Répartition des décimales dans une table numérique

— Supposons qu'on prenne dans une table de logarithmes un grand nombre de logarithmes consécutifs et que l'on considère la troisième décimale par exemple. On verra que les dix chiffres o, i, 2, 3, 9 sont également répartis sur celte liste; et par conséquent la probabilité pour que cette troisième décimale soit paire est égale à ^ • Un instinct invincible porte à le penser, et d'ailleurs on peut le vérifier a posteriori. Y-a-t-il moyeu de rendre compte de ce fait? Envisageons les nombres

où nous donnerons à x toutes les valeurs entières depuis 1 jusqu'à 100000. Considérons la fonction

F (y) étant une fonction qui est égale à 4- 1, si la troisième décimale dey estpaire, et à — 1, si cette décimale estimpaire. Je me propose de démontrer que la valeur moyenne de F (y) est nulle ou très petite.

D'après la déOnitiori de F (y), on a

t. IX.

ce qui montre que F (y) est une fonction périodique de

3ï 4 CHAPITRE XVI.

période ~- \ il en est de même de

DOO

sin (i 0007: ^>-),

fonction que nous envisagerons d'abord. Nous devons donc évaluer la somme

S = — - — ■ ^ sin iooott log ( i -l — — } I

IOOOO L \ IOOOOO/ J

Remplaçons-la par l'intégrale.

J — / sin iooott iog ( 1+ — - — | dx.

10000 Jt L \ 100000/ J

Évaluons d'abord la différence S — J; nous nous appuierons sur la formule deTaylor

9(71 + h) = o(n) -h A ©'(«) 4- "fr ^A) (o<0<i)

d'où

o(x)tfjc — 9(n) 4-

où 0' est compris entre — 1 et 4- 1, où M est le maximum de | o" {x) \ dans l'intervalle considéré. Si nous prenons

?(«) = sin [iooott log (« +

et que nous fassions «= 1, 2, 10000 et que nous ajoutions; il viendra

J S=r lô'H.

QUESTIONS DIVERSES. 3ï5

Qu'est-ce que M? Posons pour abréger

. ce

S0007T log ( ! + — — i =

° \ ÎOOC^" ' J

i ooo / i oo opo

H viendra

<o '(.r) — iooot: — eosy,

1 I OO OOO 1+5

®"(x) =■— (fooott)^ = siny

' v ' K (iooooo)2 (i -+ z)* J

— I0007T- -, — cos y,

(IOOOOO)" (1 + 5 j J

d'où

(lOO)2 (IOO)2IOOO IOOO

2 0' M < = io,

IOOO

12 OOO

Evaluons maintenant la limite supérieure de J. Posons

z — » a = 10007:, u — log(i + £),

tooooo °

d'Où

J = io J* sinaw dz — -ioJ*s\n otu eH du.

L'intégration par parties me donne

J cos otue'1 f"1 cosaw

io a JUii cf.

| j | e^-f-g», ^ ÇHxe*du 2c".

I , IOOOO

— i H > eai = i + ■ =

200000 IOOOOO

Donc

IOOTC

ou, en comparant avec la limite | J — S |,

|S|<— • ioo

234. La démonstration a été donnée sur un exemple très particulier, mais il est aisé d'en apercevoir le véritable sens et par conséquent la portée générale.

On s'est appuyé en réalité sur trois faits :

i° Les dérivées successives du logarithme restent finies dans l'intervalle considéré;

2° Le nombre a — ioooTrest très grand;

3° Bien que grand d'une manière absolue, il est très petit par rapport au nombre îooooo qui figure au dénominateur dans l'expression

On voit que ces mêmes circonstances se reproduiront dans un grand nombre de cas analogues, et que les mêmes raisonnements seront applicables à toutes les fonctions continues. Soit plus généralement à évaluer la somme

où a est un très grand nombre, F une fonction périodique limitée; 3 un nombre très petit et tel que «j3 soit lui-même très petit, et où l'on donne à x toutes les valeurs entières

depuis i jusqu'à ^« Nous comparerons cette somme à l'intégrale

)z= f ¥[<x®{z)]th.

