Point d'impact moyen

Le lieu d'une cible qu'on a les plus grandes chances d'atteindre peut être déterminé au nioyoïi tic rcnscmble des observations des points d'impact. On admet que la direction et le chargement de l'arme restant les mômes, il existe un certain' point de la surlace de la cible, ou mieux une ligne horizontale pour lesquels la probabilité d'un écart donné est la même en dessus qu'en dessous ; on admet également que, relativement à ce même point, ou h la verticale qui passe par ce point, les écarts latéraux ii droite cl à gauche sont également probables.

L'intersection de cette horizontale cl de cette verticale déterminées séparément est le point particulier qu'on désigne j^ar le nom de point d'impact moyin^

Soient Ap Aji, A. les distances borisontales'des it points

d'impact sur une cible verticale, rapportés à la trace GV (fiff. 1} du plan vertical de tir, les distances vers la droite du tireur étant regardées comme positivesi les autres comme négatives ; soient B|,B3...BBy les hauteurs des mêmes points au-dessus d'une horizontale choisie arbitrairement sur là cible. Soit a la valeur moyenne des premières distances et p la moyenne des secondes

Aj+A, A» 2A ,û B.+B, Bn SB

on aura « = ■ i = — et p = = — ;

a et ^ seront l^ibcisse et rordonnée du point d'impact moyen dont on pourra ainsi fixer la position sur la cible.

Le calcul de a, qui n'est que la moyenne algébrique des écarts, revient à faire la somme des écarts à droite et celle des écarts à gauche, à les retrancher l'une de l'autre, à diviser la différence par le nombre total des points d'impact, et à porter ce quotient du côté où la somme des écarts est la plus grande.

28 CALCUL DES PROBABIUTÉS

Il en est de même de p. En général^ pour éviter la distinction des signes phu ou mùin$, il est pins commode de prendre l'origine des abscisses assezà gaache, et celle des ordonnées assez abaissée, pour n'avoir à considérer que des écarts positifs.

Le point d'impact moyen jouit de plusieurs propriétés importantes. Que par ce point soient tracées deux axes parallèles aux premiers; soient a,=At — a^=K^ — a... aB=:AB— a, les écarts berizontaux, positifs ou négatifs, relatifs à Di verticale du point d'impact moyen ; 6i=B, — 62=63— p...6n=Bn — les écarts relatifs à l'horizontale qui passe par le même point, et C2...Cn les écarts absolus, ou les distances au point

d'impact moyen, on aura : c^ = J/o j'-j-ôj^, = l^«2^"t~ ^2 • • • On aura, d'après ce qu'on a déjà vu, 'La = a^-^a^... -{-a,,:=o

et 26=0 ; la somme des écarts absolus sera !Sc=2 l/a^-|-6^ et essentiellement positive. On reconnaîtra aussi que, comparativement à toute autre verticale, la somme des carrés des écarta ou est un minimum (art. à); de même, comparée à toute autre borizontale, la somme des carrés des écarts verticaux ou 2(* est un minimum. Par conséquent aussi, e^-\-e^*.,. ou Se'=:2a'-|'^^' minimum; autrement dit : la tomme iei carrés dti 4earii absolut du point d^impaet moytn est un inmtmtNii, p'est une propriété qui distingue ce point de tous les autres.

Si^ par le point d'impact moyen, on mène une droite quelconque^ et qu'on mesure les écarts des mêmes points, relativement à cètte droite, on peut démontrer que la somme des écarts dans un sens est égale à celle des écarts dans l'autre^ et que la somme des carrés de tous les écarts est un minimum.

En considérant la symétrie qui tend à s'établir entre les divers points d'impact à mesure que le nombre de ceux que l'on considère est plus grand , on peut voir que le rapport entre le nombre des écarts d'un côté, et celui des écarts de l'autre côté, tend constamment à se rapprocher de l'unité, mais ces nombres ne sont pas nécessairement égaux entre eux.

k étant le moyen écart vertical, h le moyen écart horizontal, l le moyen écart absolu, etn le nombre des points, on aura :

(Sa'\i /S6«\i /Sc'\i /lia»4-X6Mi r

APPUaUÉ AU TIR DES PR0IBCT1LB8. 29

on voit qoe J esl rhypotbénase d*an triangle rectaDgle dont A et k sont les cdtés.

