Je forme l'équation caractéristique du nombre P PX=coX

et je me propose de montrer d'abord qu'elle a une racine égalé à 1, et toutes les autres plus petites que 1 en valeur absolue.

Soit en effet

P\ = ly£er,

on aura

les indices i, k et h étant liés par la relation e/ceh — eh de sorte que, si j'écris

les phi ne seront autre chose que les ph dans un autre ordre. L'équation (2) nous donnera alors

(3) 2,ph.iXh-=(ùXi.

Nous pourrons satisfaire à ces équations (3) en prenant P. 20

3o6 CHAPITRE XVI.

tous les xt égaux entre eux, d'où nous déduirons

Mais

lphJ—lph—\,

d'où &) = i ; ce qui montre d'abord qu'il y a une racine égale à i.

En ce qui concerne les autres racines, les équations (3) nous donneront

(4) 2\P/U#h\ = \<»aiii

ou, puisque tous les p sont réels et positifs,

2p/u\xh\ï\<»\\mi- Ajoutons toutes ces inégalités; il viendra ^nphj\Ml\^\M'

Mais

Donc

2>l!hph;i\xh\=î\a:k\r

d'où d'où

Ainsi a'ucune racine ne peut être plus grande que i en valeur absolue.

229. Soit w une racine différente de i ; considérons un nombre complexe appartenant à celle racine w, c'est-à-dire, d'après la phraséologie adoptée par M. Carlan, un des

nombres X, X1? tels que

PX = wX, PXjWwXi + eiX, je dis que, pour tous ces nombres complexes,

En effet, remplaçons dans tous nos nombres complexes toutes les unités complexes e£ par l'unité ordinaire; les égalités qui peuvent exister entre ces nombres complexes subsisteront, Si l'on a

P = %piet) X == 2&ie£, Xt = Ixj eh

ces nombres complexes après la substitution deviendront respectivement

et nos égalités deviendront

et par conséquent, si w n'est pas égal à i,

230. Nous avons dit qu'il y a une racine égale à i ; il reste à savoir s'il ne peut pas y avoir plusieurs racines dont le module soit égal à i , ou encore si r n'est pas racine multiple. Pour que l'inégalité (4) se réduise à une égalité, il Faut que tous les X( aient même module, et, comme ces xt ne sont déterminés que par leurs rapports, nous pouvons supposer qu'ils sont tous réels et positifs. Gomme les p sont tous réels et positifs, il en sera de même de w, c'est-à-dire que nous aurons

Soit alors Xj le plus grand de tous les xc; nous aurons

lph.jxh< I phJ Xj — Xj,

cette inégalité ne pouvant se réduire à une égalité que si tous les p/tj sont nuls, sauf ceux qui multiplient un xh égal à xj. Mais l'équation (3) nous donne

- Ph.j Xh — W Xj —Xj.

Nous devons donc conclure que

p,,.j=o si xh<xj,

ce qui nous montre déjà que, si aucun des p£ et par conséquent aucun des phJ n'est nul, tous les x£ seront égaux.

Nous dirons que la permutation Sjappartientà la catégorie C, si x£ est égal à xJ} c'est-à-dire au plus grand des x.

Je dirai d'autre part que la substitution S* appartient à l'ensemble E si, toutes les fois que Sy appartient à la catégorie C, il en est de même de

Sft = S*1 Sy.

La condition nécessaire pour que p,. — p,tj puisse ne pas être nul, c'est alors que S/, appartienne à l'ensemble E.

Je dis maintenant que l'ensemble E constitue un sousgroupe de G. Si en effet S* et Sc appartiennent à cet ensemble, cela veut dire que S y ne peut appartenir à G, sans qu'il en soit de même de S/,-1 S,- et de Se 1Sy. Mais alors il devra en être de même de

S/;1(S;1Sy) = (ScS/,)-1Sy,

ce qui veut dire que ScSa- appartiendra aussi à C.

Donc la circonstance qui nous occupe ne pourra se préenter que si tous les pk sont nuls, sauf ceux qui corres-

QUESTIONS DIVERSES, 3og

pondent aux permutations d'un certain sous-groupe, c'està-dire si l'on sait d'avance que le joueur en battant les cartes n'exécutera jamais que des permutations appartenant à ce sous-groupe.

Si on laisse de côté ce cas d'exception unique, l'équation PX = X

ne peut être satisfaite que si tous les xt sont égaux entre eux.