QUESTIONS OlVEnSES. 317

Il viendra comme plus haut

M étant le maximum de la dérivée seconde de F [a© ((3.r)] par rapport à x; or cette dérivée seconde est égale à

(a[3)2F"©'24- <zf32F' ©",

les lettres accentuées désignant les dérivées de F e{, <p par rapport à leurs arguments respectifs a© et $x. On voit que, si ces dérivées sont limitées, J — S est de l'ordre de (a|3)2.

Soit maintenant O (u) la fonction primitive de F (a), de telle sorte que

l'intégration par parties nous donnera

r±,, • dz , G> dz 1 r ^d2z ,

3V*^w/? = 7d^--J*dyd^

ce qui montre que J est de l'ordre ^ • U suffit donc, pour que

notre raisonnement soit applicable, ue ^ et (<zj3)2 soient très petits.

235. Deux difficultés subsistent encore cependant. Le résultat n'est-t-il pas vrai alors même que a (3 n'est pas très petit,

pourvu que (3 et^- le soient. Supposons qu'au lieu de raisonner sur la troisième décimale d'une table à 5 décimales, nous ayons raisonné sur la cinquième, au lieu de prendre

3 1 8 CH\I>5TRK xvr.

nous aurions dû prendre

a — iooooott, Z— >

iooooo

et a (3 n'aurait plus été très petit. Elcependant l'instinct, qui nous pousse à croire que la troisième décimale doit être uniformément répartie, est aussi puissant en ce qui concerne la cinquième.

En ce qui concerne l'évaluation de J, il ne peut y avoir de difficulté même si a [3 n'est pas très petit; on n'aurait donc à s'occuper que de la différence J — S. D'autre part, la fonction périodique F que nous avions définie au début de cette étude et qui s'introduit quand on veut étudier la répartition des décimales dans une table de logarithmes, cette fonction à laquelle nous avions substitué un sinus pour faciliter le calcul, était égale à ± i suivant qu'un certain chillre était pair ou impair. C'était donc une fonction discontinue, et noHJS ne pouvons nous appuyer, dans le calcul de J — S sur ce fait que ses dérivées sont limitées.

On pourrait, il est vrai, développer celte fonction périodique F en série de Fourier, et l'on serait ramené à des sinus auxquels on pourrait chercher à appliquer ce qui précède; mais pour les termes d'ordre élevé de cette série, le nombre a sérail très grand et le produit <*|3 ne serait pas très petit; on retomberait donc sur la première difficulté.

'230. Force est donc de recourir à d'aulres considérations. Soit F(x)une fonction dont les dérivées sont limitées. Formons une table où nous donnerons à x toutes les valeurs multiples de — ' Est-il possible que dans celte table la cin-

quième décimale soil toujours égale à o?On aurait alors

QUESTIONS DIVEBSES. 3ig

où v et n sont des entiers et e< Nous nous appuie-

iooooo

rons sur ta formule connue

F(*- + 2A)-t-F(o:) — aF(a?+ h) — A*F'f>4- 20A) (o<0<ï).

Donnons à a? une valeur multiple de et faisom

ioooo

Soient n, et e,, nz et £2» ^3 ete3 les valeurs de « et e correspondant à xy x-\- h, x-h 2 h; il viendra

Comme e est plus petit que — - — nous pourrons poser 100000 1 1

d'où

100000 n\ -H «3 — 2 ni — N,

Si F" qui est limité n'est pas de l'ordre de 10000, il faut que N = o; ou

«, -4- «,-= 2 7ïg.,

c'est-à-dire que les entiers n, ou encore les nombres qui figurent dans notre table, soient représentés par un polynôme du icr degré; ou encore que les différences secondes de notre table soient toutes nulles. Cela n'est évidemment qu'un cas très particulier, et, pour la plupart des fonctions, on pourra affirmer que cela n'a pas lieu-

3ao

On voit par là, sans que j'insiste davantage, sur quelles bases on pourrait appuyer une théorie de la probabilité de la répartition des décimales dans une table numérique.

