V. — Les lois du hasard

Tout ce que nous venons de dire ne nous explique pas encore pourquoi le hasard obéit à des lois. Suffit-il que les causes soient petites, ou qu'elles soient complexes, pour que nous puissions prévoir, sinon quels en sont les effets dans chaque cas, mais au moins ce que seront ces effets en moyenne? Pour répondre à cette question, le mieux est de reprendre quelques-uns des exemples cités plus haut.

Je commencerai par celui de la roulette. J'ai dit que le'

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point où s'arrêtera l'aiguille va dépendre de l'impulsion initiale qui lui est donnée. Quelle est la probabilité pour que cette impulsion ajt telle ou telle valeur? Je n'en sais rien, mais il m'est difficile de ne pas admettre que celte probabilité est représentée par une fonction analytique continue. La probabilité pour que l'impulsion soit comprise entre a et a -4- s sera alors sensiblement égale à la probabilité pour qu'elle soit comprise entre a -t-s et a + i s, pourvu que £ soit très petit. C'est là une propriété commune à toutes les fonctions analytiques. Les petites variations de la fonction sont proportionnelles aux petites variations de la variable.

Mais, nous l'avons supposé, une très petite variation de l'impulsion suffit pour changer ia couleur du secteur devant lequel l'aiguille finira par s'arrêter. De a à a -h s c'est le rouge, de a -h e à s-f 25 c'est le noir; la probabilité de Chaque secteur rouge est donc la même que celle du secteur noir suivant, et, par conséquent, la probabilité totale du rouge est égale à la probabilité totale du noir.

La donnée de la question", c'est !a fonction analytique qui représente la probabilité d'une impulsion initiale déterminée. Mais le théorème reste vrai, quelle que soit cette donnée, parce qu'il dépend d'une propriété commune à toutes les fonctions analytiques. Il en résulte que, finalement, nous n'avons plus aucun besoin de la donnée.

Ce que nous venons de dire pour le cas de la roulette s'applique aussi à l'exemple des petites planètes. Le zodiaque peut être regardé comme une immense roulette sur laquelle le Créateur a lancé un très grand nombre de petites boules, auxquelles il a communiqué des impulsions initiales diverses, variant suivant une loi d'ailleurs quelconque. Leur distribution actuelle est uniforme et indépendante de

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cette loi-, pour la même raison que dans le cas précédent. On voit ainsi pourquoi les phénomènes obéissent aux lois du hasard, quand de petites différences dans les causes suffisent pour amener de grandes différences dans les effets. Les probabilités de ces petites différences peuvent alors être regardées comme proportionnelles à ces différences elles-mêmes, justement parce que ces différences sont petites et que les petits accroissements d'une fonction continue sont proportionnels à ceux de la variable.

Passons à un exemple entièrement différent, où intervient surtout la complexité des causes; je suppose qu'un joueur batte un jeu de cartes. A chaque battement, il intervertit l'ordre des cartes, et il peut les intervertir de plusieurs manières. Supposons trois cartes seulement pour simplifier l'exposition. Les cartes qui, avant le battement, occupaient respectivement les rangs r 2 3, pourront, après le battement, occuper les rangs

Chacune de ces six hypothèses est possible et elles ont respectivement pour prohabilités

Pi» P2, Ps, Pi, IH, /V

La somme de ces six nombres est égale à 1 ; mais c'est tout-ce que nous en savons; ces six probabilités dépendent naturellement des habitudes du joueur, que nous ne connaissons pas.

Au second battement et aux suivants, cela recommencera et-dans les mêmes conditions; je veux dire que pu, par exemple, représente toujours la probabilité pour que les trois cartes qui occupaient après. le ne battement et avant le (n +- i)e les rangs 1 2 3, pour que ces trois cartes, dis-je,

occupent les rangs 3 2 i après le (n -+- i)e battement. Et cela reste vrai, quel que soit le nombre «, puisque les habitudes du joueur, sa façon de battre restent les mêmes.

