En général, en est-il ainsi
Si les opérations sont sensiblement concordantes, les erreurs sont petites, et tout se passera comme avec la loi de Gauss.
Quelle que soit la forme des fonctions F, si le champ de la variation des u est très restreint, nous pourrons regarder les s comme linéaires.
Pour celte même raison, c est-à-dire si le champ où peuvent varier les u est très restreint, la fonction ty, qui était d'abord si arbitraire, peut être regardée comme constante.
C'est grâce à cet ensemble de circonstances que la méthode des moindres carrés peut être considérée comme applicable, toutes les fois que les observations sont sensiblement concordantes et dénuées d'erreurs systématiques.
168. Ceci posé, voyons comment les calculs doivent être dirigés.
Nous connaissons les fonctions z des u : ceux-ci sont au nombre de /?, et un nombre d'observations n, plus grand que p, nous a donné pour zlt zn les valeurs
Il y a plus d'équations que d'inconnues; cherchons la meilleure manière d'y satisfaire d'une façon approchée.
Une première approximation donnera «/,, «2, . . . , up. Supposons qu elle soit assez bonne pour qu'on puisse négliger le carré de l'erreur commise : soit Z>, cette première approxi-
mation pour ut :
Si nous développons les s, suivant les puissances croissantes des vh d'après la formule de Taylor, et en négligeant les carrés des v t-,
zt— AiA vt + A;2Cî+... + Aip vp 4- Bt;
on aura de la sorte n équations qui sont devenues linéaires. Il faut rendre minimum
Écrivons que les p dérivées par rapport aux p quantités '„ ç2y vp sont nulles :
Or
dzi
~t— = A//, ; dvk
l reste
Ih£Aik(zi— = o.
169. Nous sommes donc conduits à la règle suivante: J'écris les équations ci-dessous qui ne sont qu'approchées :
• H- AipVp
• ■+■ A2p Vp
Bn=Anlv
. .-hAnpf'p
hnA;n
Non seulement ces équations sont approchées, mais elles ont incompatibles puisque n~> p.
Je multiplie les deux membres de la première par hx A,4 ; eux de la seconde par A2ASj; ... ceux de la nièmc par hftA„l t j'ajoute lès résultats membre à membre.