237. Mélange des liquides. — Je ne dirai que quelques mots d'une autre question dont l'importance est très grande, mais que je ne suis pas en mesure de résoudre. Considérons un liquide enfermé dans un vase qu'il remplit entièrement. Les molécules de ce liquide sont en mouvement permanent; les lois de ce mouvement sont connues, et elles s'expriment par des équations différentielles que je considère comme données. Soient x, y, z les coordonnées d'une molécule; on aura pour les composantes de sa vitesse

Si le mouvement est permanent, X, Y, Z sont des fonctions des coordonnées x, y, z indépendantes du temps t, et je suppose que ces fonctions soient données. Le liquide étant incompressible, on aura la relalion

Si l'équation de la paroi du vase est ?(•*» y, s) — o, on aura en tcus les points de celte paroi la relalion

dx ~dl

dX dY dV.

dx dy dz

qui exprime que la composanle normale de la vitesse est nulle.

Cela posé, j'imagine que certaines molécules du liquide se distinguent des autres par quelque qualité apparente, qu'elles soient de couleur rose par exemple, tandis que les autres sont incolores; mais qu'elles obéissent d'ailleurs à la même loi de mouvement.

Au temps t==o, elles sont distribuées d'une manière quelconque dans le vase; l'expérience courante nous apprend qu'au bout d'un certain temps elles seront entièrement mélangées avec les autres; elles seront uniformément répandues dans le vase.

Considérons un volume v intérieur au vase; quelle est, à un instant quelconque, la quantité de liquide rose qui y est contenue, ou, si l'on aime mieux, quelle est la probabilité P pour qu'une molécule prise au hasard dans cette région soit rose ? Si la répartition est uniforme, cette probabilité sera une constante, quel que soit le volume v choisi à l'intérieur du vase.

Si l'on envisage deux volumes c, et vt pour lesquels cette probabilité soit Pt et P2, et qu'on appelle P la probabilité relative au volume total vt H- t>2, on aura évidemment

et nous pourrons écrire, pour un volume quelconque,

où l'intégration est étendue à tous les éléments dr du volume i> et où p est la probabilité relative au volume dr.

Cette probabilité p est une fonction de ce, y, z, t définie par l'équation

dp^^dp dt dx

322 CHAPITUE XVI.

Considérons alors deux volumes quelconques v et p', et les probabilités correspondantes P et P'; peut-on admettre que, quelle que soit la distribution initiale du liquide, c'est-

à-dire la valeur de p pour t = o, le rapport -p- tendra vers i

quand t croîtra indéfiniment, et cela d'autant plus vite que les deux volumes v et v' seront plus grands et d'une forme plus simple ?

Si nous ne pouvons admettre cela, pouvons-nous admettre au moins que le rapport

Çy'dt

tend vers i quand T croît indéfiniment?

238. Telle est la question qui se pose et qui n'est pas encore résolue ; je voudrais expliquer en quelques mots ce qui en fait l'importance. Imaginons un système mécanique de situation définie par n coordonnées gtt r/2, ...,.qn; son mouvement satisfera aux équations de Hamilton,

d(fi dV dpi dF

dt dp/ dt dqi

T est l'énergie cinétique, U l'énergie potentielle,

F = T+ U l'énergie totale, et l'on a p,- = • Considérons

7i><72> • • «i Çni Pu Pu - • •» Pn comme les coordonnées d'un point dans l'espace à 2 n dimensions. Écrivons les équations de Hamilton sous la forme

Ces équations seront de même forme que celles du mouvement de notre liquide, car elles satisferont à la condition

analogue à la condition d'incompressibilité. Nous avons donc, pour ainsi dire, à étudier le mouvement d'un liquide dans un vase à 2 n dimensions. Quelle que soit la probabilité de tel|e ou telle situation du système à l'instant zéro, n'allons-nous pas avoir une probabilité uniforme pour celte situation à l'instant t, pourvu que t soif assez grand?

C'est là ce qu'on postule dans la théorie cinétique des gaz, et en particulier quand on veut établir le théorème de Boltzmann-Maxwell. Il y aurait donc un grand intérêt à justifier ce postulat.

239. Le postulat doit être vrai en général; mais il est certain qu'il comporte des cas d'exception. Si les équations différentielles

dx dy dz

comportent une intégrale

F(œ, y, z) = const.,

où F est une fonction uniforme, l'intégrale

étendue au volume limité par deux surfaces

sera une constante; si alors nous envisageons deux sem-

biables volumes v et v\ définis respectivement par les inégalités

et que nous appelions P et P' les probabilités correspon-

dantes, le rapport -p- sera une constante indépendante du

temps, et, comme d'ailleurs la valeur initiale de celte constante est arbitraire, il ne pourra tendre vers i.