Mais, si le nombre des battements est très grand, les cartes qui, avant le i61' battement, occupaient les rangs 123, pourront, après le dernier battement, occuper les rangs

et la probabilité de ces six hypothèses sera sensiblement la même et égale à ^; et cela sera vrai, quels que soient les nombres yo,, p6, que nous ne connaissons pas. Le grand nombre des battements, c'est-à-dire la complexité des causes, a produit l'uniformité.

Cela s'appliquerait sans changement, s'il y avait plus de trois cartes; mais, même avec trois cartes, la démonstration serait compliquée; je me contenterai ici de la donner pour deux cartes seulement (1). Nous n'avons plus que deux hypothèses

avec les probabilités et p2 =± i —pi- Supposons n battements, et supposons que je gagne i franc si les cartes sont finalement dans l'ordre initial, et que j'en perde i si elles sont finalement interverties. Alors, mon espérance mathématique sera

(Pi — P*)n>

La différence px — p2 est certainement plus petite que i; de sorte que, si n est très grand, mon espérance sera nulle; nous n'avons pas besoin de connaître />, et p2 pour savoir que le jeu est équitable.

(') Voir un calcul plus complet au Chapitre intitulé : Questions

diverses.

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Il y aurait une exception toutefois, si l'un des nombres Pi et p2 était égal à i et l'autre nul. Cela ne marcherait plus alors, parce que nos hypothèses initiales seraient trop simples.

Ce que nous venons de voir ne s'applique pas seulement au mélange des cartes, mais à tous les mélanges, à ceux des poudres et des liquides, et même à ceux des molécules gazeuses dans la théorie cinétique des gaz. Pour en revenir à celte théorie, supposons, pour un instant, un gaz dont les molécules ne puissent se choquer mutuellement, mais puissent être déviées par des chocs sur les parois du vase où le gaz est renfermé. Si la forme du vase est suffisamment compliquée, la distribution des molécules et celle des vitesses ne tarderont pas à devenir uniformes. Il n'en sera plus de même si le vase est sphérique ou s'il a la forme d'un parallélépipède rectangle. Pourquoi? Parce que, dans le premier cas, la dislance du centre à une trajectoire quelconque demeurera constante; dans le second cas, ce sera la valeur absolue de l'angle de chaque trajectoire avec les faces du parallélépipède.

On voit ainsi ce que Ton doit entendre par conditions trop simples; ce sont celles qui conservent quelque chose, qui laissent subsister un invariant. Les équations différentielles du problème sont-elles trop simples pour 'que nous puissions appliquer les lois du hasard? Cette question paraît, au premier abord, dénuée de sens précis; nous savons maintenant ce qu'elle veut dire. Elles sont trop simples, si elles conservent quelque chose, si elles admettent une intégrale uniforme ; si quelque chose des conditions initiales demeure inaltéré, il est clair que la situation finale ne pourra plus être indépendante de la situation initiale.

Venons enfin à la théorie des erreurs. A quoi sont dues les erreurs accidentelles, nous l'ignorons, et c'est justement

parce que nous l'ignorons que nous- savons qu'elles vont obéir à la loi de Gauss. Tel est le paradoxe. Il s'explique à peu près de la même manière que dans les cas précédents. Nous n'avons besoin de savoir qu'une chose : que les erreurs sont très nombreuses, qu'elles sont très petites, que chacune d'elles peut être aussi bien négative que positive. Quelle est la courbe de probabilité de chacune d'elles? Nous n'en savons rien, nous supposons seulement que cette courbe est symétrique. On démontre alors que l'erreur résultante suivra la loi de Gauss, et cette loi résultante est indépendante des lois particulières que nous ne connaissons pas. Ici, encore, la simplicité du résultat est née de la complication même des données.

Nous avons cherché à définir le hasard, et il convient maintenant de se poser une question. Le hasard, étant ainsi défini dans la mesure où il peut l'être, a-t-il un caractère objectif?

On peut se le demander. J'ai parlé de causes très petites ou très complexes. Mais ce qui est très petit pour l'un ne peut-il être grand pour l'autre, et ce qui semble très complexe à l'un ne peut-il paraître simple à l'autre? J'ai déjà répondu en partie, puisque j'ai dit plus haut, d'une façon précise, dans quel cas des équations différentielles deviennent trop simples pour que les lois du hasard restent applicables. Mais il convient d'examiner la chose d'un peu plus près, car on peut se placer encore à d'autres points de vue.

