Si les observations sont indépendantes, cp est le p'ro
duit de deux fonctions. P sera alors la somme de deux fonctions dépendant chacune d'une seule variable; donc le terme en £, rj, disparaît.
Cela veut dire que les ellipses ont leurs axes parallèles aux axes de coordonnées.
Pour que l'écart entre le point visé et le point observé soit indépendant de la direction, l'ellipse devra se réduire à un cercle.
On pourrait encore regarder comme indépendantes l'erreur en abscisse et l'erreur en rayon vecteur.
C'est là-dessus qu'était basée une démonstration de la loi de Gauss, déjà citée au paragraphe 16, et dépourvue de valeur.
161. La méthode des moindres carrés sert à déterminer des quantités uly u2, . .., up qu'on ne peut mesurer directement, mais dont on mesure certaines fonctions zu zi7 zny
*i = Ft (■«,., «24 up),
52 — Fa(«i, u2> . . ., Wp),
Pour les mesures de s2, zn, n observations ont donné xu x2 ao„; on a commis des erreurs. Sur -s, l'erreurfi est
Le problème ne se pose que pour n> p, car pour n=p le système d'équations donne une solution unique ; pour n<Zpf il n'y a pas assez d'équations, et le problème est indéterminé.
Pour n>p, il y a trop d'équations : quelles sont alors les quanlilés les plus convenables à prendre pour les ut
Éliminons les p quantités a ; on est conduit kn — p équations
0,(3,, *„....,*„) = o, 1 = 1, a, . . n — p. Ce sont les équations de condition.
On a parfois avantage à prendre les équations. de condition sous cette forme.
Parfois il est préférable d'exprimer les z en fonction des u.
Nous traiterons un exemple avec l'une et l'autre méthode : le premier relatif aux planètes, le second à un problème de triangulation.
162. La première partie de la méthode des moindres carrés, que nous abordons immédiatement, est de déterminer les vfaleurs les plus convenables des u. Dans une deuxième partie, nous nous occuperons de l'erreur commise.
La cause inconnue est que les quantités u soient comprises entre certaines limites; les quantités observées x( sont elles-mêmes comprisés enlre certaines limites. Appliquons une fois de plus la formule
Pi**i .
xsî est la probabilité a priori pour que la cause ait été mise en jeu, c'est-à-dire ici pour que les quantités u soient comprises entre «i et ut + duif w2 et ui-\-duit .... u,, et up-\-dup. Celle probabilité peut se représenler par
tji(a,, «2, . . ., up)duidui . . . dup.
4» aura des formes variées suivant l'idée qu'on se fera a priori des quantités u : il y a la un très grand degré d'arbitraire.
p( est la probabilité pour que xt soit comprise enlre a?,- et Xi-\-dxiy en supposant que les u aient eu les valeurs que nous leur avons attribuées; iu zif zn étant données en
fonctions des u, la probabilité de l'erreur commise sur cbacune d'elles sera respectivement
«Pi {jri)dyt =<p(a?, — zx)dxu ?2 (y s ) dy, — <p(or2 — «s ) ûte*,
?«(/n)4//i = ?(^«— zn)dxn.
La probabilité /», que nous cherchons est celle pour laquelle toutes ces circonstances se produisent à la fois; c'est une probabilité composée :
Pï=fi(yi)<9î(ys)-- - *Ayn)dyxdji... dy„.
J'abrège un peu l'écriture en posant
dux dut . . . dup —
et d'autre part
dyx dyz . . . dyn — dxx dxt . . . dx„ — d(ù' .
Alors
et
PiZSi^z n<|< du dcù1 piWi \ltydu>d(ùr
Comme on n'intègre que par rapport à du, dwr disparaît.
Telle est la probabilité qu'il s'agit de connaître, à savoir la. probabilité a posteriori pour que «, soit compris entre u( et Ufhdui. Cette probabilité, puisque le dénominateur est constant, est \ voportionnelle à II, fonction des u, et à ^ du qui représente la probabilité a priori et qui est aussi fonction des u.
163. Pour obtenir la valeur la plus probable des quantités u, il faut chercher le maximum de Tl<\>dw.
L'hypothèse la plus simple sur <\> est <]> = i : reste à déterminer le maximum de II.
L'hypothèse la plus simple sur les © est qwe les erreurs suivent la loi de Gauss.
Il sera maximum quand la parenthèse, c'est-à-dire
sera minimum.