Voici comment, dans ce cas, doit être modifié notre postulat. Considérons le volume limité par les deux surfaces infiniment voisines

Soient V(a) da ce volume, V(a)da l'intégrale j pdr correspondante.

Considérons maintenant deux volumes quelconques v' et v" . Soient P' et P" les deux probabilités correspondantes. Soient \'(a)da le volume commun à V(a) da et à v'% et de même \"(a) da le volume commun à V(a) <fo et p"; on aura pour'/ = oo

En d'autres termes, dans chacune des couches infiniment minces, définies par les inégalités a < F < a -+- da, la probabilité sera finalement répartie d'une manière uniforme, mais |a « densité » de cette probabilité finale variera d'une de ces couches à l'autre.

C'est précisément celte circonstance qui se présente dans le cas des équations de Hamilton qui admettent l'équation des forces vives F — const.

a < F < a -+- da.

QUESTIONS DIVERSES. 3a5

Mais ce n'est pas là la seule exception possible. Supposons que les équations n'admettent pas l'intégrale générale F — consL, mais qu'elles admettent l'intégrale particulière F = o, c'est-à-dire que l'équation F = o entraîne la suivante,

v dF vdF „d¥

dx dy dz

Alors la surface fermée F = o divisera le vase en deux régions; dans chacune de ces régions; la probabilité -sera finalement répartie d'une manière uniforme, mais la densité de cette probabilité finale ne sera pas la même dans les deux régions.

240. Autre cas d'exception. Pour bien le faire comprendre, je prends d'abord un exemple particulier. Je suppose d'abord qu'il y ait une intégrale F = const. et que la surface F = o soit un tore. Si le postulat était vrai, même avec la modification envisagée au numéro précédent, la probabilité finale devrait être uniformément répartie dans la couche infiniment mince comprise entre les deux surfaces F = o et F == s, où e est très petit. Pour représenter la position d'un point sur le tore F=o, nous nous servirons de deux angles; l'un 9 sera la longitude, l'autre co sera l'angle compté sur la section méridienne et qu'on pourrait appeler la latitude s'il ne variait de o° à 36o°, au lieu de varier de — 900 à + 90°. Soient alors

dt ' dt

les équations différentielles du mouvement, et supposons d'abord que <I> et Si soient des constantes. Nous pouvons supposer que la surface F = £ a été choisie de telle sorte

3î6 CHAPITRE XVI.

que ces équations soienl compatibles avec la condition d'incompressibilité (cela revient à supposer que la distance riormale des deux surfaces Frro et F = e est en raison inverse de la distance à l'axe de révolution). Nous aurons alors

Asin(m4> + ni2)i+Bcos(w$ + «£î)<,

où

Il est manifeste que cette expression oscillera sans tendre vers aucune limite déterminée. Le premier postulat n'est doncpasvraî dansce cas. Il n'en estpasdcmôme du deuxième

postulat qui se rapporte à l'intégrale / Pdl. Nous avons

en effet à envisager l'expression

qui est égale à

^ j sin(mO -+- nQ,)tdt^- - j

cos(m<&+ n&)tdt.

Cette expression tend vers zéro quand ï grandit indéfiniment, sauf dans Je cas où m<î> -j- n£2 est nul.

Or mQ> 4- n£l peut s'annuler d'abord si 0 et Q étant com-

mensurables entre eux, le rapport ^ est égal à — ~ Dans

ce cas, la trajectoire décrite par une molécule liquide est une courbe fermée, ayant pour équation

F = o, F!=const.;

nous n'avons donc plus seulement une intégrale uniforme, mais nous en avons deux, et nous retombons sur le cas d'exception du numéro précédent.

Le coefficient »i$ -+- nQ peut encore s'annuler si 3ret Œ sont incommensurables et si m et n sont nuls. Soit alors 6 une fonction périodique quelconque de w et de o; envisageons sa valeur probable

U(t)= pQ&dco0do0

et l'intégrale

J = t!t f Tl(t)dt.