Soient d tif i*abscisse et l'ordonnée d*un point quelconque o' {fig. 1) rapportés au point d'impact moyeu o comme origine

et ^rsa distance à ce point ; les sommes des carrés des écarts horizontaux et verticaux rapportés à ce point seront (art. 2,équ. 4).

et la somme des carrés des écarts absolus rapportée au point o' sera :

Iîa«+ S 6» + n (d» -f n =n [l*+g*).

ou d^-\-l^ étant nécessairement positifs^ la somme des carrés des écarts pris par rapport à ud point quelconque est plus grande que s'ils sont pris par rapport au point d'impact moyen, ce qu'on savait déjà ; la différence est égale au carré de ladistanee des deux points multipliés par le nombredes écarts.

Pour avoir Sa', 22^ et Sc^ il n'est pas nécessaire d'avoir calculé chacune des valeurs de a^^ h^,9^„»a2t b^fC^^^^fû suffit de foire les carrés des écarts Â^', Â,*. ». et de B|% B,*.* . relativement à une ligne quelconque ; car on aura^ d'après ce qui a été dit : So'sSA'— fioi^ et de même Sé'sZB^— g étant la distance des points c et o, on aura 2 = Sa' -|- 2^= SA' 4~ SB*— n(a'+p2)ou Sc» = SA'-t-SB»— nj*. Cette relation est la réciproque de la précédente; il et / sont égaux & « et ^, mais de signes contraires.

8. Analogie entre le point cl impact moyen et le centre de gravité; entre la somme des carrés des écarts et le moment d'inertie.

Si l'on imagine qu'en chacun des points touchés de la cible on ait placé un projectile ou une masse qui en soit une fraction donnée, la cible étant sans masse, les coordonnées du centre de gravite de l'ensemble de ces projectiles seront, en conservant les notations précédentes :

X= = — oua; et Y = — i-r=:— oup: -

d'où l'on voit que le point d'impact moyen n'est autre chose

que ie centre de gravité d'un système de points matériels également pesants^ remplaçant chacun un projectile*

Ayant obtenu le point d'impact moyen de plusieurs groupes d^observations^ le point d'impact moyen de l'ensemble des ob» servatîons s'obtiendra en prenant le centre de gravité des masses qui représentent chaque groupe, considérées chacune comme proportionnelle au nombre des observations de chacun d'eux^ ou aux poids de ces observations^ lorsqu'elles n'ont pas le même degré de précision.

L'analogie que nous remarquons s'clend à la somme des carrés des écarts. En effet, le moment d'inertie de diverses masses p., relativement à la verticale qui passe par ie ccotre de

gravitéy sera Sa*.ti; puisque l'on a = A% le moment d'i-

ncrlie, relativement à l'axe des Y, seranjjiA'; le rapport de ce moment d'inertie à la masse n\i. est donc h- et égal au carré du moyen écart. Il en sera de même quant à k^.

Le moment d'inertie des masses^ pris relativement à une ligne passant par le point d'impact moyen^ perpendiculairement

Se'

au plan de la cible, sera Ic-.u. et comme — = /*, on aura

Ic^{JL=fllii*; par conséquent^ ^, qui est égal kh^'\-k'^, est égal au rapport du moment d'inertie à la masse.

On trouverait des rapports analogues entre les carrés des écarts comptés relativement à des parallèles aux axes que nous avons considérés, et par rapport à une droite quelconque pas* sant par ces points.

Si l'on imagine une cible sans pesanteur, et que les points d'impact y soient marqués par de petites masses égales entre elles, et qu'on détermine le centre de gravité de la surface par un procédé quelconque^ on aura obtenu le point d'impact moyen.