C'est une fonction connue des u : les quantités hit hîf hn représentent les poids des observations, et ce qu'il faut rendre minimum, c'est la somme des carrés des erreurs commises, chaque carré étant multiplié par le poids de l'observation correspondante.
164. On arriverait au môme résultat sans admettre la loi de Gauss, pourvu que l'on suppose les erreurs accidentelles petites et les erreurs systématiques nulles.
En effet, supposons les quantités y très petites : quelle que soit la forme attribuée aux fonctions ©, nous serons amenés à quelque chose d'analogue. Il s'agit de rendre maximum le produit des ©,-.
Je suppose©/ paire, et je développe par la formule de Taylor log©,- changé de signe.
Alors
— iog©i(7,) =(7> +A/î +-ciy\
— log©2(j2) —a-^b.yX -+-ctyl +
— log ©„ (yn)=an+ bn yl + cn y}, +
La somme des logarithmes changés de signe doit être minimum, e'esl-à-dire
lai-hl bty\ + -2 dy\ +
Je différence par rapport à uk :
nlbiYi^r1- + 42c,y?4^-L + . • -=o.
J duk J duk
Comme les yt sont supposés très petits, on peut en négliger les puissances supérieures, et tout se passe comme si nous avions à rendre minimum Ib^yf. En admettant donc que la loi de Gauss ne soit pas vraie, la véritable loi n'en sera pas très différente dans l'intervalle utile.
De deux choses l'une, ou bien les observations sont sensiblement concordantes, et, comme nous venons de le voir, la méthode des moindres carrés sera applicable; ou bien, elles ne sont pas sensiblement concordantes, et dans ce cas les observations ne vaudront rien et il n'y aura rien à en tirer.
165. Nous ne saurions cependant nous contenter du raisonnement qui précède, car ce que nous voulons obtenir, c'est la valeur probable des u (et non la plus probable).
La probabilité pour que x soit compris entre x etx-\-dx étant cç>(x)dx, la valeur la plus probable de x est celle qui rend maximum y(x)dx.
La valeur probable de x est/ x ç {x) dx.
La valeur probable de u étant u0, la valeur probable de la fonction z,
2 — Uz,
ne sera pas
Mais si les z sont fonctions linéaires des u, les valeurs
probables des z correspondent aux valeurs probables des u,
3I=Al|a,H- A/s Uï -+■ . . ... 4- A(>Wp-h B4.
Cnrfw représente la probabilité pour que la /"rac quantité iii soit comprise entre iti et aL + Soit t/Jt la valeur probable de uk,
u%=z j CYlukdu.
La valeur probable de z„ soit z% sera
-s? = y CH(A/! «,+ A/iMî-h. . .+ ki,,up-+- B,) dtù
z9i = Ailj' cn«, ■+- A/, j cn«2(/(o + .. .
+ A/p f cnUp + b, y cn^w,
et comme J* Cllt/oj est la valeur probable de l'unité, c'està-dire i,
= A/i «î-^Aft «•.+...•.. + A,„ 4- B,,
1GQ. Je vais supposer d'une part <| Gonstant; d'autre part que la loi des erreurs est celle de Gauss; enfin que les z sont liées aux u par des relations linéaires.
Je vais établir que la valeur probable des u est celle qui est donnée par la méthode des moindres carrés.
Le produit atteint son maximum quand la fonc-
tion P
est minimum.
Soient u\, u\, u°t, les valeurs des u qui rendent celle
M ÉTHODË DES MOINDRES CARRES. -23g
expression minimum. Ces valeurs serontaussi, comme nous allons le voir, les valeurs probables des u. On a
H=Ce-p.
La valeur probable de uk est
— uk
J Hukd(ù
n dtù Jlldu Il faul démontrer que
du)
c'est-à-dire
f Huf
^ U(uk-u0k)du = o.
On a
y£= Xi— zr,
xi est connu, z\ est du premier degré par rapport aux u : P est donc un polynôme du second degré par rapport aux u. P atteint son minimum quand
u2=t*% itk—ul, ....
Cela veut dire que
Pj étant un polynôme homogène et du second degré, par rapport à (ul — «?), (u2 — i^}, . . ., {uk — u°k), et P0 étant la valeur de ce minimum.
Nous avons à démontrer que
Ge~p'.e-^(uk — u°k) du = o.
»4o CHAPITRE XIII.
Ce-p»e-p» est une fonction paire des quantités u£—u°; h h — ul est une fonction impaire. Comme l'intégrale est prise de — » à 4- elle est bien nulle.
Ainsi ces valeurs des u sont non seulementles valeurs les plus probables, mais les valeurs probables.