Nous pouvons développer & en série de Fourier. À chacun des termes de cette série correspondra un terme de J. D'après ce qui précède, tous ces termes de J tendront vers zéro pour ï très grand, sauf le terme où m — n = o, c'està-dire celui qui correspond à la valeur moyenne de ©, au terme constant de la série de Fourier.

Un raisonnement tout pareil à celui du paragraphe 239

nous montrerait que cela signifie que la probabilité représentée par l'intégrale / <t>dt est uniformément répartie.

241. Il est essentiel de se rendre compte des véritables raisons de la nouvelle exception que nous venons de signaler. Considérons une des molécules de noire liquide qui occupera au temps o le point x0, y0, z0 et au temps t le point x, y, z; considérons ensuite les molécules qui au temps o remplissent une spbère de rayon £ ayant pour centre le point x0, y0, soî au temps t elles rempliront un volume très petit; ce volume, si e est infiniment petit, sera assimilable à un ellipsoïde ayant pour centre le point x, y, z.

Comment se comportera cet ellipsoïde quand on fera varier tl En général, ses axes deviendront de plus en plus inégaux, de telle sorte que le rapport de ces axes tende vers l'infini. Cela est essentiel pour que le postulat soit vrai; dai.o ie cas d'exception signalé, il n'en est pas ainsi; si nous appelons x0, y0, z0 les coordonnées initiales d'une molécule, et que nous décrivions, du point x0, y0, z0 comme centre, une sphère de rayon s, cette sphère découpera sur la surface du tore une aire qu'on pourra assimiler à un cercle de rayon très petit. £)uand ^'croîtra, cette aire va se déplacer sur la surface du tore en restant assimilable à une petite ellipse; mais l'aplatissement de cette ellipse, au lieu de croître sans limite, va osciller entre certaines limites, ainsi qu'il est aisé de s'en rendre compte. Si nous considérions pour ur instant w et cp comme les coordonnées d'un point dans un plan, nous aurions une représentation de la surface de notre tore sur un plan; notre petite ellipse serait alors représentée sur le plan par une autre petite ellipse qui

QUESTIONS DIVERSES. 3ag

resterait toujours égale à elle-même; si donc nous revenons à l'ellipse infiniment petite tracée sur le tore, le rapport de ses axes ne dépendra que du rayon du parallèle du tore sur lequel se trouve son centre, en d'autres termes ce sera une fonction linéaire de cos w; ce sera donc une fonction périodique du temps.

242. Voyons maintenant un exemple où cette exception ne se présente pas, mais en nous bornant toujours à un cas particulier. Reprenons notre tore F = o, et nos équations

dt ' dt ~ '

mais sans que <& et Q soient des constantes; nous pourrons toujours disposer de la surface F =: s de façon à satisfaire à la condition d'incompressibilité. Supposons

où a et (3 sont deux constantes dont le rapport est incommensurable et M une fonction périodique de o et de co qui ne peut ni s'annuler, ni devenir infinie.

Nous pourrons introduire une fonction auxiliaire t telle que

da> do 0 dx __

—f- = a, — = p, -t- = M, dx dx r dt

d'où

tp0,

C dx

— est une fonc':on de t, et déplus une fonction périodique

de w0 et de cp0. Considérée comme fonction de x, elle est développable en série trigonométrique de la forme

2k cos(yt -+- h)

33o CHAPITRE XVI.

où les coefficients ne sont pas entiers; c'est ce que M. Esclangon appelle une fonction quasi -périodique ; on tirera de là

t — A0t -f- /(T, co0, <p0),

/étant une fonction quasi-périodique, et ensuite (dans certains cas)

f étant une fonction quasi-périodique de t. Si A« dépendait de <o0 et de 90, l'analyse pourrait se faire sans difficulté; mais il n'en est rien. A„ qui est le terme indépendant de t,

c'est-à-dire de et de cp dans le développement de gj

ne dépend ni de w0, nî de <p0.