Si, maintenant, on fait osciller autour d'une ligne parallèle à l'axe des y, et à une distance connue de cet axe, la cible chargée de ces petites masses de dimensions négligeables devant celles de la cible, et qu'on observe la durée des oscillations, de petite amplitude, on en déduira la valeur de h. Ou déterminerait de même la valeur de k et celle de /.

Il serait impossible, dans rapplication, d'avoir une cihic i^nns

APPLIQUÉ AU m.DËS PROJECTILES. 31

pesanteur ; on serait donc amené à tenir compte de sa masse dans chaque expérience, ce qui rendrait l'opération peu praticable; ces rapprochements n'en sont pas moins remarquables.

9. Causes d'erreurs ou de déviations ajoutées aux causes préexistantes.

Lorsqu'une cause d'augmentation des erreurs à chaque obser^ vation, ou des écarts d'un projectile & chaque coup, est introduite dans les obseryatipns relatives à ces mesures, elle augmente certains écarts et en diminue d'autres; mais la somme des carrés des écarts est toujours augmentée d'une quantité qu'il est facile d'apprécier.

Prenons pour exemple le cas d'un fusil qu'on tire d'abord avec des précautions suffisantes pour annuler toutes les erreurs de direction de l'arme, soit a^, a^,,,, les abscisses desn points d'impact^ 5^, d,... leurs ordonnées' et c^^c,... leurs distances au point d'impact moyen o, que nous supposons être le point sur lequel est dirigée Tarme, au moyen d'une hausse exactemeiit déterminée ù ruvancc. Faisons toujours :

»» = î£, «.= ^cH'=:^ = *•+«•.

Si l'on tire sans les mêmes précautions, %(nid^, (Z,... les absci'sses, , /j. . les ordonnées et g^, g^,.., les distances des points o^,o^...J sur lesquels était réellement dirigée l'arme, par défaut de précautions, dans un nombre m de coups ; soil fait

— z=k.\ —=K^ et — U.

Supposons maintenant que, pour la direction suro^, il y ait» coup9 tirés, nous pouvons admettre qu'ils seront répartis autour du pohit 0|, sensiblement comme ceux que nous avons considères dans le premier cas le sont autour du point o; la somme des carrés des écarts horiiontaux, rapportés à ce dernier point, sera alors ^a^^nd^\ celle des écarts verticaux Sé'+'^/i^ celle des écarts absolus Xc^-\-ng^^.

S\, pour la seconde direction de l'arme sur le point o^, on

32 CALCUL DES PROBAHILITÉS

suppose qu'il y ait également n coups lirés^ le nombre n étant suffisammeot grand, les sommes des carrés des écarts horizoD* tâax, verticaux ou absolus, seront sensiblement les mêmes que dans le premier cas, et les sommes des carrés des écarts ou des distances respectives^ rapportées, comme précédemmeot, au point o, seront :

On aura cgalement, pour la somme des écarts rclal ifs ù la Iroisicme direction :

En opérant de même pour chacun des m points ou m directions différentes^ et faisant la somme des carrés de tous les écarts pour tous les points d*impact, dont le nombre est égal k mn, on aurU respectivement :

et en divisant ces sommes par le nombre mn des points d'impact, on aura le carré des moyens écarts horizontaux, verticaux ou absolus, représentés par Ii%K',L% c*est-â-dire respectivement :

n ' m n * m ti ' ii

et par suite des notations adoptées :

Ce résultat très-simple fait voir de combien une nouvelle cause d'erreurs ou d'écarts augmente le moyen écart ; on en déduira k; poids des nouvelles observations , et la probabilité de la moyenne, d'après ce qui a été dit plus haut (art. 6). Ce qui précède s'appliquerait à l'addition d'une troisième ou d'une quatrième cause d'erreur ou d'écart.

Quand les valeurs h^,k^,l^, pourront se déterminer directement, on aura les valeurs de H,K,L, et réciproquement, quand on aura pour deux séries d'expériences distinctes H,K,L, et hjk,l, on en déduira h^,k^yl^, comme si l'expérience avait pu être faite isolément, et l'on pourra ensuite s*en servir pourrintroduire comme un résultat indépendant, dans d'autres séries d'observations.