i, car la probabilité p est comprise certainement entre ces limites. On fait généralement l'hypothèse
faute d'autres renseignements.
L'intégrale* s'évalue alors simplement; elle devient
(n-hm)l rl
L'on est ramené à l'intégrale eulérienne de première
espèce
les T sont ici des factorielles, et celte expression n'est autre que
ni ml
Ainsi l'intégrale qui représentait la somme des gt, ■ pt est simplement égale à /f + ^ t > el 'a probabilité a posteriori pour que /> soit compris entre /? et/? -h- d/> est
*(P)dP = ~nTm~l Pnil-p)'"dP'
102. Quelle va être la probabilité pour que ce joueur gagne la partie suivante?
Cette probabilité s'obtient facilement. La probabilité pour que p soit compris entre p et p -+- dp est 9 (p) dp; la probabilité, lorsqu'il en est ainsi, de gagner la partie suivante pour le joueur est p; en vertu de la probabilité composée, la réunion de ces deux conditions a pour probabilité />cp (p)dp.
On intégrera cet élément de o à i, d'où
f p<?{p)dp.
Si l'on remplace <p(/?) par sa valeur, il vient
C'est encore une intégrale eulérienne, et l'on arrive à
fn + w + i)! (n-+-i)\m\ ni ml (n -+- m h- 2 ) !
ou
Si j'avais appliqué le même raisonnement à un jeu de hasard, je n'aurais pas eu le droit de supposer f(p) = i. A
priori, en effet, p devait égaler l-> Donc / (p) devait être
infini pour p — ^-
103. Représentons par N le nombre .total des petites planètes; parmi elles, un certain nombre M sont connues. Dans une année, on en observe n parmi lesquelles m planètes connues.
On demande la valeur probable de N.
La valeur de N ne peut différer beaucoup de^^> mais
cette évalualion au jugé ne suffit pas : il faut s'occuper de l'écart probable entre le nombre véritable et le nombre probable.
Voici comment nous procéderons :
1 64 CHAP1TRK IX.
En premier lieu, nous supposerons connue la probabilité pour que, pendant l'année d'observation, une planète existante ait élé observée; soit p cette probabilité : nous admettrons qu'elle est la même pour les planètes connues et inconnues.
Comme nous avons observé n planètes, la valeur probable
de N semble, au premier abord, devoir être égale à^; mais
il n'est pas possible que cette valeur soit tout à fait exacte : les nombres i, 2, N ont des probabilités propres que j'appelle w„ gj2, crN, et la valeur probable de N sera :
57, -f- 2ST,H-. . .H- NffTj».
Si l'on suppose p donné, et tous les nombres t, 2, N également probables, on arrivera, comme nous le montrerons, à ■ n ~^ ^ pour la valeur probable deN.
Ce premier point résolu, nous nous poserons un autre problème; nous avons supposé p connu, nous ne le supposerons plus, et nous déterminerons ensuite la valeur probable de N en fonction de m. et M, ce qui nous donnera
,' , , ... M« un résultat très voisin de — > comme nous 1 avons prévu m
plus haut.
104. J'appelle donc srN la probabilité a priori pour qu'il y ait N planètes; py la probabilité pour que, s'il y a ainsi N planètes, on en observe n dans l'année.
La probabilité a posteriori pour qu'il y ait en tout N planètes est une probabilité de cause; elle s'exprime par
Comme première hypothèse sur les es, supposons-les tous égaux; la formule précédente se réduit à
Pour calcaler />N, appliquons le théorème des épreuves répétées. La probabilité que, sur N planètes, on en observera n dans l'année est
rt!(N — n)
p étant la probabilité pour qu'une planète, si elle existe, soit observée; q la probabilité pour qu'elle ne le soit pas.
n est une valeur constante : c'est la plus petite que puisse prendre N. Faisons croître N indéfiniment,
Ip^p'^ —pnq -+- — — p*q-+...
Si j 'i ntroduis maintenant la relation p — i — q lPti=p-p-(^)=L:
Avec l'hypothèse faite sur les cr, la probabilité pour qu'il y ait N planètes est donc/?/>N.
. 105. La valeur probable de N est
INpy
2ps
Il est u n peu plus simple de calculer la valeur probable de N — n, soit
2(N — n)pjj 2px
Posons
alors
Sjpj, — 2 A p " çrx-/» y
2(N — «)joN = 2A/)"(N- /i)?N-".
Pour évaluer le second membre il suffit de différentier ¥(p, q) par rapport à q, et de multiplier le résultat par q,
dF
qlTq =/?'^?('^ + I)(I-?)-('t+^,;
faisons après cette difierentiation i — q — p. Il reste (n j- i|g
En vertu d'une précédente démonstration, cette expression est égale à DA/?"(N — n) q*~". Comme d'autre part
la valeur probable de N — n est
(n-hi)q
Par suite, la valeur probable de N est
Cette quantité diffère très peu de -> comme il était prévu, En effet
106. Considérons maintenant la valeur de p comme inconnue; je supposerai qu'on veuille connaître quelle est la probabilité pour que p soit compris entre p et p -h dp.
Ici, la probabilité a priori, gt,-, pour qu'il en soit ainsi, sera
&i=f(p)dp,
où /(p) est une fonction inconnue de p.
p£ sera la probabilité pour que, si p a une valeur déterminée, l'événement observé se produise, c'est-à-dire pour que, sur M planètes, on en observe m.
Toutes les valeurs possibles de p sont comprises entre o et 1. On a donc
TSiPi ml (M — m ) !
p'"q"-'nf(p)dp
*3iPi M! rx m M m,. . ,
Quel est le nombre probable pour N? Nous multiplierons le numérateur par - ^~ -? et nous intégrerons de o à i. Cette valeur probable N est égale à
Ç p.nq*-,n?±lf{p)dp
«Ai P
f pmgJA"nf(p)dP
Ce résultat dépend de f(p); supposons cette fonction égale
. n + q ft+i a i, et remplaçons aussi ■ — par — - i.
Posons
XpriigM-m n —Ltfp / p>n q*~m dp
f pm gU-m Jp
(n -+- i) Ç pm-xqyi-mdp / pmq^-'ndp
J est le rapport de deux intégrales qui sont encore des intégrales eulériennes.
r(w)r(M-rw + i)
Y(m + i) T(M — m -n) ~ T( M -+- 1 ) T( m + i ) ' r(M-ha)
et par conséquent
Cette valeur est très voisine de » ainsi que nous l'avons
annoncé.