Considérons la différence

/l ( t, W0 -h £, (p0 4- Y) ) — /, ( t, O)0, cp0 ),

où e et yj sont très petits; c'est encore une fonction quasipériodique; si cette fonction reste limitée quand t varie de — 00 à -h 00, nous retrouverons des résultats analogues' à ceux, du numéro précédent, et le postulat ne sera pas vrai. Si au contraire cette fonction quasi-périodique peut croître au delà de toute limite (et j'ai montré daTjs le Bulletin astronomique. Tome I, qu'il y a des fonctions quasi-périodiques pour lesquelles cela arrive) le postulat est probablement vrai, mais nous rencontrerions pour l'établir toutes les difficultés qui s'attachent à la théorie des fonctions quasi-périodiques.

lien serait encore de même si nous supposions, d'une façon plus générale,

.et et (3 étant des constantes, e une constante très petite, O et i2 des fonctions périodiques de 9 et de w. On pourrait alors intégrer par approximations successives en développant suivant les puissances de e, et l'on trouverait

9 = at + f {£, o>0, cpo).,

CO — bt-h/i(tf G)0, Cpo)»

a et b étant des constantes, / et /, des fonctions périodiques par rapport à wa et à <p0 et quasi-périodiques par rapport à t. Seulement, ici encore, a et b ne dépendraient pas de w0 et <p0, de sorte que nous retrouverions les mêmes difficultés.

2^3. Les difficultés que nous avons rencontrées dans ce cas si simple montrent celles qui nous attendraient dans le cas générai. Disons quelques mots seulement d'un mode de raisonnement par à peu près auquel on pourrait être tente d'avoir recours. Divisons le volume du vase en un nombre très grand n de volumes égaux; soient ?■„ p2, ...,<'„ ces volumes; soit />, la probabilité pour qu'une molécule se trouve dans le volume t\ ; soient

^Yl ^21 • • • » Xn

n variables auxiliaires et considérons l'expression P =z pla;l-}- p2xn-h . . . ~h pnxn.

Soit-^.* la probabilité pour que. la molécule se trouve à l'instant t-hr dans le volume en admettant qu'on sache qu'elle se trouvait à l'instant t dans le volume. t>*. Si. alors la loi de probabilité, à l'instant t, est représentée par l'expression P, elle sera représentée, à l'instant £-hT, par l'expression PS, qui représente ce que devient P quand on

lui fait subir la transformation linéaire S, c'est-à-dire quand on y change xk en

q\.kXx-± q*.kx, + . . .+ qn.kxn.

A l'instant < + elle sera représentée par PS2, et à l'instant t -+- hx par PSA. 11 serait aisé de démontrer que, quand h croit indéfiniment, la loi de probabilité représentée par PSA tend vers une loi de probabilité uniforme.

Mais ce raisonnement prête à une objection grave. Il n'est pas démontré que la probabilité pour qu'une molécule soit à l'instant / -+- 2t dans le volume vt en admettant qu'on sache qu'elle était à l'instant t-h.r dans le volume vk reste la même si l'on ne sait pas du tout où elle était à l'instant t, ou bien si l'on sait qu'elle était à cet instant dans le volume vt par exemple.

J'ai cru devoir le citer néanmoins parce que c'est sur ce type que sont construits beaucoup de raisonnements dans la théorie cinétique des gaz, et que dans certains cas ils peuvent devenir plausibles; ainsi, quand on envisage la probabilité pour qu'une molécule gazeuse subisse une déviation donnée par un choc avec une autre molécule, cette probabilité ne sera guère affectée par les chocs antérieurs subis par la même molécule.

Une grande partie des difficultés disparaîtrait si l'on supposait que les fonctions X, Y, Z ne sont pas entièrement données, mais qu'elles dépendent d'une fonction de t (ou même de plusieurs fonctions) dont la valeur est inconnue, et où l'on ne connaîtrait seulement que la probabilité pour que cette fonction ait une valeur comprise entre des limites, données, a et a da, par exemple. On pourrait alors raisonner à peu près comme nous l'avons fait à propos du battage des cartes.

Prenons un exemple dans la théorie cinétique des gaz. Supposons des molécules gazeuses enfermées dans un vase en forme de parallélépipède rectangle, pouvant choquer les parois, mais ne pouvant se choquer entre elles. Si elles ont toutes la même vitesse, elles ne seront pas uniformément réparties dans le vase au bout d'un temps quelconque, si elles ne le sont pas au temps t — o. Elles le seront, au contraire, si leur vitesse varie suivant une loi de probabilité quelconque, suivant la loi de Maxwell, par exemple, et cela quelle que soit cette loi.