Que signifie le mot très petit? Il suffit, pour le comprendre, de se reporter à ce que nous avons dit plus haut. Une différence est très petite, un intervalle est très petit,

lorsque, dans les limites de cet intervalle, la probabilité reste sensiblement constante. Et pourquoi cette probabilité peut-elle être regardée comme constante dans un petit intervalle? C'est parce que nous admettons que la loi de probabilité est représentée par une courbe continue ; et non seulement continue au sens analytique du mot, mais pratiquement continue, comme je i'expliquais plus haut. Cela veut dire que, non seulement, elle ne présentera pas d'hiatus absolu, mais qu'elle n'aura pas non plus de saillants et de rentrants trop aigus ou trop accentués.

Et qu'est-ce qui nous donne le droit de faire cette hypothèse? Nous l'avons dit plus haut, c'est parce que, depuis le commencement des siècles, il y a des causes complexes qui ne cessent d'agir dans le même sens et qui font tendre constamment le monde vers l'uniformité, sans qu'il puisse jamais revenir en arrière. Ce sont ces causes qui ont peu à peu abattu les saillants et rempli les rentrants, et c'est pour cela que nos courbes de probabilité n'offrent plus que des ondulations lentes. Dans des milliards àex milliards de siècles,, on aura fait un pas de plus vers l'uniformité et ces ondulations seront, dix fois plus lentes encore : le rayon de courbure moyen de notre courbe sera devenu dix fois plus grand. Et, alors, telle longueur, qui, aujourd'hui, ne nous semble pas très petite, parce que sur notre courbe un arc de cette longueur ne peut être regardé comme recliligne, devra, au'1 contraire, à; cette époque, être qualifiée de très petite, puisque la courbure sera devenue dix fois moindre, et qu'un arc de cette longueur pourra être sensiblement assimilé à une droite.

Ainsi ce mot de très petit reste relatif; mais il n'est pas relatif à tel homme ou à tel autre, il est relatif à l'état actuel du monde. Il changera de sens quand le monde sera

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devenu plus uniforme, que toutes les choses se seront mélangées plus encore. Mais alors, sans doute, les hommes ne pourront plus vivre et devront faire place à d'autres êtres; dois-je dire beaucoup plus petits ou beaucoup plus grands? De sorte que notre critérium, restant vrai pour tous les hommes, conserve un sens objectif.

Et que veut dire, d'autre part, le mot très complexe? J'ai déjà donné une solution, et c'est celle que j'ai rappelée au début de ce paragraphe, mais il y en a d'autres. Les causes complexes, nous l'avons dit, produisent un mélange de plus en plus intime, mais au bout de combien de temps ce mélange nous salisfera-l-il ? Quand aura-t-on accumulé assez de complications? Quand aura-t-on suffisamment battu les cartes ? Si nous mélangeons deux poudres, l'une bleue, l'autre blanche, il arrive^un moment où la teinte du mélange nous paraît uniforme; c'est à cause de l'infirmité de nos sens; elle sera uniforme pour le presbyte qui est obligé de regarder de loin, quand elle ne le sera pas encore pour le myope. Et quand elle le sera devenue pour toutes les vues, on pourra encore reculer la limite par l'emploi des instruments. Il n'y a pas de chance pour qu'aucun homme discerne jamais la variété infinie qui, si la théorie cinétique est vraie, se dissimule sous l'apparence uniforme d'un gaz. Et, cependant, si l'on adopte les idées de Gouy sur le mouvement brownien, le microscope ne semble-t-il pas sur le point de nous montrer quelque chose d'analogue ?

Ce nouveau critérium est donc relatif comme le premier, cl, s'il conserve un caractère objectif, c'est parce que tous l<;s hommes ont à peu près les mômes sens, que la puissance de leurs instruments est limitée et qu'ils ne s'en servent d'ailleurs qu'exceptionnellement.