231. Une possibilité subsisterait encore ; on pourrait supposer qu'il existe un nombre complexe X, tel que

(5) PX,= X1 + s1X, £l>o;

X = g0 + e, + ... + er

et que la racine i est multiple. Mais de l'équation (i) on détl uit

P^Xt^Xi+wSiX.

Les coefficients de X, et de ^X ne dépendent pas de n; ceux de Pre dépendent de n, mais ils restent réels et positifs, et leur somme demeure égale à i; puisque Pre représente symboliquement la loi des.probabilités après n coups.

Les coefficients de P"X restent donc limités. Au contraire, ceux deXi+«e"iX sont des polynômes du ier degré en n; ils ne peuvent donc être limités; l'équation (5) est donc impossible.

Si nous reprenons l'équation de la forme

PX = wX,

nous avons vu que o> est donné par une équation d'ordre r + i; et qu'à une racine d'ordre de multiplicité \x, appar-

3lO CHAPITRE, XVI.

tiennent \x nombres complexes distincts. La somme des ordres de multiplicité étant r + i, il y aura r h- i nombres complexes appartenant aux diverses racines, et ils seront linéairement indépendants. Un nombre complexe quelconque peui donc être considéré comme une combinaison linéaire de ceux qui appartiennent aux diverses racines.

Dans le cas qui nous occupe, un seul nombre appartient à la racine i, c'est

tous les autres appartiennent à des racines < i en valeur absolue, et la somme des coefficients de ebacun de ces nombres complexes est nulle. Il résulte de là que .tout nombre complexe, tel que la somme de ses coefficients soit nulle, peut être regardé comme une combinaison linéaire des nombres complexes qui appartiennent aux racines < i en valeur absolue.

232. Considérons maintenant une racine <o telle que j a) | < i; nous aurons, si cette racine est multiple,

l»Xr=wX, PX^wX. + eJ, PXî=wX2-f-£iX„

et nous en déduirons aisément

P«X=u»X, P»-Xi'=*»Xk-t n(ù»-itiX,

l>" X, = w"Xa-J- n &>»-« e, X, h- n("~l) w"-J e, s, X ,

Comme w'1, nw"-1, — — - tendentvers zéro quand

n croît indéfiniment, on voit que, pour un nombre complexe X quelconque appartenant à une racine O en valeur absolue, on a

limP«X = o (« = »),

Mais tout nombre complexe est une combinaison de ceux qui appartiennent aux racines < i , pourvu que la somme de ses coefficients soit égale a zéro.

On aura donc encore

limP"X = o

toutes les fois que la somme des coefficients de X sera nulle.

Si au contraire X appartient à ia racine i, c'est-à-dire si tous ses coefficients sont égaux entre eux, on aura

Si X est un nombre complexe quelconque, nous pourrons poser

X = SXo+X', où S est la somme des coefficients de X, où

Xc=— ^— (<?„+ + . + er) r -+- 1

et où la somme des coefficients de X' est nulle. On aura alors

limP"X=:SX0.

Remarquons maintenant que

X9X XXo — SX,).

On aura en effet

X = l^eh x0 = 27T7'

3l2 CHAP1TBE XVI.

où l'on a posé xkj == xt en admettant ejet = ek ou bien

Mais les qui figurent sous le signe 2) sont, dans un ordre différent, les xt eux-mêmes, c'est-à-dire que

d'où finalement

X0X = SX0

et

lim(P»-X0)X = o.

Mais X est un nombre complexe quelconque; nous pouvons donc prendre X = e0, d'où

II reste donc

HinP»='Xw

ce qui veut dire qu'à la limite, toutes les probabilités, c'està-dire tous les coefficients du nombre complexe P" qui représente symboliquement la loi de probabilité, sont égaux. C'est ce que nous nous étions proposé de démontrer.

Je renverrai à quelques-uns des ouvrages où il est traité des nombres complexes et de leurs rapports avec les groupes. Je citerai en première ligne les travaux de M. Frobenius publiés dans les Silzungsberichle de l'Académie de Berlin de 1896 à 1901, et ensuite un mémoire de M. Caria n Sur les groupes bilinéaires et les systèmes de nombres complexes (Annales de la Faculté de Toulouse, t. XII). Je me suis moimême occupé de la question, et je me suis en particulier efforcé de rapprocher les résultats présentés par ces deux

savants éminents sous des formes irès différentes à l'occasion d'une élude Sur l'intégration algébrique des équations linéaires, insérée dans le Journal de Liouville, 5e série,